Outils statistiques

Pool Permutation Procedure

An de connaître la signicativité des diérences obtenues entre les deux simulations pour une grandeur donnée, nous utilisons diérentes métriques décrites ci-dessous. Cependant, la métrique utilisée pour comparer deux jeux de données ne permet pas de s'aranchir totalement de l'auto-corrélation spatiale.

La méthode de la Pool Permutation Procedure (PPP, Preisendorfer and Barnett, 1983), recommandée par Wigley and Santer (1990), élimine ce biais en créant sa propre distribution. En mélangeant de façon aléatoire les données des deux jeux, la PPP créé une distribution de référence. Celle-ci est ensuite comparée à la distribution de contrôle obtenue par la métrique classique. La valeur P est la fraction de résultats permutés qui est supérieure ou inférieure à la valeur de la statistique. La valeur P compare donc chaque valeur de la distribution de référence avec celle de contrôle. Chaque fois que la valeur de la distribution de référence est supérieure à la valeur de la simulation de contrôle, la valeur P augmente et inversement. Si P ≤ 0, 05 ou 1−P ≤ 0, 05, la diérence obtenue par la métrique est signicative à 95% de conance.

7.1. MÉTHODES D'ÉTUDE

Métrique T1

La métrique T1 compare les moyennes temporelles des valeurs de deux simulations sur une région donnée (équation 7.1). Cette métrique a pour avantage de nous donner, en même temps que la diérence de moyennes temporelles, le sens de cette diérence. Ainsi on peut savoir à chaque instant si la distribution d est supérieure ou inférieure à la distribution m. Le problème majeur de cette méthode est la prise en compte de compensation spatiale entre les valeurs de diérences positives et négatives au sein d'une région.

Métrique T1 t = ^{(< d > − < m >)}

S (7.1)

 Moyenne spatio-temporelle de la distribution d < d >= P x P td_xt n_x.n_t (7.2)

d_xt, la valeur de la distribution d au point x et temps t (x = 1, nx; t = 1, n_t)  Moyenne spatio-temporelle de la distribution m

< m >= P x P tm_xt nx.nt (7.3)

mxt, la valeur de la distribution m au point x et temps t (x = 1, nx; t = 1, nt)  Ecart-type de la distribution échantillonnée < d > − < m >

S = s P x P t(d_xt− < d >)2+P x P t(m_xt− < m >)2 nx.nt(nx.nt− 1) (7.4)

CHAPITRE 7. SIMULATION GLOBALE DE L'IRRIGATION : IMPACT SUR LE CYCLE DE L'EAU

Métrique SITES

La métrique SITES permet de s'aranchir de l'éventuelle compensation spatio-temporelle entre les deux champs lorsque l'on utilise la métrique T1. SITES est proportionnelle à la moyenne spatiale des carrés des diérences des moyennes temporelles de chaque point de grille et standardisée par la moyenne spatiale des variances temporelles de chaque point de grille (équation 7.5). Le fait d'élever la diérence des moyennes au carré permet de s'aranchir de la compensation spatiale des valeurs, observée avec T1. En contre-partie, on perd le sens de la diérence des distributions. Dans un souci de clarté, nous représenterons sur tous nos graphes pour SITES la valeur (1-P) plutôt que la valeur P quand celle-ci évolue dans le sens opposé à celui de la valeur P de T1. La bilatéralité des tests nous permet de faire cela.

Métrique SITES SIT ES = nt.

P

x( ¯d_x− ¯m_x)2

σ_D− σ_M (7.5)

 Moyenne temporelle de la distribution d au point x ¯ d_x=^X t  dxt n_x  (7.6)  Moyenne temporelle de la distribution m au point x

¯ m_x=^X t  m_xt n_x  (7.7)  Moyenne spatiale des variances temporelles de la distribution d

σ_D = s X x X t (dxt− < d >)2− nt X x ¯ dx− < d >
2 (7.8)  Moyenne spatiale des variances temporelles de la distribution m

σM = s X x X t (mxt− < m >)2− nt X x ( ¯mx− < m >)² (7.9)

Ainsi les deux métriques, complémentaires entre elles, sont utiles pour mesurer la signi-cativité de la diérence des moyennes de nos deux distributions.

7.1. MÉTHODES D'ÉTUDE Test de Mann-Kendall

Une régression linéaire de la série temporelle étudiée est eectuée par la méthode des moindres carrés pour illustrer la tendance d'une variable étudiée sur les 30 années de simula-tion. Dans ce travail, la valeur et le signe de la pente de la droite donneront respectivement l'ordre de grandeur et la (dé)croissance de la tendance. Le test statistique non-paramétrique de Mann-Kendall (Mann, 1945; Kendall and Gibbons, 1962), basé sur la méthode de rangs, est utilisé pour détecter la présence signicative de cette tendance sur les trente années. An de s'aranchir du problème de la saisonnalité, on fait ce test sur les valeurs de cumuls annuels. Ce test est fréquemment utilisé pour les séries hydrologiques et pluviométriques.

L'hypothèse de base H0 est la suivante : les éléments Xi proviennent d'une population où les données sont indépendantes et ordonnées aléatoirement. L'hypothèse H1 alternative est : les éléments Xi suivent une tendance monotone croissante ou décroissante sur la période de temps étudiée.

Le nombre de valeurs annuelles au sein de la série temporelle est noté n. Ti et Tj sont deux sous-ensembles où i=1,2, ... , n-1 et j=i+1, i+2, ... , n. Chaque point Ti est utilisé comme point de référence pour être comparé aux points Tj tel que :

sign(T ) =      +1 pour T_j > T_i 0 pour T_j = T_i −1 pour Tj < Ti (7.10) La statistique S du test est :

S = n−1 X i=1 n X j=i+1 sign (T_j− T_i) (7.11)

La variance pour la statistique S est dénie telle que : σ²= ^{n (n − 1) (2n + 5) −}

Pn

i=1t_i(i) (i − 1) (2i + 5)

18 (7.12)

On calcule le test statistique Zs : Zs=      (S − 1) /σ pour S > 0 0 pour S = 0 (S + 1) /σ pour S < 0 (7.13) Z_s suit une distribution standard normale, mesure la signicativité de la tendance et teste l'hypothèse H0. Si | Zs |est supérieur à Zα/2 (α est le niveau de signicativité généralement égal à 5% avec Z0,025= 1, 96), on rejette H0 et la tendance est considérée comme signicative. On donne une valeur P qui est une probabilité dont la valeur varie de 0 à 1. On rejette généralement l'hypothèse de base quand sa valeur est inférieur ou égale à 0,05 : on estime à 95% la conance pour rejeter l'hypothèse qu'il n'y a pas de tendance au sein de la série temporelle.

CHAPITRE 7. SIMULATION GLOBALE DE L'IRRIGATION : IMPACT SUR LE CYCLE DE L'EAU