Para direcionar o nosso estudo questionamos: Que contribuições uma Sequência Didática – elaborada com atividades de resolução de problemas com números naturais envolvendo operações de natureza aditiva e multiplicativa e aplicada a alunos do 6º. Ano do Ensino Fundamental – traz para o desenvolvimento do pensamento algébrico? E ainda: Que condições e restrições atuam sobre a implementação dessa sequência didática no 6º ano visando o desenvolvimento do pensamento algébrico, a partir dos estudos realizados?
E para respondê-las partimos do princípio que contribuímos com o conhecimento. Trata-se de uma proposta didática que se implementada pode levar ao conhecimento, como toda e qualquer ação didática pensada e sistematizada para esse fim.
Propusemo-nos analisar as condições e restrições para que essa sequência pudesse ser implementada no 6º. Ano, não como um modelo de ensino, mas como uma proposta pensada para o desenvolvimento do pensamento algébrico. É preciso pensar um ensino que valoriza os saberes, o contexto, as relações, a significação e o caminho percorrido no desenvolvimento do pensamento algébrico.
É fato que “o aluno é agente da construção do seu conhecimento, pelas conexões que estabelece com seu conhecimento prévio num contexto de resolução de problemas” (BRASIL, 1988, p. 37).
Sendo assim, as principais contribuições da sequência didática que elaboramos reside no diferencial de trabalhar com resolução de problemas em linguagem natural que privilegiam o desenvolvimento do pensamento algébrico pelas relações e conexões que exigem no seu processo de resolução. E privilegiar o desenvolvimento do pensamento algébrico, nos mostrou os estudos correlatos, que contribui não só para a aprendizagem algébrica futura como para toda a matemática.
Dentre esses estudos destacam o Early Algebra com uma proposta de introdução algébrica desde os anos iniciais na visão de romper barreiras epistemológicas futuras. Essa proposta nos inspirou, não no sentido de uma antecipação dos conteúdos algébricos, mas sim de promover o raciocínio de resolução capaz de desenvolver esse tipo de pensamento que as pesquisas em Educação Matemática vêm discutido nas últimas décadas, e não se esgota. Estudos têm retomado essa discussão, principalmente como proposta de superar ou amenizar as dificuldades de aprendizagem com a matemática.
Existe uma restrição imposta pelos documentos legais, que traduz uma separação entre aritmética e álgebra nos currículos, no ensino de Matemática no nível fundamental, especificamente do 6º. para o 7º. Ano. Essa separação trouxe rupturas no ensino de Matemática que entendemos ser um dos fatores geradores das dificuldades de aprendizagem algébrica no 7º.ano, quando a álgebra é formalmente apresentada aos alunos, pela atual orientação curricular. E estudos como o nosso que situaram no 6º. Ano, limiar entre a aritmética e a álgebra escolar com sua linguagem própria de símbolos e letras que se inicia no 7º. Ano, buscando soluções a esse entrave, tanto no campo epistemológico como cognitivo.
Pensando nas contribuições da nossa sequência didática para o desenvolvimento do pensamento algébrico, pensamos resolução de problemas em linguagem natural pelas conexões e relações necessárias à sua resolução. Face a escolha, enxergamos a partir de estudos que compartilham da mesma ideia e nas novas diretrizes curriculares que estão sendo implantadas avanços em propor o desenvolvimento do pensamento algébrico desde os anos iniciais visando a aprendizagem algébrica futura, amenizando rupturas ou entraves com a aprendizagem. E nessa discussão aportamos o nosso estudo no 6º. Ano, não como preparação para álgebra, mas como preparação para o estudo de toda a Matemática que visa a significação de seus conteúdos.
Corrobora nesse sentido o que coloca Chevallard (1985) sobre a passagem da aritmética à álgebra. Para o autor essa passagem se torna possível com o estabelecimento de uma relação pessoal satisfatória dos estudantes, através da memória e da linguagem, com as ferramentas da aritmética que são disponibilizadas em seus repertórios conceituais e que lhes permitem manipular os ostensivos associados aos não-ostensivos a eles relacionados.
Assim, as condições para que essa sequência seja implementada no 6º. Ano situam no campo curricular e no campo conceitual, respeitando as orientações a esse nível de
ensino e os conteúdos previstos. Mas não há limitações. A nossa sequência foi pensada com problemas envolvendo Números Naturais, no entanto poderia ser pensada para qualquer conteúdo matemático e situação que envolva o pensar.
As tarefas propostas na sequência didática foram de natureza diagnóstica, construídas para a presente pesquisa e buscavam analisar se o aluno do 6º. Ano consegue desenvolver o pensamento algébrico a partir de resolução de problemas. Relacionavam- se aos aspectos da álgebra de memória, estrutura, linguagem, raciocínios sequencial, equacional e funcional, equivalência da igualdade em problemas aritméticos e algébricos, equivalência entre não-ostensivos e ostensivos capazes de evocá-los, generalização e análise, e quais as dificuldades encontradas por eles em formalizar esse pensamento.
Uma condição nos favoreceu foi o uso de resolução de problemas com uma linguagem natural, que é clara e acessível, de dificuldade simples para o desenvolvimento das relações e conexões que chamamos de pensamento algébrico de resolução, e que pode levar à generalização do saber aprendido.
Os dados produzidos indicaram que a relação com o aspecto da igualdade enquanto equivalência, da relação de dependência enquanto raciocínio funcional e de sequência como generalização de padrões não está estabelecido de forma satisfatória. Há necessidade ainda de uma reflexão dos alunos sobre as anotações por eles desenvolvidas, basicamente estratégias de cálculo, uma vez que parece não compreender o significado das anotações por eles realizadas. São imediatistas, não retornam ao enunciado dos problemas para verificar a resposta e então validá-la. Isso mostra a falta de compreensão e de significação da situação. E identificar ostensivos e evocar não-ostensivos não garante o sucesso e a compreensão do problema. Há que ter significação, o sujeito só adentra o pensamento algébrico a partir do momento que significa os seus objetos.
De acordo com Chevallard (1994), as relações pessoais dos estudantes com o saber são culturalmente construídas, mediadas pelas relações institucionais impostas a eles por instituições a que eles se submetem. E estas restrições vem da escola e suas diretrizes curriculares, do livro didático como manual de ensino. O mesmo ocorre com o saber matemático. A aprendizagem das operações com números naturais parece ser natural às crianças, desde as instituições familiares e sociais da infância (BOSCH; CHEVALLARD, 1999). Mas os saberes relacionados à álgebra são impostos pela instituição escolar. Assim, para que o estudante aprenda os saberes relacionados ao pensamento algébrico, da mesma forma que os demais saberes matemáticos, será
necessário que se criem condições para o estabelecimento da relação pessoal desses estudantes com esses saberes, os mesmos que permitirão a passagem da aritmética à álgebra.
Chevallard (1985) afirma que essa passagem se torna possível com o estabelecimento, por parte dos estudantes, de uma relação pessoal satisfatória com as ferramentas (técnicas) disponibilizadas pelas tecnologias e desenvolvidas a partir da aritmética que lhes permitem manipular os ostensivos associados aos não-ostensivos a eles relacionados.
Observamos que os procedimentos aritméticos são significativos para os alunos. E não os desmerece. Mas chegará o momento em que resoluções aritméticas apenas não serão suficientes, não serão mais eficazes e úteis no estabelecimento de ligações e compreensão dos problemas. Faz-se necessário a partir de então o “desapego” aos ostensivos e à linguagem contextualizada em prol de um raciocínio mais sofisticado independentemente do modo como ele vai ser acessado. Que venham das conexões mentais, um pensamento algébrico mais solidificado pelas experiências vivenciadas.
Portanto, usar estratégias de variação de linguagens, de uso de ostensivos facilmente manipuláveis e de não-ostensivos facilmente acessíveis é um requisito básico apenas para o propósito de iniciar o trabalho algébrico em sala de aula.
Não estamos falando de transferir responsabilidades ao professor, às instituições ou aos órgãos regulamentadores, nem de propor modelos a se seguir. Eles são falíveis, não se encaixam em todos os contextos, não preveem as especificidades dos alunos, generalizam ou uniformizam pessoas. Falamos de estratégias didáticas e de resolução que amenizem as rupturas dessa passagem ou de chegada de um novo conhecimento, que possibilite então o desenvolvimento do pensamento algébrico.