Dans la section 8.1 nous avons ´evoqu´e le probl`eme du centrage de la variable lorsque nous ne connaissons pas la moyenne, et donc le probl`eme de l’utilisation du krigeage
12.3 Par rapport au choix de l’interpolateur spatial 165 a) b) c) 1 3 5 7 9 11 13 15 0 20 40 60 80 100 120 140 1 4 7 10 14 18 22 26 30 0 100 200 300 1 6 12 19 26 33 40 47 54 0 200 400 600 800 1000 1200
Fig. 12.2: Histogrammes des coordonn´ees i des pixels [i, j] constituant les ZCAs significatives au niveau 1− ˆα pour 100 simulations, en fonction de la discr´etisation : a) 15× 15, b) 30 × 30 et c) 60 × 60. Le cumul des pixels correspondant `a la discontinuit´e (a = 2.5) a ´et´e trac´e de couleur diff´erente.
simple dans de telles circonstances. Dans la table 12.3, nous avons report´e le nombre de simulations (sur 100) ayant au moins une vraie ZCA et le nombre de simulations ayant au
moins une autre ZCA au niveau 1− ˆα, dans le cas d’un mod`ele exponentiel de param`etre
b = 0.1, pour n = 100. La m´ethode a ´et´e appliqu´ee en prenant comme estimateur du champ al´eatoire le krigeage simple d’une part et le krigeage ordinaire d’autre part. Le taux de rejet de l’hypoth`ese nulle est relativement identique que nous utilisions le krigeage simple ou le krigeage ordinaire.
Nous avons compar´e le cumul des pixels correspondants `a des ZCAs significatives selon que nous consid´erons le krigeage simple ou le krigeage ordinaire. Pour cela nous avons
g´en´er´e 100 simulations de 100 points sur une grille 60× 60, de mod`ele exponentiel de
port´ee b = 0.1 dans le cas a = 2.5. La figure 12.3 repr´esente le cumul de la coordonn´ee i
des pixels [i, j] des ZCAs au niveau 1− ˆα. Elle illustre les r´esultats obtenus avec le krigeage
simple (premi`ere ligne) et le krigeage ordinaire (deuxi`eme ligne), selon que le bord soit conserv´e (figure 12.3a et 12.3c) ou non (12.3b et 12.3d). Quelque soit le krigeage utilis´e, la discontinuit´e, qui correspond `a i = 24, est d´etect´ee avec les mˆemes proportions. Une diff´erence notable apparaˆıt entre les histogrammes 12.3a et 12.3c : le krigeage ordinaire ´elimine les effets de bord. Ayant en d´ebut de partie choisi d’´eliminer les bords, cela n’a aucune influence sur nos r´esultats de simulations du fait que dans ce cas il n’y a plus de diff´erence que nous consid´erions le krigeage simple ou le krigeage ordianire (figures 12.3b et 12.3d). Lorsqu’en pratique la m´ethode est appliqu´ee et que nous utilisons le krigeage simple, la variable est centr´ee par rapport `a la moyenne arithm´etique de l’´echantillon. Si l’´echantillon est assez dense, la moyenne arithm´etique fournit une bonne estimation
a Krigeage simple Krigeage ordinaire Vraies ZCAs N s¯ N s¯ 1 5 0.04 5 0.04 1.5 17 0.13 18 0.13 2 45 0.51 46 0.49 2.5 73 1.20 72 1.18 3 90 2.45 90 2.38 Autres ZCAs N s¯ N s¯ 1 3 0.01 2 <0.01 2 3 0.01 3 0.02 3 8 0.06 3 0.04
Tab.12.3: Nombre, N , de simulations (sur 100) ayant des ZCAs et taille moyenne, ¯s, des ZCAs d´etect´ees pour deux interpolateurs du champ : krigeage simple et krigeage ordinaire (grille 60× 60, n = 100, covariance exponentielle de port´ee b = 0.1).
de la moyenne et la m´ethode devient ´equivalente quelquesoit l’estimateur de la variable. Inversement, si l’´echantillon est peu dense, la variable est mal repr´esent´ee et la moyenne mal estim´ee. Dans de telles circonstances il est pr´ef´erable d’utiliser le krigeage ordinaire.
12.3 Par rapport au choix de l’interpolateur spatial 167 a) b) 1 6 12 19 26 33 40 47 54 0 200 400 600 1 6 12 19 26 33 40 47 54 0 200 400 600 c) d) 1 6 12 19 26 33 40 47 54 0 200 400 600 1 6 12 19 26 33 40 47 54 0 200 400 600
Fig.12.3: Histogrammes du cumul des coordonn´ees i des pixels [i, j] correspondants `a des ZCAs significa-tives au niveau 1− ˆα, pour 100 simulations. Les interpolateurs utilis´es sont le krigeage simple (premi`ere ligne) et le krigeage ordinaire (deuxi`eme ligne). Le cumul des pixels correspondant `a la discontinuit´e (i = 24) a ´et´e trac´e de couleur diff´erente. Les bords ont ´et´e conserv´es figures a) et c) et ´elimin´es figures b) et d).
169
Discussion
La m´ethode de d´etection de ZCAs se r´ev`ele performante. Nous avons pu montrer que pour un ´echantillon de faible densit´e (100 points sur le domaine d’´etude), une discontinuit´e d’une valeur de 2.5 ´ecarts-type est presque toujours d´etect´ee et qu’elle apparaˆıt, au moins partiellement, sur les repr´esentations graphiques. Plus l’´echantillon de points est dense, meilleure est la d´etection et plus nous gagnons en terme de pr´ecision de d´elimitation de la discontinuit´e.
L’´etude sur simulations d´etaill´ee dans cette partie a permis de valider la robustesse de la m´ethode par rapport `a diff´erents crit`eres. Le taux de d´etection est insensible `a la discr´etisation de la grille d’interpolation. Il est cependant pr´ef´erable d’utiliser des grilles assez fines pour pouvoir capturer les ZCAs de petites tailles. La m´ethode est robuste par rapport `a une erreur commise dans l’estimation de la fonction de covariance. Nous avons pu montrer que pour des erreurs d’estimation du param`etre de port´ee de l’ordre
de ±30%, le taux de d´etection et la surface des ZCAs ´evoluent peu. L’estimation du
mod`ele param´etrique est quand `a elle de second ordre si la port´ee est bien estim´ee. Notons qu’une sur-estimation de la port´ee est une erreur plus acceptable qu’une sous-estimation en terme de d´etection de ZCAs. Utiliser le krigeage simple ou le krigeage ordinaire comme interpolateur n’a pas d’effet sur la d´etection des ZCAs. Cependant en pratique, il vaut mieux utiliser le krigeage ordinaire, les densit´es de points consid´er´ees ´etant trop faibles pour estimer correctement la moyenne.
171
Cinqui`eme partie
Application aux donn´ees
d’agriculture de pr´ecision
173
Introduction
L’agriculture de pr´ecision vise `a proposer des m´ethodes adapt´ees au traitement par modulation spatiale. Cela peut ˆetre le cas de la modulation de la fertilisation azot´ee afin d’optimiser la production en termes de quantit´e et de qualit´e et de minimiser la pollution des nappes phr´eatiques. Afin de parvenir `a une modulation spatiale, il est n´ecessaire de consid´erer les caract´eristiques du sol et leur variabilit´e spatiale et de d´efinir des zones ho-mog`enes. La m´ethode de d´etection de Zones de Changement Abrupt d´ecrite pr´ec´edemment ne fournit pas un zonage de la parcelle, mais met en ´evidence les structures existantes, ce qui associ´e `a d’autres informations (comme la p´edologie et l’´evolution temporelle) per-mettra de d´eterminer un zonage.
Nous allons consid´erer deux types de variables : des variables permanentes correspon-dant aux variables de constitution du sol (comme le limon, le calcaire ou l’argile), et des variables dynamiques (teneur en eau et en azote min´eral) qui traduisent le fonctionnement hydrique et min´eral du sol. Ces variables sont d´ecrites dans le chapitre 13 et analys´ees dans le chapitre 14. Les variables dynamiques ont permis de mettre en ´evidence des struc-tures permanentes superposables avec la carte p´edologique de la parcelle et les strucstruc-tures obtenues avec les variables de constitution.
175
Chapitre 13
Pr´esentation des donn´ees
Les donn´ees ont ´et´e collect´ees dans une parcelle de 10 hectares situ´ee `a Chambry, pr`es de Laon dans le nord de la France. Ce site est d´edi´e au projet agriculture de pr´ecision conduit par l’INRA sur plusieurs ann´ees [Gu´erif et al. (2001)]. Le sch´ema d’´echantillonnage utilis´e est le mˆeme pour l’ensemble des variables. Dans ce chapitre, nous allons d´ecrire successivement le plan d’´echantillonnage adopt´e, les variables dynamiques et les variables permanentes.
13.1 Plan d’´echantillonnage
Les variables ont ´et´e mesur´ees par carottage sur quatre horizons de 30 cm. Chaque ca-rottage repr´esente la moyenne de trois pr´el`evements pris `a 50 cm de distance. Les variables permanentes sont mesur´ees sur le premier horizon, alors que les variables dynamiques repr´esentent le cumul des quatre horizons. Chaque variable a ´et´e ´echantillonn´ee sur une grille pseudo-r´eguli`ere. La distance entre nœuds est 36 m. Les points d’´echantillonnage sont not´es de A1 `a G13. Des donn´ees similaires ont ´et´e collect´ees dans une parcelle voisine et pr´esent´ees et analys´ees dans Mary et al. (2001).
L’INRA d’Orl´eans, en collaboration avec l’INRA de Laon, a r´ealis´e la carte p´edologique de cette parcelle. Les caract´eristiques typologiques du sol ont ´et´e mesur´ees jusqu’`a 150 cm de profondeur. Ces caract´eristiques peuvent ˆetre de diff´erente nature :
– quantitative, telle que la classe texturale qui int`egre une notion de structure li´ee au mat´eriau parental ou `a l’´evolution p´edologique.
– qualitative, comme la profondeur, la teneur en calcaire, en cailloux et en graviers. – synth´etique, comme le substrat, le type de profil, le drainage interne.
Sur la parcelle d’´etude, les diff´erentes unit´es cartographiques de sol diff´erenci´ees ont ´et´e regroup´ees en 12 types de sol (figure 13.1). La carte p´edologique a ´et´e ´etalie en suivant un mod`ele p´edog´en´etique. Les p´edologues ont, `a partir de la reconstruction de l’historique des sols, trac´e manuellement les contours entre les diff´erentes zones. Cette carte peut ˆetre
Fig.13.1: Carte p´edologique [Nicoullaud et al. (2003)]. 1. Luvisols limoneux sur mat´eriau cryoturb´e profond
2. N´eoluvisols limoneux sur mat´eriau cryoturb´e profond
3. Complexe de calcisols et de n´eoluvisols ´erod´es sur mat´eriau cryoturb´e 4. Complexe de calcisols et de calcosols sur craie remani´ee sableuse 5. Complexe de calcosols sur craie, craie alt´er´ee et mat´eriau cryoturb´e 6. Calcosols sur craie remani´ee
7. Calcosols sur craie sableuse et craie remani´ee 8. Calcosols assez caillouteux sur craie
9. Calcosols peu caillouteux sur craie 10.Calcosols tr`es peu caillouteux sur craie 11.Colluviosols
12.Calcomagn´esisols sur sable gr´esifi´e
synth´etis´ee en regroupant diff´erents types de sol, ce qui est illustr´e sur la figure 13.2a, avec :
– en rouge : les sols profonds, non calcaires et non caillouteux (1+2+3+4),
– en vert : les sols calcaires d´evelopp´es sur craie peu profonde (8+9+10) et le sol colluvial avec craie moyennement profonde (11),
– en orange : les sols calcaires d´evelopp´es sur des mat´eriaux issus de la craie (6+7) et les sols calcaires sur craie alt´er´ee et mat´eriau cryoturb´e (5),
– en noir : les sols sur sable gr´esifi´e, trop particuliers pour ˆetre regroup´es avec d’autres types de sols (12).
13.2 Variables dynamiques 177