groupe Théorie du CENBG
6.3.2 Outils nécessaires au calcul de la correction de la brisure de la symétrie δCla symétrie δC
= hMF0i − 1 p2Jf + 1 X kβ,kβ p2jβ+ 1 × β(f, i, kβ, kβ, ∆J ) = A − 1 p2Jf + 1 X kβ,kβ p2jβ+ 1 ×OBTDT(f, i, kβ, kβ, ∆J ) (1 − Ωβ) = B + 1 p2Jf + 1 X kβ,kβ p2jβ + 1 × β(f, i, kβ, kβ, ∆J ) (1 − Ωβ) = C = hMF0i 1 − A hM0 Fi − B hM0 Fi + C hM0 Fi . (6.3.8)
Alors, lorsque l'on fait un développement limité au premier ordre de l'expression 6.3.8 au carré, en négligeant les termes C, AB, AC, BC, A2, B2, C2 et ABC, l'élément de matrice de Fermi au carré s'écrit :
hMFi2 = hMF0i2 1 − 2A hM0 Fi− 2B hM0 Fi , (6.3.9) où : ◦ δC1 = hM2A0
Fi est la correction de mélange des con gurations des nombres quantiques du proton dans le noyau père et du neutron dans le noyau ls ;
◦ δC2 = hM2B0
Fi est la correction de recouvrement des parties radiales des fonctions d'onde du proton dans le noyau père et du neutron dans le noyau ls.
L'expression 6.3.9 permet de retrouver l'équation 6.2.5 en posant :
δC = δC1+ δC2. (6.3.10)
Le calcul de la correction de la brisure de la symétrie d'isospin est réalisé en déterminant indépendamment les termes δC1 et δC2. Le calcul de δC1 nécessite uniquement un calcul de type modèle en couches. Quant au calcul de δC2, il nécessite un calcul avec un puits de potentiel de type Woods-Saxon. Nous allons revenir sur les outils nécessaires pour déterminer ces deux termes dans le paragraphe suivant.
6.3.2 Outils nécessaires au calcul de la correction de la brisure de
la symétrie δ
CPlusieurs outils sont nécessaires pour calculer les termes correctifs δC1et δC2. Ceux qui sont utiles pour les deux calculs sont présentés dans ce paragraphe. Le premier sous-paragraphe
6.3. DÉTERMINATION DE LA CORRECTION δC AVEC L'AIDE DU GROUPE
THÉORIE DU CENBG 127
concerne le modèle en couches, le deuxième les interactions eectives, le troisième, le code NuShellX@MSU et en n le dernier concerne les calculs avec un puits de potentiel de Woods-Saxon.
6.3.2.1 Modèle en couches
Le modèle en couches est un modèle phénoménologique qui permet de retrouver les nombres magiques découverts expérimentalement. Celui-ci a été développé en 1949 par, no-tamment, Eugène Paul Wigner, Maria Goeppert Mayer et J. Hans D. Jensen. Ces deux der-niers ont nalement eu le prix Nobel de Physique en 1963 pour leur découverte concernant le modèle en couches nucléaires [No63].
Ce modèle postule qu'au premier ordre, tout nucléon dans un système de A nucléons bouge indépendamment dans un potentiel moyen. Ce potentiel moyen est créé par A(A−1)/2 paires d'interaction entre deux nucléons du noyau.
Dans le modèle en couches ce potentiel moyen est créé à l'aide d'interactions eectives sensées reproduire les observations expérimentales, telles que les masses ou les énergies de liaison des noyaux.
6.3.2.2 Interactions eectives
Une interaction eective est basée sur des observations expérimentales et est intégrée à des calculs théoriques pour essayer de prédire des propriétés des noyaux. Une seule interaction eective n'est pas su sante pour décrire l'intégralité de la carte des noyaux, mais elle peut permettre de décrire certaines propriétés pour une partie des noyaux de cette carte. Dans l'espace du modèle qui nous intéresse, la couche sd, plusieurs interactions eectives sont disponibles selon ce que l'on veut étudier.
Les interactions eectives utilisées pour calculer les corrections δC1 et δC2 sont diérentes. En ce qui concerne δC1, les interactions utilisées prennent en compte le formalisme d'isospin, la dépendance de charge et l'interaction coulombienne. Toutes ces propriétés ne sont pas utilisées par les interactions nécessaires au calcul de δC2. Toutes les interactions eectives utilisées pour ces calculs sont présentées dans la suite.
Interactions conservant l'isospin
Trois interactions conservant l'isospin ont été utilisées pour déterminer la correction δC2, ce sont les interactions W, USDA et USDB. Elles sont spéci quement utilisées pour les noyaux de la couche sd. Elles sont construites sur le même principe.
La première à avoir été développée est l'interaction W [Wi84], elle porte le nom du physicien qui l'a créé, B. H. Wildenthal. Cette interaction permet de calculer les fonctions d'onde de tous les noyaux de la couche sd de masse comprise entre A = 17 et A = 39. L'hamiltonien eectif est dé ni par 63 éléments de matrice à deux corps et trois énergies de particule individuelle pour la couche sd. Il permet après quelques ajustements de retrouver les énergies de liaison et les énergies d'excitation déterminées expérimentalement pour les noyaux de cette couche [Br06].
Les interactions USDA et USDB sont basées sur le même hamiltonien que celui décrivant l'interaction W. La seule diérence est l'utilisation de données expérimentales plus récentes pour les énergies de liaison et les niveaux d'énergie utilisés pour ajuster les paramètres du modèle. La diérence entre ces deux interactions vient de l'écart entre les données expéri-mentales et théoriques. Cet écart est réduit dans le cas de l'interaction USDB par rapport à l'interaction USDA [Br06].
Nous verrons que l'utilisation de l'une ou l'autre de ces interactions ne modi e pas gran-dement la valeur de δC2 déterminée pour les noyaux 23M g et27Si, mais peut être une façon de prendre en compte une partie de l'incertitude systématique.
Interactions ne conservant pas l'isospin
Trois interactions ne conservant pas l'isospin ont été utilisées pour déterminer la correction δC1, ce sont les interactions WPN, WCPN et WCDPN. Ces interactions prennent en compte le fait que le proton et le neutron sont deux particules diérentes. Ces interactions sont basées sur l'interaction W, mais quelques ajustements doivent être réalisés pour prendre en compte le formalisme proton / neutron. Comme cette interaction, les interactions WPN, WCPN et WCDPN sont spécialement indiquées pour les noyaux de masse comprise entre A = 17 et A = 39. Les hamiltoniens ainsi dé nis doivent reproduire les écarts de masse des isotopes mesurés expérimentalement [Br06].
L'interaction WPN prend en compte uniquement ce formalisme proton / neutron. L'in-teraction WCPN ajoute à l'inL'in-teraction précédente la prise en compte de l'inL'in-teraction cou-lombienne. En n l'interaction WCDPN prend en compte l'interaction coulombienne et des interactions nucléon-nucléon, dues à la non conservation de l'isospin, observées expérimenta-lement [Br06].
A priori, l'interaction WCDPN est la plus pertinente à utiliser pour déterminer δC1 car elle est la plus complète . Nous verrons, que l'utilisation de l'une ou l'autre de ces interactions modi e quelque peu la valeur δC1 déterminée, les diérences obtenues peuvent être utilisées pour déterminer une dépendance systématique.
6.3.2.3 Code NuShellX@MSU
Le code NuShellX@MSU [Br16] a été développé par B. A. Brown et est basé sur le code NuShellX [Ra16] écrit par W. D. M. Rae. Ce code est utilisé pour obtenir les énergies exactes, les vecteurs propres et les recouvrements spectroscopiques pour les états de basse énergie pour les calculs matriciels des hamiltoniens du modèle en couches. Le code NuShellX@MSU utilise des chiers de données pour les espaces du modèle et des hamiltoniens pour générer des chiers d'entrée au code NuShellX [Br14].
A l'aide de ce programme il est possible de calculer les énergies des états de la couche sd pour les deux noyaux de la transition étudiée, puis de déterminer les densités de transition à un corps nécessaires (OBTD pour One Body Transition Densities).
6.3.2.4 Puits de potentiel de Woods-Saxon
L'utilisation d'un champ moyen pour décrire les noyaux et leurs états d'énergie est cou-rante. Historiquement, le premier champ moyen capable de reproduire les nombres magiques
6.3. DÉTERMINATION DE LA CORRECTION δC AVEC L'AIDE DU GROUPE
THÉORIE DU CENBG 129
est celui proposé par M. Goeppert-Mayer constitué d'un oscillateur harmonique auquel a été ajouté un terme spin-orbite [Go49]. Cette description donne de bons résultats pour les noyaux stables ou proches de la stabilité. Woods et Saxon ont proposé un potentiel qui permet de décrire les noyaux quelle que soit la région de masse, mais son expression ne permet pas de solution analytique [Wo54]. Il est nécessaire de choisir une paramétrisation.
Dans la suite nous travaillerons avec un noyau constitué de A nucléons, Z protons et N = A − Z neutrons. Un nucléon, un proton ou un neutron, baigne dans un potentiel moyen créé par les (A − 1) nucléons formant le c÷ur.
Dans notre cas, pour le calcul de la correction de la brisure de la symétrie d'isospin pour des noyaux de la couche sd, nous avons choisi la paramétrisation proposée par N. Schwierz et al. [Sc07]. Leur idée consiste à continuer et étendre la détermination d'un jeu de paramètres pour le potentiel de Woods-Saxon qui serait universel . L'expression de l'hamiltonien eectif est : H = ~p 2 2µ + V (r) + VC(r) + 1 2µ2r ∂ ∂rV (r)˜ ~l.~s, (6.3.11) où :
◦ ~p est le quadrivecteur impulsion du nucléon en dehors du c÷ur ; ◦ µ est la masse réduite du système c÷ur + nucléon ;
◦ V (r) = −V f (r, R, a) représente le potentiel central, dans lequel V est la force du potentiel, le signe − représente la nature attractive de l'interaction et f(r, R, a) est la fonction de Fermi, dé nie dans l'équation 6.2.14 ;
◦ VC(r) = Z0e2 (
(3R2 − r2)/(2R3), r ≤ R,
1/r, r > R, représente le potentiel coulombien, dans lequel, Z0
est le nombre de protons dans le c÷ur et R le rayon de la sphère chargée ; ◦ ˜V (r) = ˜V f (r, RSO, aSO) fait partie du terme spin-orbite, les indices SO signi ent
justement spin-orbite.
Dans cette expression, il y a sept paramètres à déterminer pour obtenir l'hamiltonien du système : R, a, V , RSO, aSO, ˜V et µ. Ils sont à adapter selon la région de masse, rappelons que nous nous intéressons uniquement à la couche sd. Conventionnellement,
R = RC = R0A1/3, RSO = R0,SOA1/3, (6.3.12) où R0 et R0,SO sont des constantes pour toutes la carte des noyaux.
Les termes de diusivité, a et aSO sont des constantes. La dépendance d'isospin est quant à elle paramétrisée par :
V = V0 1 ± κN − Z A . (6.3.13)
La force de l'interaction spin-orbite est déterminée par : ˜
V = λV0, (6.3.14)
où κ et λ sont des constantes.
Pour déterminer les valeurs numériques de V0, κ, R0, a = aSO, λ et R0,SO, les données expérimentales liées aux spectres de particules individuelles des noyaux doublement magiques 16O,40Ca, 48Ca, 56N i et 208P b sont nécessaires. Les valeurs obtenues sont [Sc07] :
V0 (MeV) κ R0 (fm) a = aSO (fm) λ R0,SO (fm) 52, 06 0, 639 1, 260 0, 662 24, 1 1, 16
Des informations spéci ques concernant le noyau parent et le noyau ls pour les transitions étudiées, telles que :
◦ leur nombre de nucléons (le même pour une transition donnée) ; ◦ leur nombre de protons et de neutrons ;
◦ les énergies de séparation du dernier neutron et du dernier proton ; ◦ leur rayon de charge expérimental ;
ainsi que la paramétrisation décrite ci-dessus permettent de déterminer la partie radiale des fonctions d'onde du dernier proton dans le noyau père et du dernier neutron dans le noyau ls. Connaissant ces fonctions d'onde le terme de recouvrement Ωβ peut être calculé.