Partie d’une implication qui joue le rˆole de l’hypoth`ese.

Pr´enexe. adj. Se dit d’une formule o`u toutes les quantifications sont `a l’ext´erieur. La formule

sans les quantifications s’appelle la matrice.

S’emploie pour des formules logiques et aussi pour les types. Les types deML sont des formulespr´enexes(109)_{car la quantification des variables de type se fait `a l’ext´erieur des}

Prescriptif. adj. (ant. descriptif(85)_{) Se dit d’un typage `a la Church}(76) _{des programmes}

Prolog(112)_{. Une discipline de typage est d´efinie a priori et on ne donne un sens qu’aux}

programmes bien typ´es. On peut souhaiter que les types soient inf´er´es pour lib´erer le pro- grammeur d’une tˆache automatisable, ou au contraire qu’ils soient d´eclar´es pour forcer le programmeur `a ´ecrire les sp´ecifications ´el´ementaires de l’application d´evelopp´ee. Dans ce domaine, les propositions techniques consistent souvent en des adaptations `a la pro- grammation logique de disciplines de typage invent´ees pour la programmation fonction- nelle ou le



-calcul(74)_{[Mycroft et O’Keefe 84, Lakshman et Reddy 91, Hill et Topor 92,}

Louvet et Ridoux 96].

Preuve constructive. n.f. Preuve suffisamment explicite pour contenir la description d’un

terme v´erifiant la propri´et´e prouv´ee. La preuve constructive d’une disjonction,

A

_

B

, est

donn´ee par la preuve d’un de ses membres,

A

ou

B

, tandis que la preuve constructive d’une existentielle,9

x

(

E x

)est donn´ee par une preuve de la formule o`u un terme remplace la

variable quantifi´ee,(

E t

).

L’exemple typique de preuve non-constructive est le suivant :

Soit `a prouver qu’il existe deux irrationnels

a

et

b

, tels que

ab

est rationnel.

Posons

a

=

b

= p 2. Si

ab

= p 2 p 2

est rationnel, la preuve est faite. Sinon,

p 2

p 2

est irrationnel. Posons

a

=

p 2 p 2 et

b

= p 2. Alors

ab

=( p 2 p 2 ) p 2= p 2 p 2p 2 = p 2 2

=2est rationnel, la preuve est faite.

Cette d´emonstration ne montre pas comment construire

a

et

b

, tels que

ab

est rationnel. La programmation logique exploite la recherche d’une preuve constructive comme un m´ecanisme de calcul. Dans ce cadre, les r´esultats sont les valeurs qu’il faut substituer aux variables existentielles de la formule pour la prouver.

Preuve uniforme. n.f. Preuve ducalcul des s´equents(74)_{qui est telle que les parties droites de}

tous les s´equents conclusions d’une r`egle d’introduction `a gauche sont atomiques.

La prouvabilit´e uniforme n’est pas compl`ete pour la prouvabilit´e intuitionniste en g´e- n´eral, mais elle l’est pour certains fragments syntaxiques. Par exemple, elle est compl`ete pour le fragment des clauses de Horn.

Par exemple, soit

P

le programme form´e des clauses

C

1:8

x

[

conc

[]

x x

]et

C

2:8

e

8

x

8

y

8

z

[(

conc

[

e

j

x

]

y

[

e

j

z

])((

conc x y z

)], soit

Q

le but(

conc

[1][2][1

;

2]), une

preuve uniforme de

P

`

Q

est comme suit :

P

^(

conc

[][2][2])`(

conc

[][2][2]) axiome

P

`(

conc

[][2][2])

P

^(

Q

((

conc

[][2][2]))`

Q

) ,

P

`

Q

8 ,4 ,

C

2 8 , ,

C

1 La r`egle ´etiquet´ee8 ,4

est un raccourci pour 4 applications de la r`egle8 ,

dans laquelle les variables universellement quantifi´ees

e

,

x

,

y

et

z

sont remplac´ees par1,[],[2]et[2].

En fait, la compl´etude pour le fragment des clauses de Horn n’a qu’un int´erˆet relatif car prouvabilit´e classique et prouvabilit´e intuitionniste co¨ıncident pour ce fragment, et on connaˆıt d´ej`a des strat´egies dirig´ees par le but qui sont compl`etes pour ce fragment (par exemple, laSLD-r´esolution). La prouvabilit´e uniforme est aussi compl`ete pour le fragment

des formules h´er´editaires de Harrop. Cette fois-ci c’est important et cela va donner la s´e- mantique op´erationnelle de



Prolog.

Par exemple, soit

P

le programme form´e des clauses

C

1:8

t

18

t

28



8



[(

type

(

app t

1

t

2)



)((

type t

1(



!



))^(

type t

2



)]et

C

2:8

e

8



8



[(

type

(

abs e

)(



!



))(8

x

[(

type x 

))(

type

(

e x

)



)]],

soit

Q

le but(

type

(

abs x

(

x

))(

i

!

i

)), une preuve uniforme de

P

`

Q

est comme suit :

P

^(

type c i

)`(

type

(

x

(

x

)

c

)

i

) axiome

P

`(

type c i

))(

type

(

x

(

x

)

c

)

i

)

P

`8

x

[(

type x i

))(

type

(

x

(

x

)

x

)

i

)] 8+ ) +

P

^(

Q

(8

x

[(

type x i

))(

type

(

x

(

x

)

x

)

i

)])`

Q

) ,

P

`

Q

8 ,3 ,

C

2 La r`egle ´etiquet´ee8 ,3

est un raccourci pour 3 applications de la r`egle8 ,

dans laquelle les variables universellement quantifi´ees

e

,



et



sont remplac´ees par

x

(

x

),

i

et

i

.

Pr´eunificateur. n.m. (rel. unificateur(139)_{) ´Etant donn´ee une instance d’un probl`eme}

d´unification(138)_{, un pr´eunificateur est unesubstitution}(131)_{telle que si on l’applique `a l’ins-}

tance de probl`eme d’unification, il en r´esulte une autre instance de probl`eme d’unification constitu´ee uniquement de pairesflexible-flexible(88)_.

Il existe un pr´eunificateur si et seulement si il existe un unificateur. Dans le cas de l’unification d’ordre sup´erieur, la diff´erence est que les pr´eunificateurs sont plus faciles `a ´enum´erer que les unificateurs.

Programmation logique. n.f. La programmation logique est un paradigme de programma-

tion o`u les programmes sont des formules logiques et les ex´ecuter revient `a recher- cher leur preuve. La mise en œuvre la plus populaire de ce paradigme est Prolog(112)_,

qui est fond´e sur le formalisme des clauses de Horn. Mˆeme si ce formalisme est cal- culatoirement complet [Andr´eka et N´emeti 76, T¨arnlund 77, Lloyd 88], on a souvent es- say´e de l’augmenter afin de gagner en flexibilit´e et en expressivit´e. Un de ces essais est



Prolog(114)_{[Miller et Nadathur 86b, Miller et al. 87].}

On consid`ere g´en´eralementColmerauer(78)_{et Kowalski comme les co-inventeurs du}

paradigme [Cohen 88], le premier pour ˆetre l’inventeur du principe et avoir dirig´e l’impl´e- mentation originale [Battani et Meloni 73], le second pour avoir ´etabli le rapport avec le calcul des pr´edicats et les relations entre la s´emantique d´eclarative de Prolog et sa s´eman- tique proc´edurale [Kowalski 74, Kowalski et Van Emden 76].

Projection. n.f. Une des op´erations ´el´ementaires dusemi-algorithme de Huet(94)_.

´

Etant donn´ee une paire

< x

(

F sp

)

;x

(

tq

)

>

, o`u

F

est une tˆete flexible

(88)_(une

variable logique) et  est une tˆete rigide

(128) _{(pas une variable logique), pour chaque}

0 

i



p

tel que



((

sp

)

i

)=



1!

:::m

!



(

F sp

), la r`egle de projection produit [

F

up

((

up

)

iEm

)]. Chaque(

Em

)

k

est une application(

Hk

up

), o`u

Hk

est une va-

riable logique nouvelle et d’un type appropri´e.

Apr`es application de la substitution, de la



-r´eduction(125)_{et de lasimplification}(130)_{, le}

probl`eme se ram`ene `a r´esoudre les paires

< x

(

Hksp

)

;x

(

tk

)

>

pour chaque

k

.

Ici, et au contraire del´imitation(96)_{, on tente de trouver un param`etre de}

F

_{qui produirait}

((habiller)) le param`etre de mani`ere `a obtenir un terme compatible avec

F

. Cela se fait comme pour l’imitation. L’introduction des

Hk

fait aussi qu’il n’est pas toujours possible de trouver un unificateurpertinent(108)_.

Pour savoir tester la pr´econdition de la r`egle de projection, il faut et il suffit que les variables logiques soient repr´esent´ees avec leur types, et que lestypes oubli´es(137)_{soient ef-}

fectivement pass´es en param`etre. C’est un point fondamental qui fait perdre de l’int´erˆet aux th´eor`emes de correction s´emantique qui permettent d’´eliminer compl`etement les types de la repr´esentation. On a plutˆot besoin de savoir quel est le minimum de types qu’il faut repr´e- senter pour les propager correctement vers les variables logiques [Brisset et Ridoux 92b].

Prolog. Langage de programmation logique fond´e sur la logique desclauses de Horn(94)_{. Une}

norme ISOexiste sous le nom de Standard Prolog (ISO/IEC13211 [Deransart et al. 96]). Un programme Prolog est fait declauses(78)₍

F , ) et debuts(71)₍ F+) selon la syntaxe logique suivante : F , ::= A j

A

(F+ j 8

x

F , j F , ^F , F+ ::= A j F+^F+ A ::= Formule atomique

Dans la syntaxe concr`ete les quantifications universelles sont implicites :

F , ::= A j A:–F+

:

j F , F , F+ ::= A j F+

;

F+ R`egles de d´eduction :

P

1`

A

P

1^

P

2`

A

P

2`

A

P

1^

P

2`

A

^ ,

P

`

B

1

P

`

B

2

P

`

B

1^

B

2 ^+

P

^

C

[

x

t

]`

A

P

`

A

8 , si8

x C

2

P

o`u

t

est un terme arbitraire.

P

`

B

P

`

A

) , si

A

(

B

2

P

P

`

A

axiome si

A

2

P

On pourrait craindre que la restriction aux clauses de Horn limite la puissance de cal- cul, mais il n’en est rien [Andr´eka et N´emeti 76, T¨arnlund 77]. Un r´esultat r´ecent montre qu’on peut restreindre encore les clauses de Horn sans perdre de puissance de cal- cul [Devienne et al. 96].

Prolog typ´e (induction structurelle en). n.f. (rel.induction structurelle(96)_{) L’induction struc-}

turelle en Prolog typ´e se formalise de la mani`ere suivante. Soit `a d´efinir une relation

R

de type



! !

o

par induction structurelle sur l’argument de type



. L’argument de type

du type



sont associ´ees des relations

Rc

1, . . . ,

Rc

n, telles que la relation `a d´efinir,

R

, le soit par des r`egles de la forme

R

(

cit

1

::: ta

i )

O

(

R t

1

O

1 ^

:::

^

R t

r i

O

r i ^

Rc

i

t

1

::: ta

i

O

1

::: O

r i

O

o`u

ai

est l’arit´e de

ci

,

ri

est le nombre d’arguments de

ci

qui ont le type



et les



1, . . . ,

r

i sont leurs rangs.

Ces r`egles sont enti`erement d´etermin´ees par le type



(et ses constructeurs) et les re- lations

Rc

i. Une relation de type fix´e,



! !

o

, suppos´ee d´efinissable par induction structurelle sur



, est donc enti`erement d´etermin´ee par les

Rc

i. Un programmeur peut les composer((`a la main)), mais on peut aussi imaginer de les calculer `a partir d’exemples. Le squelette des r`egles peut ˆetre produit automatiquement d’apr`es le type (!it´erateur

(98)_).

Des raffinements sont n´ecessaires pour augmenter la flexibilit´e du sch´ema, permettre des d´efinitions mutuellement r´ecursives et prendre en compte le polymorphisme, mais cette d´efinition suffit `a formaliser l’induction structurelle en programmation logique du premier ordre.

Par exemple, ´etant donn´e le type deslistes(101)_{homog`enes, la relation qui associe une}

liste `a sa longueur est d´efinie par

Rnil

=

o

(

o

=z´ero)

Rcons

=

t

1

t

2

o

2

o

(

o

=(succ

o

2))

En notation



Prolog, ces deux relations plus le type list d´eterminent le pr´edicat

longueur nil O:– O = z´ero .

longueur (cons T1 T2) O:– longueur T2 O2 , O = (succ O2) .

qui peut ˆetre simplifi´e pour produire le pr´edicat attendu.

De la mˆeme fa¸con, le renversement na¨ıf de liste est d´efini par les relations

Rnil

=

o

(

o

=nil)

Rcons

=

t

1

t

2

o

2

o

(append

o

2(cons

t

1nil)

o

)

et le renversement non-na¨ıf est d´efini par les relations

Rnil

=

o

(9

Acc

9

Res

[

o

=(paire

Acc Res

)^

Res

=

Acc

]) =

o

(9

Res

[

o

=(paire

Res Res

)])

Rcons

=

t

1

t

2

o

2

o

(9

Acc

29

Res

29

Acc

9

Res

[

o

2=(paire

Acc

2

Res

2)^

o

=(paire

Acc Res

)^

Res

2=

Res

^

Acc

2=(cons

t

1

Acc

)])

=

t

1

t

2

o

2

o

(9

Acc

9

Res

[

o

2=(paire(cons

t

1

Acc

)

Res

)^

o

=(paire

Acc Res

)])

Il a fallu((empaqueter))dans une paire le r´esultat proprement dit de l’inversion de liste

et l’accumulateur. On utilise aussi d’une mani`ere critique la sp´ecificit´e de la programma- tion logique que constituent les variables existentielles. Les deux derni`eres relations d´eter- minent le pr´edicat

nrev (cons T1 T2) O:–

nrev T2 O2 ,

sigma Accn(sigma Resn( O2 = (paire (cons T1 Acc) Res) , O = (paire Acc Res) )) . qui se simplifie en

nrev nil (paire Res Res) .

nrev (cons T1 T2) (paire Acc Res):– nrev T2 (paire (cons T1 Acc) Res) .

Au premier ordre tout se passe comme si le calcul consistait dans le remplacement des occurrences de constructeurs du type consid´er´e par des op´erateurs d´efinis par les re- lations

Rc

i, et cela suffit pour associer une valeur `a tous les sous-termes qui ont le type consid´er´e.



Prolog. (! historique de



Prolog

(116)_{) La d´efinition de}



_{Prolog peut ˆetre sch´ematis´ee par}

l’´equation suivante :



Prolog=Prolog+



-termes+types simples+=



+8 +

+)

+

Le domaine de calcul de



Prolog est celui des termes du



-calcul simplement typ´e(74)_.

Les notations8+ et)+ indiquent que les connecteurs8et)sont admis dans les buts.

Ils s’ajoutent `a la conjonction des buts de Prolog :^+(not´ee((,))). Les connecteurs admis

`a construire des clauses sont les mˆemes qu’en Prolog :8 ,

et^ ,

, dont les occurrences les plus externes sont implicites, et)

,

, qui est explicite (not´e:–).

Syntaxe logique : F , ::= A j A(F+ j 8

x

F , j F , ^F , F+ ::= A j F+^F+ j F+_F+ j F , )F+ j 8

x

F+ j 9

x

F+ A ::= Formules atomiques

Syntaxe concr`ete approch´ee (les quantifications universelles les plus externes deF , sont implicites) : F , ::= A j A:–F+

:

j F , F , F+ ::= A j F+

;

F+ j F+; F+ j F , =

>

F+ j pi

x

nF+ j sigma

x

nF+

R`egles de d´eduction sp´ecifiques :

P

`

B

1

P

`

B

1_

B

2

P

`

B

2

P

`

B

1_

B

2 _+

P

^

C

`

B

P

`

C

)

B

)+

P

`

B

[

x

c

]

P

`8

x B

8+

o`u

c

n’apparaˆıt libre ni dans

P

ni dans

B

.

P

`

B

[

x

t

]

P

`9

x B

9+

o`u

t

est un terme arbitraire.

Cette extension du langage des termes et de celui des formules de Prolog conserve des propri´et´es logiques et calculatoires int´eressantes [Miller et Nadathur 86b, Miller et al. 87] (!preuve uniforme



Prolog (difficult´es de). n.f. La programmation en



Prolog rec`ele quelques pi`eges dont nous listons ici quelques uns des plus sp´ecifiques.

xnE : L’expression xnE ne d´esigne pas une



-expression dont on ne sait rien si ce n’est qu’elle

lie une variable x. Elle d´esigne une



-expression dont on sait que la variable qu’elle lie n’est pas utilis´ee dans le corps. Ce pi`ege n’est pas une construction acad´emique. Les d´ebutants tombent dedans, et il existe un livre consacr´e aux techniques de programmation logique appliqu´ees au traitement de la langue naturelle qui contient syst´ematiquement l’erreur lors- qu’il est question de



Prolog [Citation omise intentionnellement].

Comme tous les calculs se font modulo la



-´equivalence(86)_{, tenter de d´eterminer le nom}

d’une variable li´ee n’a pas de sens, et tenter de capturer le corps d’une abstraction o`u une



-variable serait libre n’en a pas non plus.

(A B) : L’expression (A B) ne permet pas de discriminer les termes form´es par une application,

et encore moins de capturer les deux membres de l’application.

Comme tous les calculs se font modulo la



-´equivalence(86)_{, tenter de d´eterminer la}

formation syntaxique d’un terme n’a pas de sens. Par exemple, (A B) est unifiable (mo- dulo les types) avec 72, xnx et (f 1), et dans ce dernier cas les substitutions solutions

[

A

xnx

;B

(f 1)],[

A

fn(f 1)

;B

f]et[

A

f

;B

1]sont ´egalement correctes.

Les d´ebutants tombent fr´equemment dans ce pi`ege. Si on connaˆıt la liste des constantes fonctionnelles qui sont utilis´ees, on peut s´electionner la solution recherch´ee en pr´ecisant que A est dans cette liste. Sinon, il faut avoir recours `a une notation des termes plus expli- cite (!l terme

(102)_).

Cette remarque se g´en´eralise `a toute tentative de discriminer des termes par des pro- pri´et´es qui ne sont pas stables par



-r´eduction(125)_{. Autre exemple, la propri´et´e d’ˆetre une}

composition de fonctions est significative au niveau objet pour manipuler symboliquement des fonctions, mais elle n’est pas stable par



-r´eduction ; on doit donc la repr´esenter de mani`ere explicite.

r a b. r b a. q:– pi xn(pi yn(r x y=

>

r y x)) : Vu le sous-ensemble de formules et le frag-

ment de logique consid´er´es en



Prolog, l’interpr´etation de la quantification universelle est

intentionnelle(97)_{. Le but (pi x}

n(pi yn(r x y=

>

r y x))) ´echoue donc car il ne peut r´eussir que

dans une logiqueextensionnelle(87)_.

Des op´erateurs extensionnels existent enProlog/MALI(123)_{sous la forme des pr´edicats}

pr´ed´efinis setof et findall.

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