Outils d’analyse et de mesure de performance

Le r´eseau ad hoc est vu comme ´etant une r´ealisation al´eatoire d’un processus ponctuel de Poisson Φ avec une densit´e homog`ene λ. `A chaque nœud est associ´e des marques qui correspondent `a son ´etat et `a son environnement. Globalement, on obtient un processus ponctuel de Poisson marqu´e Φm = {Xk, ek, Hk}, avec :

– Xk est la position du nœud k.

– ek est l’indicateur de l’´etat du nœud k. Il est ´egal `a 1 si le nœud est un ´emetteur

et 0 sinon. Les variables ek suivent donc une distribution de Bernoulli de pro-

babilit´e p.

– Hk = {hlk}, o`u hlk correspond `a la puissance re¸cue par le nœud l du nœud k.

Elle englobe la puissance de transmission et l’att´enuation `a petite ´echelle. L’hypoth`ese que chaque nœud est soit un ´emetteur avec une probabilit´e p, soit un r´ecepteur avec une probabilit´e 1 − p, est formellement ´equivalente `a appliquer au processus original une op´eration d’amincissement (thinning) qui a pour r´esultat deux processus ponctuels de Poisson Φt

m et Φrm avec des densit´es respectives λt = pλ et

λr _{= (1 − p)λ [55]. Soit un ´emetteur k situ´e `a X}

k et un r´ecepteur l situ´e `a Yl. Muni

d’un r´ecepteur conventionnel, une communication entre ces deux nœuds peut ˆetre ´etablie si : SIN R_kl = h l k|Xk− Yl|−α P {Xj∈Φtm\Xk}h l j|Xj − Yl|−α+ η ≥ β (2.3) o`_{u α est le taux d’affaiblissement en fonction de la distance |X}j − Yl|, β est un seuil

arbitraire et η est la puissance du bruit Gaussien. Le num´erateur d´enote la puissance re¸cue de l’´emetteur d’int´erˆet et le d´enominateur d´enote la puissance de l’interf´erence per¸cue par le r´ecepteur k.

Dans un premier temps, les chapitres 3 et 4 s’int´eressent `a l’effet de l’interf´erence g´en´er´ee par le processus Φt

m. Le choix des paires ´emetteur-r´ecepteur est le rˆole du

´emetteur est `a une distance arbitraire dr de son r´ecepteur. De plus, afin d’all´eger

les notation, la notation Φm sera utilis´ee pour indiquer un ensemble d’´emetteurs de

densit´e λ. Plus pr´ecis´ement, on s’int´eresse `a la probabilit´e qu’une communication peut s’´etablir `a une port´ee donn´ee dr sujette `a l’interf´erence g´en´er´ee par le processus

Φm.

Soit δk l’indicateur que l’´ev´enement de l’´equation (2.3) survient pour l’´emetteur

Xk. On a δk = 1 si SIN Rlk > β, 0 sinon. La probabilit´e que le nœud Xk ´etablit

un lien avec un r´ecepteur `a une distance dr est la probabilit´e que δk = 1. Dans

l’analyse des processus ponctuels, il est commode de consid´erer un point typique. On entend par point typique, un point choisi arbitrairement. Intuitivement, pour un processus stationnaire, les statistiques et les distributions du processus ne d´ependent pas du choix de ce point. L’approche usuelle est de choisir un point situ´e `a l’origine et d’effectuer l’analyse du point de vue de ce point. La th´eorie de Palm formalise cette id´ee et ´etablit le lien entre les statistiques du point typique et les statistiques du processus [55]. En effet, la mesure ou la distribution de Palm est la probabilit´e qu’une r´ealisation ϕ du processus Φm v´erifie une propri´et´e donn´ee sachant qu’elle contient

le point typique. Plus pr´ecis´ement, soit un ´emetteur typique plac´e `a l’origine. Afin d’all´eger les notations, cet ´emetteur sera d´esign´e par o et son r´ecepteur par y. La probabilit´e de Palm associ´ee `a l’´ev´enement (2.3) est donc :

Po(δo= 1) = P (δo = 1|{o} ∈ Φm) (2.4)

Le th´eor`eme de Campbell-Mecke appliqu´e `a un processus stationnaire de Poisson permet d’exprimer `a partir de la probabilit´e de Palm le nombre moyen des commu- nications ´etablies dans un sous ensemble quelconque D de l’espace [55, 56]. En effet, le th´eor`eme mentionn´e permet d’avoir :

E " X Xk∈Φm δk1(Xk∈D) # = E Z R2 δo1(x∈D)Φm(dx)  = λV(D)Po(δo = 1) (2.5)

o`_{u V(·) d´esigne la mesure de surface et 1(x∈D)} est la fonction qui a pour valeur 1 si l’´el´ement x est dans D et 0 sinon. Puisque que λV(D) repr´esente le nombre moyen d’´emetteurs dans D, la probabilit´e de disponibilit´e du lien de l’´emetteur typique

correspond au nombre moyen des communications r´eussies par unit´e de surface. Cette probabilit´e constitue la mesure de performance de base adopt´ee dans cette th`ese. La probabilit´e de Palm est d´eriv´ee de la mani`ere suivante. Notons que lorsqu’il n’y a pas risque de confusion, les indices k et l sont omis :

Po(δo = 1) = Po(hd−αr > βIΦm\{o}(y))

= P!o_(hd−α

r > βIΦm(y)) (2.6)

o`u IΦm(y) =

P

{Xj∈Φm}hj|Xj−y|

−α_{+η et P}!o_{d´enote la probabilit´e de Palm r´eduite}

qui s’explique comme suit. Le th´eor`eme de Slivnyak [57] ´etablit que la probabilit´e de Palm r´eduite est ´egale `a la probabilit´e originale. En d’autres mots, `a la pr´esence d’un ´emetteur typique d’un ´ev´enement qui ne prend pas en compte cet ´emetteur, la probabilit´e conditionnelle est ´egale `a la probabilit´e inconditionnelle. Pour illustrer ce th´eor`eme soient les deux exemples simples suivants. Le premier consiste `a calculer la moyenne du nombre de points dans un espace de volume V . Le deuxi`eme consiste `a calculer la moyenne du nombre de voisins `a une distance d d’un point du processus. Pour le premier exemple, la moyenne issue de la distribution de Palm, conditionnelle `a l’existence d’un point typique, aboutit `a un nombre de points moyen ´egal `a celui issu de la distribution inconditionnelle plus 1. Le deuxi`eme exemple compte le nombre de voisins autour d’un point qui lui mˆeme n’est pas d´enombr´e. Ainsi le nombre moyen issu de la distribution de Palm est ´egal `a celui issu de la distribution originale, vu que le point sur lequel on conditionne n’est pas compt´e.