«Le v´eritable voyage de d´ecouverte ne consiste pas `a chercher de nouveaux paysages, mais `a avoir de nouveaux yeux. »
Marcel Proust, 1871-1922
2.1 R´esum´e et contributions
Dans ce chapitre nous discutons des avantages de la re-param´etrisation lors de l’int´egration des donn´ees de r´eservoirs et dans les processus d’optimisa-tion. Nous nous int´eressons particuli`erement aux approches multi-´echelles et `a la param´etrisation en ondelettes dont nous introduisons les bases th´eoriques. Nous d´ecrivons par la suite un nouveau sch´ema de lifting en ondelettes (lifting scheme) qui permet la cr´eation d’ondelettes non stationnaires, appel´ees on-delettes de seconde g´en´eration, applicables `a des grilles stratigraphiques com-plexes ; ces ondelettes sont utilis´ees dans le Chapitre 4 dans le processus de calage des donn´ees de production. Enfin, nous pr´esentons une param´etrisation multi-´echelles en pyramide gaussienne utilis´ee dans le Chapitre 3 lors de la g´en´eration de r´ealisations g´eostatistiques multipoints.
Ce chapitre inclut la contribution suivante :
1. d´eveloppement et impl´ementation (C++) d’une transformation 3D en on-delettes de seconde g´en´eration adapt´ee aux grilles stratigraphiques (Sec-tion 2.3.2)
2.2 Choix de la param´etrisation
Cette section traite de la r´egularisation par re-param´etrisation lors de la r´e-solution d’un probl`eme inverse non lin´eaire. Bien que nous nous appuyions prin-cipalement sur l’exemple de l’inversion des donn´ees de production, les concepts d´ebattus ici sont applicables `a d’autres probl`emes d’optimisation non lin´eaire, tels que les m´ethodes g´eostatisques multipoints pr´esent´ees dans le Chapitre 3.
Nous distinguons ici deux types de param`etres qui peuvent ˆetre parfois confondus :
Param`etres de simulation Ce sont les param`etres n´ecessaires au mod`ele di-rect pour produire une r´eponse simul´ee (´equation 1.15). On les d´enote par le vecteur1 m ∈ Rnsim
. La taille du vecteur est g´en´eralement fixe pendant toute l’´etude du r´eservoir. Dans les exemples ´etudi´es dans ce travail de th`ese, ce vec-teur est compos´e (entre autres) de valeurs de porosit´e et de perm´eabilit´es d´efi-nies dans chacune des cellules de la grille de simulation, ainsi que de param`etres caract´erisant le comportement des fluides (p. ex. perm´eabilit´es relatives).
Param`etres d’optimisation Ce sont les param`etres modifi´es durant les pro-cessus d’optimisation (Section 1.3). Ils sont directement reli´es aux param`etres de simulation. Lorsque le lien est lin´eaire, le vecteur de param`etres d’optimisa-tion, γ ∈ Rn est donn´e par :
γ= ABm (2.1)
o`u B est une matrice (n× nsim) de sous ´echantillonnage et A est une matrice (n× n) de transformation. La matrice B montre que certains param`etres du mod`eles direct ne sont pas touch´es par l’optimisation. Afin de simplifier les notations, on consid`ere par la suite B = I. On parle de re-param´etrisation lorsque la matrice A n’est pas la matrice identit´e. `A ce stade, l’optimisation de γ ou de m est ´equivalente2. Cependant, certaines param´etrisations permettent de r´eduire plus facilement le nombre de param`etres optimis´es afin de :
❼ r´eduire les coˆuts de calculs et stabiliser les processus d’inversion ❼ ´eviter la sur-param´etrisation et l’inversion de bruit
❼ ´eviter des minima locaux lors de l’optimisation ❼ mettre en avant des param`etres importants
❼ pr´eserver certains param`etres pendant l’optimisation
D’une mani`ere g´en´erale, le choix de la param´etrisation d´epend du probl`eme, de la m´ethode d’optimisation et du but recherch´e.
2.2.1 Analyse lin´eaire de r´esolution des param`etres
Le contenu informationnel port´e par les donn´ees de production et/ou les donn´ees sismiques est souvent limit´e et ne permet pas de caract´eriser l’ensemble des param`etres du mod`ele. Lorsque la relation entre les param`etres optimis´es et la r´eponse simul´ee est lin´eaire, tel que dsim = Gγ (p. ex. Section 1.3.1) et que les donn´ees sont mesur´ees avec un bruit mod´elis´e par la matrice de covariance CD
(Section 1.3.1), Tarantola [131] d´efinit une matrice R qui mesure la r´esolution des param`etres γ par les donn´ees comme :
R = CMGT(GCMGT + CD)−1G (2.2)
1
le mod`ele direct est suppos´e discret.
2
lorsque que des processus d’optimisation lin´eaires ou bas´es sur des lin´earisations successives (p. ex. Gauss-Newton) sont utilis´ees
La trace de R ´equivaut au nombre de param`etres qui sont r´esolus par les don-n´ees, le restant ´etant uniquement caract´eris´e par l’information a priori . Le but de la re-param´etrisation est alors de trouver au mieux un sous-ensemble de param`etres qui est enti`erement (`a l’incertitude des donn´ees pr`es) caract´eris´e par les donn´ees. Un d´eveloppement sur l’effet de la re-param´etrisation et la r´eduction de la taille du probl`eme est disponible dans [95].
La r´esolution des param`etres ´etant directement li´ee `a la sensibilit´e des donn´ees et `a la covariance des param`etres initiaux, il est possible de trou-ver une param´etrisation optimale en utilisant les matrices G et CM. Plu-sieurs approches bas´ees sur la d´ecomposition en valeurs singuli`eres (SVD) de sous-produits des matrices G et CM sont propos´ees dans la litt´era-ture [121,17, 114, 140, 135, 111, 46].
Bien que ce type de param´etrisation soit optimale lorsque le probl`eme est lin´eaire et qu’une bonne estimation de la covariance a priori est disponible, ces m´ethodes ont plusieurs limites. Tout d’abord, lorsque le nombre de param`etres est tr`es important, il est coˆuteux d’effectuer une d´ecomposition en valeurs sin-guli`eres. Ensuite, la covariance a priori ´etant rarement connue avec pr´ecision, elle peut conduire `a une param´etrisation mal adapt´ee au probl`eme. Enfin, la matrice des sensibilit´es G n’est valable (dans le cas des probl`emes non lin´eaires) que pour une configuration de param`etres donn´ee : la sensibilit´e des param`etres ´evoluant avec les it´erations, la param´etrisation devrait ´egalement ´evoluer.
2.2.2 Param´etrisations adaptatives et approches multi-´echelles Les approches multi-´echelles sont commun´ement utilis´ees en calage histo-rique [9,72,10,95,14,12] dans le but d’adapter la param´etrisation aux donn´ees et `a l’´etat du syst`eme, stabiliser l’inversion et ´eviter la sur-param´etrisation. Bien que cela n’ait pas ´et´e formellement prouv´e, il est consid´er´e que les m´ethodes multi-´echelles aident `a ´eviter les minima locaux lors de l’optimisation [92,97,29] ou produisent une solution optimale plus simple [91]. La plupart de ces m´e-thodes commencent par optimiser un nombre limit´e de param`etres de grandes ´echelles. Des param`etres suppl´ementaires sont ensuite choisis grˆace `a l’analyse des r´esultats de l’´etape d’optimisation : des indicateurs de raffinement sont cal-cul´es `a partir de la matrice des sensibilit´es ou bien du gradient afin de maximiser la r´eduction de la fonction objectif lors des prochaines it´erations.
Plusieurs param´etrisations multi-´echelles sont utilis´ees dans le domaine des g´eosciences [104, 14]. Les m´ethodes bas´ees sur des zonations adaptatives d´emarrent avec un mod`ele grossier et affinent localement le d´ecoupage des propri´et´es en fonction de leur influence sur les ´ecoulements [9, 72]. Un d´efi de taille pour ces m´ethodes est de pouvoir int´egrer plusieurs sources d’infor-mations a priori exprim´ees `a des ´echelles diff´erentes. Les techniques multi-´echelles de param´etrisations d´eriv´ees de la g´eostatistique [61] ou la strat´egie de pr´ediction-correction [54] permettent de pr´eserver des variabilit´es spatiales, mais ne peuvent pas g´erer des mod`eles a priori qui contiennent des informations pr´ecises, telles que des structures g´eologiques ou des transitions de propri´et´es d´eriv´ees de la sismique. Ainsi, il est parfois n´ecessaire d’utiliser des param´etri-sations qui permettent d’exprimer les propri´et´es `a toutes les r´esolutions.
Figure 2.1 – Analyse temps-fr´equence de la repr´esentation de Dirac et de Fourier. Sch´ema temps-fr´equence de la repr´esentation de Dirac (a) et de Fourier (b). Modifi´e de [11]
Les approches les plus communes effectuent un changement de base : des caract´eristiques int´eressantes peuvent d´ecouler de ces transformations, telles qu’une d´ecomposition en ´echelles ind´ependantes, une repr´esentation compres-s´ee ou une d´ecorrelation des param`etres. Des r´ef´erences de quelques m´ethodes bas´ees sur la d´ecomposition en composantes principales (ou en valeurs singu-li`eres) ou par transformation de Karhunen-Loeve sont donn´ees dans la section pr´ec´edente. Des approches plus r´ecentes, issues du domaine de compression num´erique, ont l’avantage d’ˆetre ind´ependantes de la connaissance a priori et sont tr`es efficaces en termes de temps de calcul. Deux transformations sont principalement utilis´ees dans l’inversion des donn´ees historiques : la transfor-m´ee discr`ete en cosinus (DCT) [85, 88, 13, 15] et la transform´ee discr`ete en ondelettes (DWT) [95, 119, 34]. Pour la DCT, le domaine est caract´eris´e par des fonctions globales bas´ees sur des cosinus, alors que la DWT utilise des fonctions complexes, appel´ees ondelettes, localis´ees dans l’espace. Ces param´e-trisations fournissent des approximations grossi`eres des champs de propri´et´es avec un nombre limit´e de param`etres et peuvent, au besoin, inclure plus de d´etails dans le mod`ele.