En 1970, Masterman171 estimait à vingt et un le sens du terme paradigme dans la première édition de l’ouvrage de Kuhn, « la structure des révolutions scientifiques ». Kuhn reconnut par
171 Masterman Margaret, 1970, The Nature of a Paradigm, dans I. Lakatos et A. Musgrave (eds), Criticism and the Growth of Knowledge, Cambridge, Cambridge University Press, p. 58 - 59
101 la suite qu’il avait voulu donner deux sens à ce terme, mais un seul représentait pour lui une définition correcte : Il appelle matrice disciplinaire ce qui correspond à l’ensemble des croyances, des valeurs reconnues et des techniques qui sont communes aux membres d’une même communauté scientifique. En 1976, Malherbe172 va proposer une définition précisant que lorsqu’un ensemble de théories constituant un paradigme va constituer l’unique référence des étudiants en physique, ce qui va dans une certaine mesure limiter et diriger les recherches de théories plus fondamentales :
« L’ensemble des solutions concrètes appartenant à une certaine matrice. Un paradigme au sens strict représente ainsi l’ensemble des exemples ou solutions d’énigmes auxquels se réfèrent les membres d’une même discipline en période de science normale et que l’on retrouve alors systématiquement dans les manuels de science. Ces exemples fonctionnent comme des modèles de travail scientifique, que les étudiants devront s’efforcer de suivre afin d’acquérir la maitrise de leur discipline. »173
La mécanique quantique constitue un des principaux paradigmes, la seule interprétation qui est enseigné aux étudiants jusqu’à un cursus de Master étant celle dite standard de l’école de Copenhague, l’interprétation historique de la mécanique quantique dont les postulats ont été posés notamment par Bohr, Heisenberg et Dirac.
Ainsi, si la mécanique quantique interprétée selon le modèle standard, celui de l’école de Copenhague, et la relativité générale conçue par Einstein, constituent actuellement un paradigme incontestable pour les physiciens, les concepts d’unités, de dimensions et de grandeurs ne peuvent être compris qu’à l’aulne de cet ensemble restreint de théories et de leur interprétation. Quelles en sont les conséquences pour le système de mesure ? La relativité impose l’acceptation d’un univers quadridimensionnel et une continuité de l’ensemble des grandeurs, quand la mécanique quantique repose sur conception probabiliste de toute mesure et du concept de superposition des états en l’absence de toute mesure. L’incompatibilité fondamentale entre ces deux théories constituant le paradigme physique a probablement contribué au choix des physiciens des constantes fondamentales comme unique solution pour définir les sept unités de mesures du système international. Mais, comme nous l’avons exposé dans le chapitre 2, plusieurs théories ayant comme objectif principal la synthèse de ces deux théories sont actuellement développées : la gravitation quantique à boucle et la théorie des cordes ; en marge de ces deux théories, plusieurs interprétations sont étudiées, d’abord pour redéfinir l’interprétation de la mécanique quantique, par exemple, l’interprétation de De Broglie – Bohm174, celle des mondes multiples due à Everett175 ou celle dite du solipsisme convivial176, puis avec l’introduction de dimensions spatiales supplémentaires dans la mécanique relativiste, notamment l’hypothèse d’un espace-temps penta dimensionnel177. La formulation d’une théorie plus générale regroupant mécanique quantique et relativité, ou introduisant une nouvelle compréhension de la mécanique quantique et de la relativité conduira à une nouvelle représentation de notre réalité pouvant remettre en cause le choix des constantes fondamentales en tant que fondement des unités du SI.
172 Malherbe J. F., 1976, La philosophie de Karl Popper et le positivisme logique, Namur, Presses Universitaires de Namur, coll. « Philosophie et Lettres », 2ème éd. Revue et corrigée, Presses Universitaires de Namur et PUF, 1979
173 Nadeau R., 1999, Vocabulaire technique et analytique de l’épistémologie, Presses Universitaires de France, Paris, pp. 463 - 464
174 Bohm D., 1989, Quantum Theory, Dover Publications, New-York
175 Laloë F., 2017, Comprenons-nous vraiment la mécanique quantique ?, CNRS Éditions / EDP Sciences 2ème édition
176 Espagnat B. et Zwirn H., 2016, measurement problem : Decoherence and convivial solipsism, Foundations of Physics, vol. 46, pp. 635 - 667
177 Wesson P. S., 1999, Space-Time-Matter, Modern Kaluza-Klein Theory, World scientific publishing, Singapore
102
Lien entre modèle mathématique, unités de mesure et nature des constantes
fondamentales
Pourquoi s’interroger sur le rôle des théories mathématiques dans les théories physiques ? Une partie de la réponse se trouve dans le lien qui existe entre l’apparition des constantes fondamentales, que les métrologues ont choisi pour servir de fondement aux définitions des unités du SI, et le choix du formalisme mathématique pour modéliser telle ou telle théorie physique qui permette de donner une explication du monde où nous vivons, de ce que nous appelons notre réalité.
Les théories physiques énoncées successivement au cours de l’histoire sont le reflet des progrès dans notre compréhension du monde qui nous entoure, ou du moins des éléments perceptibles directement ou indirectement par nos sens. De ce point de vue, les théories physiques ont un double aspect :
Contingentes, car l’énoncé d’une théorie physique est le reflet de ce que nous pensons être vrai dans notre représentation de l’Univers à un instant donné,
Nécessaires, car induites par l’observation de ce monde qui nous impose ses lois que nous cherchons à découvrir et comprendre.
La question fondamentale sous-jacente à ce double aspect peut se formuler de la façon suivante : pour une théorie physique donnée, c’est-à-dire une théorie visant à fournir une explication d’un ensemble cohérent de phénomènes observés, et le choix d’un modèle mathématique permettant de quantifier les grandeurs déjà observées ou celles prédites, le choix de l’utilisation d’une théorie mathématique, et d’un formalisme particulier, vont-ils conditionner l’existence et la nature des constantes fondamentales, où bien l’apparition de telle ou telle constante est-elle indépendante du choix de l’outil mathématique et de son formalisme ? Un modèle mathématique permet aux physiciens de classer les phénomènes observés, de les quantifier, et de comprendre les liens des grandeurs s’y rapportant avec les autres éléments du réel. Plusieurs théories mathématiques peuvent permettre d’atteindre ce but.
Un exemple est la mécanique newtonienne. Elle est adossée à l’algèbre permettant de traduire l’action à distance entre deux objets de masse M1 et M2 séparés d’une distance d par la relation :
= • <²
De cette relation, la théorie physique va conclure que l’action à distance constituant le phénomène de gravitation est en fait une force réciproque . Cette conclusion, nous la jugeons aujourd’hui comme erronée car nous avons remplacé cette théorie de la mécanique newtonienne par celle d’Einstein selon laquelle il n’existe aucune force d’action réciproque sur chacun des deux objets matériels, mais que cette action est le résultat d’une optimisation de l’énergie potentiel des deux objets qui vont suivre les courbes des géodésiques de l’espace-temps. Nous apportons la même certitude à cette théorie que celles qu’accordaient les contemporains de Newton et les physiciens du 19ème siècle à la force de gravitation. Le phénomène est le même mais la théorie mathématique utilisée a été choisie de façon à s’adapter à l’interprétation de la gravitation qu’imaginait Einstein. Les modèles mathématiques ne sont que la traduction d’une hypothèse avancée par un physicien à un instant donné, le reflet d’un schéma mental de représentation, de compréhension.
Il faut donc se garder de vouloir utiliser telle théorie mathématique supportant telle théorie physique au-delà des limites que les hypothèses avancées dans cette théorie physique imposent d’elles-mêmes. Le modèle standard, branche de la mécanique quantique qui décrit les caractéristiques et le comportement des particules est en accord jusqu’à maintenant avec l’ensemble des résultats empiriques. Certains physiciens ont poussé ce modèle des particules en généralisant la propriété de symétrie qui s’y trouve en prédisant avec ce modèle
103 supersymétrique l’existence de particules étranges, les WIMPS qui seraient selon eux aptes à expliquer la nature de la matière noire. Jusqu’à présent ces particules n’ont pas été observées et l’on peut se demander si l’utilisation du modèle mathématique adossé au modèle standard n’a pas été poussée au-delà de ces limites conceptuelles. La question reste ouverte à ce jour.
Enfin, le passage d’un modèle mathématique à un autre comme ce fut le cas entre la mécanique de Newton et celle d’Einstein peut modifier l’expression des constantes fondamentales liées fondamentalement à ces phénomènes physiques. La constante G dans la théorie de Newton, devient prend pour expression en relativité générale : •“=Y•‚G9 .
Le choix du modèle mathématiques fait dans le cadre d’une théorie physique doit d’une part à minima préciser les limites de son utilisation, et d’autre part être remis en question si une ou plusieurs constantes qui apparaissent naturellement dans les relations mathématiques ne présentent pas des dimensions représentatives de grandeurs existantes dans notre réalité.
Au début de la mécanique quantique, Heisenberg avait proposé l’utilisation de la théorie des matrices dans cette théorie, une branche de l’algèbre, pour modéliser les phénomènes connus à l’époque. Finalement c’est un autre formalisme algébrique, reposant sur le concept d’opérateurs, qui a été adopté par la communauté scientifique car ce dernier était d’une utilisation plus simple et permettait une meilleure compréhension des prédictions théoriques et de leurs interprétations dans le cadre de notre représentation globale de l’univers. La base de ce modèle mathématique de la mécanique quantique est le postulat de l’équation de Schrödinger :
lħ•–(m)•m = −2ħ • –(m)•— n [–(m)
Où Ψ(m) représente la fonction d’onde décrivant les différentes caractéristiques de l’objet étudié, m sa masse et V le potentiel dans lequel il se trouve. La fonction d’onde a été initialement comprise par de Broglie comme l’onde associée au déplacement de tout corps matériel pour vu d’une masse non nulle. Mais cette explication soulevant de trop nombreuses difficultés, notamment celle de la nature de cette onde, Born a proposé de la comprendre comme une onde de probabilité, une fonction décrivant totalement un objet matériel en fonction de sa position sur l’espace-temps.
Étrangement aucune nouvelle constante fondamentale n’est apparue avec ce formalisme mathématique ; la constante de Planck h était déjà présente dans l’hypothèse de Planck de relier l’énergie E d’une onde électromagnétique à sa fréquence f :
= ℎ
Pourquoi cette absence d’apparition d’une nouvelle constante ? Simplement parce que malgré ce formalisme très spécifique des opérateurs, la théorie mathématique utilisée est l’algèbre classique et ne diffère donc pas des théories classiques utilisant déjà ces mathématiques dans lesquelles étaient déjà apparues, de façon nécessaire, plusieurs constantes : c la vitesse de la lumière, e la charge électrique élémentaire dans les équations de Maxwell notamment, G la constante de gravitation dans la mécanique newtonienne et k la constante de Boltzmann dans la théorie de la physique statistique qui utilise également l’algèbre. En aurait-il été autrement si la suggestion d’Heisenberg d’utaurait-iliser la théorie des matrices avait finalement été choisie ? Non car cette théorie n’est qu’un formalisme différent de cette même théorie algébrique.
La théorie de la relativité, proposée par Einstein utilise, elle, la théorie des tenseurs qui est dérivée de la théorie algébrique qu’elle utilise. De cette théorie de la relativité, dans sa description de la gravitation, découle l’apparition de plusieurs constantes : c, la célérité de la lumière dans le vide et une constante de gravitation G’ modifiée par rapport à G la constante de gravitation de Newton. Elle apparaît comme composite de cette constante (•“ =Y•‚G9 ). L’avantage de cette forme modifiée de la constante de gravitation est que sous cette forme elle présente une dimension de l’inverse d’une surface alors que, comme nous l’avons vu, la
104 constante G a une dimension qui ne correspond à aucun objet connu, à aucune grandeur de notre réalité.
De cet exemple il découle que selon la maturité de la théorie physique utilisée, la forme sous laquelle va apparaître telle ou telle constante fondamentale associée pourra être différente ; ici, la gravitation de Newton fait apparaître la constante de gravitation G, alors que dans le cadre de la théorie, plus générale de la relativité d’Einstein la constante G’ qui apparaît, bien que restant une fonction linéaire de G présente une variation dans sa valeur et surtout dans sa dimension : •“= Y•‚G9 .
Il semble donc que ce n’est pas le choix d’une théorie mathématique particulière qui soit la cause d’une variation dans l’apparition des constantes, mais plutôt le degré de généralité de la théorie physique considérée. Une théorie physique va décrire les liens qui existent entre certaines grandeurs indépendamment de tout modèle mathématique associé ; il est donc logique de conclure que les constantes qui vont apparaître seront les mêmes. Ce qui n’est pas certain, en revanche, c’est que toutes les constantes en rapport avec une même théorie physique apparaissent nécessairement dans les différents formalismes mathématiques possibles.
« La tache de la contemplation de la nature est d’examiner la substance du ciel et des astres, la puissance et la qualité de la génération et de la corruption, et, par Zeus !, elle est capable de mener des démonstrations au sujet de la grandeur, de la forme et de l’ordre des choses. Quant ‘à l’astronomie elle n’entreprend de parler de rien de tel, mais elle démontre l’ordre des choses célestes, ayant déclaré que le ciel est véritablement un cosmos ; elle parle des formes, des grandeurs, des distances de la Terre par rapport au Soleil et à la Lune, des éclipses, des conjonctions des astres, sur la quantité et la qualité qui se manifestent dans leur révolutions »178
En 1909, Lucien Poincaré179 écrivait dans son introduction à « la physique moderne » : « Le lecteur n’aura pas besoin pour comprendre le texte d’avoir recours à un traité de physique (…) j’ai évité d’user du langage mathématique : l’algèbre est une langue admirable, mais il est souvent possible de ne s’en servir qu’avec beaucoup de discrétion. »
Cette mise en garde est prémonitoire de la part dominante des mathématiques dans les théories physiques de ce début du 21ème siècle. Ce rôle, excessif selon nous, des mathématiques va conduire, par exemple, à occulter des questions ouvertes fondamentales, dont la formulation d’une réponse possible serait utile au progrès de notre connaissance, comme par exemple, la nature de la matière et de sa caractéristique principale la masse, la nature de la charge électrique et sa manière de communiquer à distance dans l’espace-temps et d’échanger de l’énergie sous une forme appelée électromagnétique, la nature de cet espace-temps qui se déforme pour générer des ondes gravitationnelles porteuse d’énergie, alors que selon la mécanique relativiste, pour satisfaire aux transformations de Lorentz, cet espace-temps doit être sans structure, et d’énergie nulle.
Nous avons également montré dans le chapitre 2 qu’il existait une forte interdépendance entre, d’une part le formalisme mathématique utilisé, et d’autre part le choix contingent des dimensions primitives ainsi que des unités qui les utiliseront et seront utilisées par ce formalisme. Nous avons vu qu’en changeant certaines unités, il était possible de masquer une ou plusieurs constantes dans certaines relations mathématiques, mais qu’en aucune façon il n’était possible de les faire disparaitre sauf à accepter une perte significative d’informations. Ainsi il semble que nous puissions soutenir l’idée que l’existence des constantes est non seulement indépendante du formalisme mathématique choisi mais aussi du système d’unités et de dimensions primitives choisis, même s’il est possible de masquer certaines constantes par une manipulation des unités de référence et du formalisme mathématique utilisé.
178 Posidonios, cité par Klein E., Brax P. et Vanhove P., qu’est-ce que la gravité ? Le grand défi de la physique, Dunod, 2019 p. 10
105
Sur l’existence d’une loi ultime décrivant tous les phénomènes de l’Univers et
supprimant toutes constantes fondamentales
Les physiciens et métrologues ont choisi les constantes fondamentales pour définir les unités du SI en partie parce que celles-ci apparaissent dans les lois fondamentales de la physique et semblent irréductibles. Ici nous devons utiliser le sens fort du terme loi, c’est-à-dire un énoncé qui doit vérifier simultanément plusieurs propriétés. Si nous regardons la définition du terme de lois en sciences de la nature dans un dictionnaire philosophique180, on trouve sous le terme loi de la nature :
« Loi empirique ou descriptive vraie en vertu d’une nécessité physique et qui, en ce sens, ne tolère aucune exception (…) Une loi est un énoncé universel caractérisé par un champ d’application qui n’est limité ni dans le temps ni dans l’espace ».
Le concept de loi, selon cette définition, peut se résumer sous la forme de trois conditions nécessaires que devra remplir un énoncé pour obtenir ce statut :
Être un énoncé universel empiriquement vrai Être un énoncé de portée illimitée
Être un énoncé qui entraîne comme conséquence et justifie des énoncés contrefactuels Ces trois conditions doivent être simultanées : la première traduit la nature empirique des données dont on cherche la traduction en lois, la seconde énonce la validité de cette loi en tous points de l’espace et à tous les instants, autrement dit la loi doit être indépendante du lieu et de l’instant d’application. La dernière de ces conditions peut être comprise comme le fait qu’une loi exprime une relation nécessaire entre des propriétés. Il nous faut ajouter à ces trois critères qu’une loi peut présenter des exceptions sans remettre en cause sa généralité car les lois ne sont définies que dans le cadre de conditions initiales précises nécessaires à la résolution d’un problème ; Les lois sont ceteris paribus. En physique, la détermination de la trajectoire d’une balle lancée horizontalement demande la connaissance exacte de la vitesse initiale ainsi que des caractéristiques gravitationnelles environnantes et des caractéristiques du gaz dans laquelle elle se déplace.
Une loi doit être universelle et empiriquement vérifiée. Elle est la traduction en énoncé général de régularités observées empiriquement, mais ne découle pas d’un processus uniquement inductif. Toute connaissance scientifique repose, au début de l’analyse, sur l’observation de régularités traduites ensuite, par une généralisation, en lois qui sont soit des principes, soit des propositions démontrables au sein d’un ensemble théorique. La condition de l’empirisme doit être satisfaite aussi bien par les lois relevant, par exemple, des sciences physiques que celles relatives aux sciences du vivant. L’universalité d’un énoncé se trouvera d’autant plus limité par de nombreuses exceptions induites par une complexité, ou une compréhension partielle qui va restreindre son champ d’application. Se pose alors la question de la limite d’acceptabilité de ces exceptions.
La seconde condition porte sur la validité d’une loi en tous lieux et en tout temps. Elle exprime en premier le fait que tous les lieux de l’univers doivent être semblables, ce qui se traduit, en physique, par les conditions d’isotropie et d’homogénéité qui restent en physique des questions en partie ouvertes. Selon la relativité, une loi s’exprime de la même façon et reste valable avec les mêmes conditions initiales dans tous référentiels inertiels, c’est-à-dire des repères différenciés les uns des autres par un déplacement avec une vitesse uniforme. La loi de gravitation de Newton, approximation pour des vitesses faibles de la loi de gravitation relativiste, reste valable en tous points de l’espace. Elle s’appliquera aussi bien aux planètes de notre système solaire qu’aux planètes tournant autour d’une étoile dans une autre galaxie. Mais comme nous l’avons dit, une loi n’est définie qu’avec un ensemble de conditions initiales qui