Para-lin´ earisation du syst` eme des ondes de surface

Dans l’´etude des ondes de surface, le calcul para-diff´erentiel a ´et´e utilis´e pour la premi`ere fois par Alazard–M´etivier [12], et encore accompli par Alazard–Burq–Zuily [6,8]. Notons en particulier le r´esultat suivant d’une para-lin´earisation de l’op´erateur Dirichlet– Neumann.

Proposition 1.3.5 (Alazard–M´etivier). Soit (η, ψ) ∈ Hµ+1/2× Hµ, avec µ > 3 + d/2. Soit λ = λ(1)+ λ(0)+ · · · + λ[s−2−d/2] d´efini par (1.3.3), alors

G(η)ψ = T_λ(ψ − T_Bη) − ∇ · T_Vη + R(η, ψ),

o`u

B = ∇η · ∇ψ + G(η)ψ

1 + |∇η|2 , V = ∇ψ − B∇η,

sont respectivement la trace de la vitesse verticale ∂yφ et la trace de la vitesse horizontale ∇φ `a la surface libre Σ, et R(η, ψ) ∈ H2µ−3−d/2.

La para-lin´earisation du syst`eme entier et une sym´etrisation r´ev`elent la structure du syst`eme des ondes de surface. Soit (η, ψ) ∈ H^s+1/2× Hs une solution de (1.3.2), alors on peut d´efinir une nouvelle variable

u = T_pη − iT_q(ψ − T_Bη)

avec des op´erateurs para-diff´erentiels T_p et T_q bien choisis, respectivement des ordres 1/2 et 0, tels que u satisfait l’´equation para-diff´erentielle

(1.3.4) ∂_tu + iT_γu + T_V · ∇u + termes de reste = 0,

o`u T_γ est d’ordre 3/2, avec le symbole principal

γ^(3/2)(x, ξ) =^|ξ|2− ^{(∇η(x) · ξ)} 2 1 + |∇η(x)|2

3/4 .

Observant que γ(3/2) = [(g_Σ)⁻¹_x (ξ, ξ)]3/4, o`u g<sub>Σ</sub>est la m´etrique riemannienne de l’hypersur-face Σ h´erit´ee de R<sup>d+1</sup>, le syst`eme des ondes de surface avec tension superficielle peut donc ˆ

etre consid´er´e comme une ´equation de Schr¨odinger fractionnaire sur Σ. Cette ´equation est quasi-lin´eaire, car la g´eom´etrie de Σ d´epend de η.

1.3.4 Contrˆole et stabilisation

Le contrˆole et la stabilisation des ondes de surface ont un int´erˆet `a la fois dans la th´eorie et dans l’application (voir, e.g., Alazard [2]). Nous nous int´eressons principalement au contrˆole des ondes des surface avec tension superficielle par une pression ext´erieure P<sub>ext</sub> appliqu´ee `a la surface libre (voir la Figure 1.3.3). Plus pr´ecis´ement, nous souhaitons g´en´erer des surfaces libres et des champs de vitesse arbitraires en soufflant de l’air au-dessus de la surface libre. Nous souhaitons ´egalement savoir si cette pression ext´erieure peut se limiter `a un domaine ω qui est petit. Des questions similaires peuvent absolument se poser pour le probl`eme de la stabilisation, pour lequel on peut se r´ef´erer `a Alazard [3,4].

y

x P_ext

ω

Figure 1.3.3 – Ondes de surface sous la pression ext´erieure

Nous nous limiterons aux ondes de surface spatialement p´eriodiques, qui peut ˆetre g´en´er´es, par exemple, en p´eriodisant un r´eservoir rectangulaire du fluide. De mani`ere ´ equi-valente, cela signifie ´etudier l’´equation des ondes de surface sur T<sup>d</sup>, c’est-`a-dire, (x, y) ∈ T^d× R. L’existence de Pext change la condition dynamique en

−P |Σ= κH(η) + Pext.

Lin´earisant (1.3.4) en (η, ψ) = (0, 0), on arrive au probl`eme du contrˆole lin´eaire ∂_tu + i|D_x|3/2u = P_ext.

Sous la CCG, la contrˆolabilit´e de cette ´equation peut ˆetre prouv´ee de la mˆeme mani`ere que l’´equation de Schr¨odinger, en utilisant l’approche de Lebeau [131], en faisant attention `

a ce que P_ext soit `a valeur r´eelle !

Traitant l’´equation quasi-lin´eaire originale, Alazard–Baldi–Han-Kwan [5] ont utilis´e un sch´ema it´eratif qui r´eduit le probl`eme du contrˆole non-lin´eaire `a une s´erie de probl`emes du contrˆole lin´eaires. Comme ils ´etudient le syst`eme en dimension deux, c’est-`a-dire, d = 1, ils appliquent la m´ethode des s´eries de Fourier et concluent par l’in´egalit´e d’Ingham (voir Ingham [106]) que ces ´equations lin´eaires, et par cons´equent le syst`eme des ondes de surface, sont contrˆolables. En dimensions sup´erieures, nous avons montr´e dans [204] la contrˆolabilit´e avec la CCG — qui est toujours satisfaite quand d = 1 — en impl´ementant une approche semi-classique dans le r´egime des hautes fr´equences et en prouvant une propri´et´e de la continuation unique dans le r´egime des basses fr´equences.

Th´eor`eme 1.3.6 (Alazard–Baldi–Han-Kwan (d = 1), Zhu (d > 1)). Soit d ≥ 1, T > 0, s suffisamment grand, ω satisfait la CCG, alors ∃ε₀ > 0, ∀(η_i, ψ_i) ∈ H^s+1/2× Hs avec k(∇ηi, ∇ψi)k_Hs−1/2×Hs−1 < ε0 (i = 0, 1), et ´

η0dx =´

η1dx = 0, ∃Pext ∈ C([0, T ], Hs), telle que

(1) P_ext est `a valeur r´eelle et supp P_ext(t, ·) ⊂ ω, ∀t ∈ [0, T ] ;

(2) il existe une solution unique de (1.3.2), (η, ψ) ∈ C([0, T ], H^s+1/2× Hs), telle que (η, ψ)|_t=0= (η₀, ψ₀) et (η, ψ)|_t=T = (η₁, ψ₁).

1.3.5 Propagation des singularit´es

Des ph´enom`enes tels que l’effet r´egularisant et la formation des singularit´es peuvent ´

eventuellement ˆetre attendus pour des ondes de surface avec tension superficielle. Math´ e-matiquement, cela est dˆu `a la vitesse infinie de propagation de l’´equation de Schr¨odinger fractionnaire (quasi-lin´eaire) (1.3.4) ; physiquement, c’est parce-que la tension superficielle a tendance `a lisser instantan´ement la surface libre.

Des effets r´egularisants locaux pour les ondes de surface avec tension superficielle ont ´et´e prouv´es quand d = 1, voir Christianson–Hur–Staffilani [54] et Alazard–Burq– Zuily [6]. Voir aussi Alazard–Ifrim–Tataru [11] pour une in´egalit´e de Morawetz pour les ondes de surface sans tension superficielle, en dimension deux. Cependant, aucun r´esultat concernant les effets r´egularisants locaux en dimensions sup´erieures, ou les effets r´egularisants microlocaux n’´etait connu auparavant.

Dans [205], nous avons obtenu deux r´esultats de propagation, correspondant respec-tivement aux deux ´enonc´es de Th´eor`eme 1.2.9. Selon le Th´eor`eme 1.2.11 et la nature Schr¨odinger-fractionnaire du syst`eme des ondes de surface avec tension superficielle, ces r´esultats devraient impliquer l’utilisation des fronts d’onde quasi-homog`enes avec les pa-ram`etres (δ, ρ) = (1/2, 1). De plus, ces r´esultats sont obtenus pour les ondes de sur-face avec une d´ecroissance spatiale suffisante, dont les existences sont promises par le Th´eor`eme 1.3.3. Plus pr´ecis´ement, la g´eom´etrie de la surface libre sera une perturbation `

a courte port´ee de la g´eom´etrie euclidienne. Par cons´equent, la d´ependance temporelle de la g´eom´etrie n’affecte pas le comportement du r´egime des hautes fr´equences, grˆace `a la vitesse infinie de propagation.

Soit (η, ψ) ∈ C([−T, T ], H^µ+1/2m × Hµ

m) la solution de (1.3.2) avec les donn´ees initiales (η₀, ψ₀), o`u µ et m sont `a d´eterminer ci-dessous. Notre premier r´esultat est la propagation `

a l’infini.

Th´eor`eme 1.3.7 (Zhu). Supposons que µ > 3 + d/2, 3 ≤ m ≤ 2µ − 6 − d. Soit

(x₀, ξ₀) ∈ WF^µ+1/2+σ_1/2,1 (η₀) ∪ WF^µ+σ_1/2,1(ψ₀), ξ₀ 6= 0,

o`u 0 ≤ σ ≤ m/2 − 3/2. Soit t₀ ∈ [0, T ] (resp. t₀ ∈ [−T, 0]) tel que

x₀+³ 2^t|ξ0|^−1/2ξ₀ 6= 0, ∀t ∈ [0, t₀] (resp. ∀t ∈ [t₀, 0]). Alors  x₀+³ 2^t0|ξ₀|^−1/2ξ₀, ξ₀^∈ WF^µ+1/2+σ_1/2,1 (η(t₀)) ∪ WF^µ+σ_1/2,1(ψ(t₀)).

Notre deuxi`eme r´esultat concerne l’effet r´egularisant microlocal. Soit G le flot co-g´eod´esique sur la surface libre initiale Σ₀ = {y = η₀(x)}, qui peut ˆetre identifi´e en tant que le flot hamiltonien sur Rd

x× Rd

ξ du symbole

G(x, ξ) = |ξ|²− ^{(∇η0(x) · ξ)} 2 1 + |∇η₀(x)|2.

Th´eor`eme 1.3.8 (Zhu). Soit d ≥ 1, µ > 3 + d/2, 3 ≤ m ≤ ²₃(µ − 3 − d/2),

(x₀, ξ₀) ∈ WF^µ+1/2+σ_0,1 (η₀) ∪ WF^µ+σ_0,1 (ψ₀), ξ₀ 6= 0,

o`u 0 ≤ σ ≤ min{µ/2−3d/4, 3m/2}. Supposons que la co-g´eod´esique {(x_t, ξ_t) := G_t(x₀, ξ₀)}_t∈R soit non-capt´ee dans le futur (resp. dans le pass´e). Alors, ∃ξ₊ ∈ Rd

ξ\{0} (resp. ∃ξ− ∈ R^dξ\{0}) tel que,

lim

t→∞ξ_t = ξ₊, resp. lim

t→∞ξ−t = ξ−, et pour tout 0 < t₀ ≤ T (resp. −T ≤ t₀ < 0),

3

2^t0|ξ₊|^−1/2ξ₊, ξ₊^∈ WF^µ+1/2+σ_1/2,1 (η(t₀)) ∪ WF^µ+σ_1/2,1(ψ(t₀)), resp. ^3

2^t0|ξ−|^−1/2ξ−, ξ−^∈ WF_1/2,1^µ+1/2+σ(η(t₀)) ∪ WF^µ+σ_1/2,1(ψ(t₀)).

Observons que ξ₊ et ξ− sont d´etermin´es par la g´eom´etrie initiale donn´ee par η₀, en raison de la vitesse infinie de propagation. Au moins dans deux cas, la g´eom´etrie de Σ₀ est (partout) non-captante : soit d = 1, soit khxi∇2η₀k_L∞ est suffisamment petit. Dans ces deux cas, nous avons obtenu des effets r´egularisant locaux lorsque les donn´ees initiales pr´esentent une d´ecroissance spatiale suffisante, en particulier lorsqu’elles sont aux supports compacts.

Corollaire 1.3.9 (Zhu). Supposons que les deux conditions suivantes soit satisfaites : (1) soit d = 1, soit khxi∇²η0kL∞ est suffisamment petit ;

(2) WF^µ+1/2+σ_1/2,1 (η0) ∪ WF^µ+σ_1/2,1(ψ0) ⊂ {x = 0} ∪ {ξ = 0}.

Stabilization of damped waves on S

^d

and Zoll surfaces of revolution

2.1 Introduction