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Quando se tem uma escala ordinal de dados, como a classificação dos modos de falha do FMEA é em uma escala de 1a 10, e deseja-se conhecer qual é a concordância entre os avaliadores enquanto atribuem as notas ao FMEA, o coeficiente de Kendall é o melhor indicador capaz de mensurar esse grau de concordância. É empregado quando o resultado é oriundo de diferentes fontes (a partir de diferentes juízes) que estão avaliando necessariamente mais de dois objetos.

O coeficiente de Kendall até mesmo pode ser descrito como uma medida de concordância entre dois conjuntos de classificações relativas a um conjunto de objetos ou experimentos (SIEGEL e CASTELLAN, 1988). Também é utilizado frequentemente para medir a força de confiabilidade das avaliações do juiz consigo mesmo (Repetitividade) e o grau de concordância da avaliação entre eles (Reprodutividade), ou seja, em análise GR&R por atributos.

Esse coeficiente foi desenvolvido por Kendall e Babington-Smith em 1939. É um indicador que leva em consideração a ordem da escala e é a ferramenta estatística mais adequada para avaliar a associação entre avaliadores (SIEGEL e CASTELLAN, 1988). Além disso, é um coeficiente que indica a associação de avaliações ordinais desenvolvida por mais de dois juízes quando as mesmas amostras são avaliadas. Em suma, o coeficiente de concordância de Kendall é uma medida de

consistência entre avaliadores enquanto medem um determinado número de objetos. Dependendo do campo de aplicação, os avaliadores podem ser variáveis, pessoas, etc. (LEGENDRE, 2005).

Esse coeficiente não faz suposições sobre a natureza da distribuição de probabilidade e pode lidar com qualquer número de resultados distintos, isto é, quando se tem 𝑘 conjuntos de postos pode-se determinar a associação entre eles utilizando o coeficiente de concordância de Kendall. É uma estatística não paramétrica a partir da normalização da estatística do teste de Friedman e pode ser utilizado para estimar a concordância entre os avaliadores.

O índice Kendall é dividido em dois tipos que estão em detalhes adiante, que a priori são:  O coeficiente de correlação Tau (τ) de Kendall

 Coeficiente de concordância W de Kendall

2.6.5.2.1 O coeficiente de correlação Tau (τ) de Kendall

Se os dados têm origem ordinal e a avaliação é realizada por dois juízes X e Y, de modo que a cada objeto possa ser atribuído uma classificação de ambos avaliadores X e Y, então o índice τ de Kendall fornece uma medida do grau de associação ou de correlação entre os dois conjuntos de avaliações pareadas por X e Y. Assim, se as classificações são realizadas por apenas dois avaliadores e pertencem a uma escala ordinal, então, o coeficiente indicado para ser utilizado é o τ de Kendall.

O coeficiente de correlação por postos de 𝜏 de Kendall é empregado como uma medida da correlação com o mesmo tipo de dados para os quais também se utilizam outros tipos de indicadores mais robustos, como o coeficiente de Spearman.

Basicamente, τ de Kendall mede a diferença entre a probabilidade de as classificações estarem na mesma ordem e a probabilidade de estarem em ordens diferentes (SIEGEL e CASTELLAN, 1988). Do ponto de vista amostral estas probabilidades são dadas através das frequências relativas simples como na Equação (9).

(9) Deve-se notar que o conceito de concordância utilizado nesta expressão equivale simplesmente a classificações iguais de ambos os avaliadores em qualquer par que aponte que a classificação seja comum (#concordâncias). Para determinar o número de concordâncias tem-se

que inicialmente ordenar as classificações de acordo com um dos avaliadores e a partir disso contar os pares que combinam no mesmo sentido de maneira pareada.

2.6.5.2.2 Coeficiente de concordância W de Kendall

Kendall e Babington-Smith (1939) também propuseram um coeficiente para mais do que dois avaliadores que foi denominado de W de Kendall. Com base nesse coeficiente é possível efetuar um teste de hipóteses:

H0 : as classificações são independentes;

H1 : as classificações estão associadas;

Este é um teste que expressa a associação simultânea entre N conjuntos de classificação realizadas por mais de dois avaliadores e é comumente usado para avaliar a confiabilidade entre juízes (SIEGEL e CASTELLAN, 1988).

Por estas razões, o coeficiente de concordância W de Kendall foi selecionado para a análise proposta do FMEA nesta Tese, pois se adequa às exigências da pesquisa, ao contrário do índice de 𝜏 de Kendall.

2.6.5.2.3 Cálculos e formulações para W de Kendall

O coeficiente de concordância de Kendall é calculado a partir de uma escala ordinal com três ou mais níveis de intervalo em que os avaliadores a utilizam como referência para atribuir notas para N objetos. Suponha que os dados são organizados em forma de uma tabela disposta como 𝐾 𝑥 𝑁, onde cada linha que representa as fileiras na qual estão as notas atribuídas por cada um dos K avaliadores para cada um dos temas N.

O cálculo estimado do coeficiente de Kendall é desenvolvido através da Equação (10):

(10)

Onde:

N – é o número de itens avaliados;

) 1 ( ) 1 ( 3 12 2 2 1 2 2 2    



K

R

∑𝑁_𝑖=1𝑅_𝑖2 – é a soma dos montantes quadrados das avaliações para cada uma das N classificações;

𝐾 – número de avaliadores.

Entretanto, no caso de avaliações análogas entre os juízes a abordagem é diferente, pois o efeito dos empates é reduzir o valor de W ao invés de aumentá-lo (SIEGEL e CASTELLAN, 1988).

Se a proporção de empates é pequena, o efeito pode ser desprezado. Porém, se esta proporção é demasiadamente grande, deve-se utilizar uma correção que acrescenta ao valor de W para que se torne mais próximo de 1 (concordância perfeita).

Assim sendo, atribui-se a cada valor empatado a média dos postos que lhes caberia se não houvesse empates, cujo é o tratamento usual que se dá aos escores empatados em postos. A correção utilizada é a mesma que ocorre para o coeficiente de correlação de Spearman (SIEGEL e CASTELLAN, 1988). Com a correção para os empates, a Equação (11) demonstra como é o cálculo de W(Kendall).

(11)

Onde:

𝑇𝑗–atribui a média das classificações às observações vinculadas, conforme a Equação (12): 𝑇_𝑗 = ∑(𝑡_𝑖3− 𝑡_𝑖) 𝑔𝑗 𝑖=1 (12) Onde:

𝑡_𝑖 –é o número de classificações vinculadas ao grupo i de vínculos 𝑔_𝑖 – é o número de grupos de vínculos no conjunto j de classificações.

A decisão de qual expressão utilizar varia de acordo com a linha N de cálculo, ou seja, é executada de maneira iterativa para cada uma das N avaliações dos K especialistas para a tabela de resultados 𝑁 𝑥 𝐾. Kendall (1948b) sugere que a melhor estimativa dos N objetos é fornecida, quando W é calculado pela ordem das várias somas de fileiras.





R

K

No software Minitab®, escolhido para os cálculos estatísticos de concordância, as análises foram desenvolvidas de acordo com as características dos dados, através das Equações (10) ou (11), com rotinas de decisão incorporadas que optam automaticamente por qual das duas expressões empregar.

2.6.5.2.4 Interpretação do coeficiente de concordância de Kendall

O coeficiente de Kendall é capaz de fornecer o grau de associação ou concordância entre as notas atribuídas por diferentes avaliadores para diferentes objetos analisados. No entanto, W deve ser investigado quanto a sua significância através da estatística F ou Chi-Quadrado (os valores críticos desses parâmetros podem ser conferidos na tabela R (SIEGEL, 1988)). Sendo assim, deve- se verificar para um intervalo de confiança com ∝ = 0,05, conforme o Quadro 2-11.

A partir de valores significativos, pode-se analisar o indicador quanto ao nível de concordância apresentado.

Os valores do coeficiente de Kendall variam em uma escala de 0 até 1. Quanto maior for o valor (próximo de 1), mais forte é a concordância entre avaliadores (SIEGEL e CASTELLAN, 1988). Segundo Siegel (1956) um valor elevado e significativo de W pode ser interpretado no sentido em que os observadores ou juízes estão aplicando essencialmente o mesmo padrão no

ranking dos N objetos em estudo. O caso contrário é que se W é baixo, com valores próximos a 0,

mesmo com 𝑃 < 0,05, significa que existe concordância, mas de maneira fraca, ou seja, pouca concordância.

Vale a pena ressaltar que um valor alto de W, então, significaria que há forte concordância na escolha dos critérios (mesmo que errados), isto é, estão concordando fortemente durante o processo de atribuição e das notas atribuídas aos atributos analisados. Em outras palavras, deve-se notar que o valor W faz referência apenas as ordenações observadas. Na verdade, as atribuições podem estar todas incorretas com relação a algum critério externo. Sendo assim, é possível que uma variedade de juízes concorde em ordenar os itens avaliados empregando os critérios essencialmente "errados".

Quadro 2-11 Teste de hipóteses (W de Kendall)

Teste de Hipóteses para W de Kendall

𝑷 − 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 > 𝟎, 𝟎𝟓, H0 é aceito e indica que o índice de Kendall não é significativo, ou

seja, a hipótese nula não pode ser rejeitada.

𝑷 − 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 < 𝟎, 𝟎𝟓, H0 é rejeitada e implica que existe significativa concordância entre os

observadores.

Geralmente, coeficientes de Kendall de 0,9 ou superior são considerados muito bons. Para esta pesquisa, desenvolveu-se os critérios de aceitabilidade do FMEA através do coeficiente de concordância de Kendall em detalhes no Capítulo 4.1.4.