Panorama des travaux concernant l’étude des effets xénon dans les

réacteurs

La détection et la prévision des oscillations axiales de xénon est un enjeu important pour l’optimisation du pilotage du réacteur. Différents modèles ont été proposés afin de mieux appré- hender la dynamique xénon. A quelques exceptions près, ces modèles s’appuient sur l’équation de diffusion 1D stationnaire à 1 groupe d’énergie couplée non linéairement aux équations de la dynamique xénon-iode :                  D∂Φ(z, t) ∂z2 +  νΣf k − Σa(z)  Φ(z, t) − σXeCXe(z, t)Φ(z, t) − α(z, t) = 0, ∂ ∂tCI(z, t) = γIΣfΦ(z, t) − λCI(z, t), ∂ ∂tCXe(z, t) = γXeΣfΦ(z, t) + λICI(z, t) − (λX+ σXeΦ(z, t))CXe(z, t). (1.2)

Le terme α(z, t) correspond à la modélisation des contre-réactions neutroniques et varie d’un modèle à un autre : terme nul (modèles de Choi [Cho94], de Kobayashi [Kob82]), terme propor- tionnel au carré du flux (modèles de Canosa [Can66], d’Onega [One78]), terme dépendant de la concentration en bore, de la température et du flux (modèle de Cho [Cho83]). Par défaut ces modèles sont initialisés par les concentrations xénon et iode à l’équilibre.

Ce modèle simplifié fut cependant jugé encore trop complexe pour des applications temps réel tel que l’aide au pilotage. Des modèles encore plus simplifiés ont été développés à partir du modèle (1.2). Un des modèles les plus connus est le modèle bi-zone proposé par Onega et Kisner [One78]. On a étudié ce modèle en annexe A et on en a développé une implémentation en Python. Il consiste à développer les variables flux, xénon et iode sur le mode fondamental et la première harmonique et à intégrer les équations (1.2) sur chaque moitié du cœur. De ce modèle bi-zone est dérivé un modèle point décrivant les axial offsets du xénon de l’iode et du flux. Une amélioration de ce modèle proposée par Song et Cho [Son97] consiste à développer le flux, le xénon et l’iode sur une base de Fourier plus complète.

Une autre stratégie de simplification très usitée consiste à linéariser les équations (1.2) au- tour du point d’équilibre. Cette linéarisation se justifie par le fait que le réacteur doit toujours se trouver dans un intervalle de sécurité restreint et donc que les perturbations sur le flux et le xénon sont de petite taille. Cette approximation linéaire se retrouve notamment dans les travaux de Kobayashi [Kob82], Lin [Lin94], Choi [Cho94], Yoon [Yoo85] et dans ceux de Shimazu [Shi07] qui propose une description 3D des oscillations xénon (axiales et radiales) à l’aide d’un modèle linéaire à 4 zones.

1.3. Effets du xénon 135 Ces modèles très simplifiés de dynamique xénon nécessitent des ajustements afin d’être les plus réalistes possible. Onega propose de recaler 3 paramètres de son modèle point (le coefficient de diffusion, la section d’absorption microscopique du xénon et le paramètre de contre-réactions) à partir de mesures de flux neutronique [One79]. La méthode utilisée est celle du maximum de vraisemblance qui correspond donc à une approche probabiliste de type estimation de paramètres (avec prise en compte d’une erreur de mesure). Beaucoup de travaux sont basés sur l’amélioration du recalage de ces 3 paramètres : citons les travaux récents de Domingos [Dom03] et Marse- guerra [Mar03] qui proposent de recourir aux algorithmes génétiques. Lin propose également une méthode de recalage de paramètres à l’aide du filtre de Kalman pour le modèle linéarisé [Lin94]. Mais aucun de ces travaux ne remettent en cause l’initialisation des transitoires avec les concentrations xénon et iode à l’équilibre.

Une autre approche probabiliste est proposée par Park et Cho qui construisent un estimateur asymptotique de la distribution axiale du flux et du xénon [Par92]. Ne s’intéressant qu’à la convergence au fil du temps de l’estimateur vers l’état vrai de la dynamique, les concentrations initiales du système sont arbitrairement fixées. La méthode mise en place est proche de celle du filtre de Kalman avec la construction d’une matrice de gain.

Song et Cho remarquent plus tard l’importance de la bonne initialisation de la dynamique xénon. Dans ce but, ils mettent au point un modèle appelé pre-xenon-oscillation model qui vise à calculer les concentrations initiales d’une simulation à partir de mesures de l’axial offset de puissance antérieures au temps initial [Son96]. Ces concentrations initiales de xénon et d’iode s’obtiennent en ajoutant aux concentrations de xénon et d’iode à l’équilibre, la puissance 1D à l’équilibre et un terme correctif en sinus dont l’amplitude est ajustée avec les mesures d’axial offset. Ce modèle repose sur des hypothèses fortes, notamment la connaissance exacte des concen- trations et du champ de puissance 1D à l’équilibre (on suppose donc qu’on dispose d’un modèle parfait). La méthode est testée dans le cadre d’expériences jumelles simulant le démarrage d’un réacteur coréen. Ils montrent que 4 heures suffisent à obtenir une estimation raisonnable des concentrations initiales mais ils notent également que la qualité de leur estimation dépend for- tement de la précision des observations. Un autre article complète cette approche en proposant une modélisation plus précise du terme correctif en sinus [Son97].

La stabilité ou l’instabilité des oscillations axiales de xénon dépend de nombreux paramètres dont le plus connu est le niveau d’irradiation du combustible [Son97]. Les différents modèles de dynamique xénon ont servi à identifier d’autres paramètres influençant la dynamique des oscil- lations xénon. Grâce à leur modèle, Onega et Kisner relient de manière empirique l’instabilité des oscillations à un faible terme de contre-réactions dans l’équation (1.2) [One79]. Beaucoup d’études comme celles de Canosa ou Choi sont faites sur le modèle linéarisé qui permet de suivre l’évolution de perturbations et d’établir des critères de stabilité ou d’instabilité. Canosa déter- mine un seuil d’instabilité dépendant du terme de contre-réactions αF de l’équation 1.2 et du

niveau de flux maximal en étudiant les interactions entre les vecteurs propres de l’opérateur linéarisé [Can66]. Choi analyse la stabilité des oscillations axiales de xénon à l’aide du critère de NYQUIST qui revient également à étudier les propriétés de l’opérateur linéarisé. Il montre que la montée de l’instabilité est engendrée par une augmentation du niveau de puissance, par un enfoncement plus profond des grappes ou encore par l’avancement dans le cycle [Cho94]. Dans le même esprit, Kobayashi étudie les valeurs propres de son modèle bi-zones linéarisé et établit un critère d’instabilité dépendant des valeurs des sections neutroniques. Ce critère montre no- tamment que lorsque le combustible s’use et donc que la section de fission diminue, le critère d’instabilité devient plus facile à remplir.

L’amélioration de la modélisation de la dynamique xénon et de la connaissance des condi- tions d’apparition des oscillations xénon ouvre la voie aux développements d’outils d’aide au pilotage via le contrôle des oscillations xénon. Différents types de stratégie sont proposées dans la littérature. On distingue deux grandes classes : celles qui visent à détecter et à arrêter des oscillations xénon et celles qui visent à prévenir toute formation d’oscillations xénon. Dans la première classe, citons les travaux de Shimazu basés sur un modèle à 4 points [Shi07] et dont la stratégie d’arrêt des oscillations consiste à insérer les grappes pendant un certain temps puis à les retirer [Shi07]. Le contrôle des oscillations consiste alors à déterminer les temps d’insertion et de retrait des barres. Ces paramètres sont déterminés via la minimisation d’une fonction coût calculant l’écart sur 24 heures à un axial offset de puissance donné.

Dans la seconde classe, on trouve les travaux de Cho et Grossman qui proposent une stratégie de suivi de charge en contrôlant la concentration en bore, la température d’entrée et la position des grappes à travers la formulation d’une fonction coût basée sur la donnée d’un profil 1D de puissance à respecter sur la période considérée [Cho83]. Dans ces travaux, le problème quadra- tique est résolu de manière analytique alors que Yoon et No proposent une résolution numérique avec un algorithme de minimisation de type quasi-Newton (Davidon-Fletcher-Powell) [Yoo85].

Lin et Lin soulignent la difficulté d’estimer précisément les concentrations initiales de xénon et d’iode et proposent de contourner ce problème en cherchant à contrôler seulement l’axial offset xénon et iode à l’aide du filtre de Kalman [Lin94]. Leur stratégie d’élimination des oscillations xénon est basée sur le déplacement des grappes en fonction de l’axial offset de puissance visé et l’axial offset xénon prédit.

2

Introduction à l’assimilation de

données

Le calcul de l’état d’un système, tel que le calcul du niveau de criticité d’un réacteur par exemple, requiert un modèle physico-numérique alimenté par des données ou paramètres (par exemple concentration en bore, irradiation du combustible) et éventuellement par des conditions initiales dans le cas d’un système dynamique.

Les sources d’erreur dans ce calcul peuvent être de type modèle et/ou données. Les erreurs de type modèle proviennent de l’approximation plus ou moins fine du phénomène physique modélisé (modélisation 1D du réacteur par exemple) ainsi que de la méthode numérique utilisée pour la résolution du problème (discrétisation plus ou moins grossière des variables du modèle, critère de convergence retenu par exemple). Les erreurs de type données résultent de l’impossibilité de connaître parfaitement les données nécessaires au modèle : débit de l’eau circulant dans le cœur, proportion de l’isotope 10 du bore dans l’acide borique... On peut également inclure dans les erreurs de type données, l’erreur sur la connaissance des conditions initiales.

Pour améliorer la connaissance de l’état du système, on peut chercher à diminuer au maxi- mum l’erreur modèle en augmentant la précision de la modélisation mais cela a un coût en mémoire et temps calcul qui peut être rédhibitoire pour des applications de type temps réel comme le suivi en ligne dans les centrales. Par ailleurs, les données du système ne peuvent pas être connues en dessous d’un seuil d’incertitude et compte tenu de l’approximation réalisée dans le modèle, connaître la valeur réelle d’une donnée peut même être inutile : ce qui importe est de prendre les valeurs des données d’entrée qui permettent de calculer un état du système le plus proche de l’état réel. Cette démarche qui correspond au recalage de paramètres est mise à profit depuis longtemps en neutronique sous l’appellation de qualification de code : quelques paramètres du modèle sont recalés en fonction de résultats de référence qu’on appellera à partir de maintenant observations.

Le recalage de paramètres est une première étape dans l’amélioration de la connaissance de l’état d’un système. Mais il ne permet pas de prendre en compte les erreurs inévitables qui entachent les observations : on peut donc dégrader la solution calculée initialement par le mo- dèle avec des observations de qualité médiocre. D’autre part, il ne permet pas de corriger les conditions initiales d’un système dynamique. Les méthodes d’assimilation ont pour vocation de répondre à ces lacunes.

L’assimilation de données peut être abordée sous différents angles en fonction des habitudes en vigueur dans la discipline concernée : théorie du contrôle, théorie de l’estimation, théorie de l’optimisation. Il en résulte différentes méthodes dont certaines sont équivalentes sous certaines conditions.

On commence dans ce chapitre par donner un aperçu de l’assimilation de données en pré- cisant les notations et le vocabulaire (section 2.1). On présente à la section 2.2, la théorie de l’estimation qui fournit la base des méthodes d’assimilation de données. On peut définir à par- tir de la théorie de l’estimation, une large gamme d’estimateurs. L’estimateur optimal porte le nom de BLUE (Best Linear Unbiased Estimator). On introduit ensuite à la section 2.3, le filtre de Kalman qui peut être vu comme une extension du BLUE. On décrit également brièvement quelques unes des variantes du filtre de Kalman. Lorsque le coût de calcul de la matrice de gain de Kalman devient trop excessif, les méthodes variationnelles constituent une alternative aux méthodes de type filtre. On développe cette approche variationnelle à la section 2.4. Des éléments de comparaison entre les méthodes de type filtre et les méthodes variationnelles sont donnés dans la section2.5. On termine enfin ce chapitre par des éléments de mise en œuvre de ces méthodes (modélisation des matrices d’erreur et obtention de l’adjoint du problème).

Il existe une vaste bibliographie sur l’assimilation de données, notamment dans les domaines atmosphériques et océaniques qui ont largement participé à son essor. On recommande notam- ment la lecture du livre de Daley [Dal91] et des supports de cours de Bouttier et Courtier [Bou99], de Bocquet [Boc05] et de Sportisse et Quélo [Spo04]. On conseille également les ar- ticles introductifs de Talagrand [Tal97] et Todling [Tod99]. On donne dans ce chapitre, d’autres références plus spécialisées.