Other Interesting Distribution Concepts for BEVs

Prevalência da ergodicidade.

APÊNDICE

O objectivo deste anexo é demonstrar o lema A do capítulo III. Seguiremos de perto o artigo [0-U], mas reescrevemo-lo para o caso particular do quadrado unitário e da medida de Lebesgue, mantendo contudo a designação e numeração dos lemas e proposições e indicando as respectivas páginas. Dada a extensão do argumento, sugerimos que o leitor atente no esquema seguinte, onde as letras C, L e T correspondem respectivamente a Corolário, Lema e Teorema e uma seta de a para [3 significa que se recorre ao resultado a para demonstrar p.

0 4 - * - L12 *" L13 v, \ L15

u/ \

L16-"L17-\ \ * LI 8 L5

Os resultados T2, Cl e C4 destinam-se a caracterizar as medidas que são topologicamente equivalentes à medida de Lebesgue; é um contributo da teoria da medida utilizado repetidamente no resto do argumento sempre que seja necessário verificar de modo expedito que a medida de Lebesgue é invariante por um homeomorfismo.

L12 e LI3 descrevem técnicas de perturbação na família dos homeomorfismos que preservam a medida de Lebesgue, utilizando estratégias usuais em sistemas dinâmicos a que se acrescenta o controle adicional da invariância da medida.

L14 define um operador de expansão cuja dinâmica permite, através de cadeias de bolas cuja medida de Lebesgue é função crescente do iterado, visitar qualquer ponto do espaço; é a chave para se ligarem dinamicamente dois quaiquer abertos não vazios e portanto induzir a transitividade.

LI5 é o lema mais técnico e extenso deste apêndice: dado homeomorfismo que preserva a medida de Lebesgue, através do teorema de Birkhoff constrói perturbação pequena da dinâmica garantindo que um número finito de pontos fixados estão numa órbita periódica.

Prevalência da ergodicidade.

LI 6 e L17 apresentam uma equivalência topológica entre conjuntos de Cantor por homeomorfismos que preservem a medida de Lebesgue e deixem fixos o bordo do quadrado unitário.

LI8, corolário directo dos anteriores e que contém como caso particular o lema A (designado por lema 5), descreve um modo de perturbar um homeomorfismo, na família dos que preservam a medida de Lebesgue, de maneira a assegurar uma distribuição equitativa, numa partição diádica do espaço, de parte significativa da órbita positiva de um conjunto de Cantor.

Como anteriormente, neste apêndice

- X representa o quadrado unitário e Xo o seu interior, com a métrica induzida da distância euclidiana no plano.

m é a medida de Lebesgue definida em X.

- % e Mo são os subconjuntos de 9í e 5W, respectivamente, que deixam fixo o bordo de X.

Definições:

1) Uma medida exterior em X é uma função p* definida em todos os subconjuntos de X que satisfaz as seguintes condições:

Mi: 0 < u*(E) <+<*> e u*(0) = 0; M2: u*(A) < u*(B) s e A c B ;

+00 +00

M

3

:u*(J>«)^ X ^*(

A

«)

n=\ n=\

2) Uma medida exterior é de Carathéodory se satisfaz as condições Mi a M3 e ainda

M4: p*(AuB) = p*(A) + p*(B) se A e B estão separados por uma distância positiva.

3) Uma medida exterior é de Lebesgue - Stieltjes se é uma medida exterior de Carathéodory e satisfaz a condição adicional:

M5: p*(A) = inf u*(G), onde G é aberto. G=>A

Prevalência da ergoüicidudc.

4) Dada uma medida exterior u,*, A c X é mensurável se, para todo B c X.

u*(B) = u*(B n A) + n*(B \ A).

5) Dada uma medida exterior u.*, a sua restrição u aos subconjuntos mensuráveis de X é uma medida. Se \i* é uma medida exterior de Lebesgue - Stieltjes. então u diz-se medida de Lebesgue - Stieltjes.

6) 'Duas medidas U| e u? em X são topologicamente equivalentes se existir um homeomorfísmo h de X em X tal que m (A) = \X2(hA) para todo A c X mensurável tal que h (A) também seja mensurável.

Note-se que qualquer medida topologicamente equivalente a uma medida de Lebesgue - Stieltjes também é uma medida de Lebesgue - Stieltjes. O próximo teorema dá uma caracterização das probabilidades definidas nos borelianos de X que. essencialmente, são positivas em abertos não vazios, zero em cada ponto e na fronteira de X e determinadas pelos seus valores nos abertos. Estamos interessados apenas na medida de Lebesgue mas, por perturbação, teremos de manipular medidas equivalentes a m (as suas imagens por isomorfismos), daí a relevância desta descrição. Como se trata de componente de teoria da medida marginal ao lema A, não apresentamos a sua demonstração, cujos detalhes estão explicitados em [O-U].

Teorema 2 (pág. 886):

Uma medida ju em X é topologicamente equivalente à medida m se e só se é uma medida de Lebesgue - Stieltjes e // (X) = m (X). A correspondência entre ju e m pode ser feita por um homeomorfísmo que esteja próximo da identidade e que deixe fixo o bordo de X.

Este teorema pode ser reformulado do seguinte modo:

Teorema 2\ (pág. 886):

Para que uma medida exterior u* seja topologicamente equivalente à medida exterior m*é necessário e suficiente que. além das condições Mi até Ms, verifique:

Prevalência da ergodicidade.

Mg: JU*(G) > O se G é um conjunto aberto não vazio; Mj: p*("lpr) = O, onde p é um ponto;

M8: p*(FrX) = O

M9: p*(X) = m(X).

Se p* satisfaz estas condições, então existe um homeomorfismo h de X em X tal que p*(A) - m*(h(A)) para todo A czX, e é tal que deixa o bordo de Xfixo. D

Corolário 1 (pág 887):

Sejam pi e p? duas medidas de Lebesgue - Stieltjes definidas em X tais que p;X = p2X.

Existe um homeomorfismo h de Xem Xtal que pi*(A) = p;2*{h(A)) para todo A czX, e

que deixa fixos todos os pontos do bordo de X. Em particular, qualquer medida de Lebesgue - Stieltjes JU definida em X é topologicamente equivalente a m desde que p (X)=m(X). a

Corolário 4 (pág. 887):

Seja p uma medida Lebesgue - Stieltjes definida em X tal que pX = mX e L um segmento de recta contido no interior de X tal que pL = 0. Então o homeomorfismo que leva pemm pode ser escolhido deforma a que deixe fixos Leo bordo de X.

Demonstração:

Seja R um rectângulo contido em X e E o conjunto obtido retirando a X o interior de R. Se identificarmos os pontos da fronteira de R que têm a mesma abcissa então obtemos X. Assim, podemos definir uma aplicação contínua/de E sobre X que leve os pontos da fronteira de R em L e que seja injectiva nos restantes pontos. Se definirmos

Ui(A)=/?7(/(A)) e Ui(A) = p(/(A)), obtemos duas medidas de Lebesgue - Stieltjes em E e Ui(E) = 02(E). Pelo corolário 1 existe um homeomorfismo h de E em E que deixa fixo o bordo de E e leva ui em U2- Assim, ifo h o/"1) é um homeomorfismo de X em X que

leva u em m e deixa fixos L e o bordo de X. D

Prevalência da ergodicidade.

No que se segue consideraremos, tal como anteriormente, X subdividido em mosaicos quadrados de lado — , i e IN. Para cada /, X é a união de 4' quadrados de

2'

lado — Designemos por (U„)„ a base obtida a partir destas sucessivas subdivisões 2'

diádicas de X.

Lema 5 (pág. 884):

Seja T um homeomorfismo que preserva m definido num subconjunto aberto G de Xo tal que T(G) cX0 e m(G) = m(X). Sejam NeINe Uj, ..., UN elementos da base (U„)„. Então

existe um fechado F e homeomorfismos hj, h2 e tf arbitrariamente perto da identidade

tais que h]oToh2 satisfaz as seguintes condições: (i) é um homeomorfismo que preserva m;

(ii) leva hi1 (G) sobre (hi o T)(G), onde m(h2' (G))=m(X);

(iii) transforma F de tal modo que:

- existe ke IN tal que as primeiras kN imagens de F são disjuntas e exactamente k imagens estão contidas no interior de cada Í7, ;

-m |/z, oToh2)n (F), \<n<kNjn U, = - w([/j ) para 1 <i <N.

A demonstração deste lema envolverá o resto do apêndice, seguindo o esquema delineado no início.

Os dois próximos resultados descrevem como construir um homeomorfismo, que preserve a medida de Lebesgue e deixe fixo o bordo de X, e que leve um ponto noutro distinto.

Lema 12 (pág. 895):

Sejam p e q dois pontos no interior de X. Existe um homeomorfismo T de 9dn tal que

Prevalência da ergodicidade.

Demonstração:

Observemos em primeiro lugar que não há dificuldade em definir um homeomorfismo g que leve/? em q e deixe o bordo de X fixo: basta unirp aos vértices de X e fazer corresponder de modo afim os triângulos resultantes aos triângulos análogos obtidos a partir de q, usando, por exemplo, coordenadas baricêntricas. Assim, o único problema é mostrar que isto pode ser feito através de um homeomorfismo que preserve a medida de Lebesgue. Seja g o homeomorfismo já definido e considere-se a medida exterior u*(A) = m*(g~\A)). Pelo teorema 2 existe um homeomorfismo h de 9ío tal que u*(A) = m*(h(A)). Pelo corolário 4, h pode ser escolhido de modo a deixar o ponto q fixo. O homeomorfismo h o g leva/? em q, deixa o bordo de X fixo e, como m*((h o g)(A)) = u*(g(A)) = w*(A) para todo o boreleano A, h o g e 5W0. a

Lema 13 (pág. 895):

Seja s > 0. Dados dois conjuntos de pontos {pi, ..., pu} e (qi, .... </,v / cada um constituído por N pontos distintos interiores a X tais que ||/?,- - #,|| < £, existe um homeomorfismo T e Mo tal que TfpJ = qh i = 1, ..., N e d(T, Id) < s.

Demonstração:

Note-se que o lema afirma, em particular, que dados dois pontos interiores a X que distem pouco entre si, existe um homeomorfismo perto da identidade, que preserva m e que leva um ponto no outro.

Seja L, o segmento de recta que une/?,- a q,. Como/?,- e qt estão em X0, L, está contido

em Xo. Suponhamos, em primeiro lugar, que estes segmentos são disjuntos. Então, para cada i, podemos incluir L,- no interior de U, escolhido de tal modo que os conjuntos U\, ..., Í7N sejam disjuntos e tenham diâmetro menor do que s. Pelo lema 12, para cada i, podemos definir um homeomorfismos Tt de Ui que preserve a medida m, leve /?, em </, e deixe fixo o bordo de £/,. Esta última condição permite definir um homeomorfismo T de X que é igual a Tj em cada conjunto £/, e igual à identidade no complementar dos conjuntos U,. Uma vez que T apenas permuta pontos que estejam no mesmo conjunto, então qualquer ponto é deslocado por T não mais do que s. Consequentemente d(T, Id) < s.

Prevalência da ergodicidade.

No caso de alguns segmentos L, se intersectarem, unimos cada/?, a q, através de uma

£

cadeia de k+\ pontos p, = pi0, pn, - , put = Qi d e t a l m o d o qu e \\Pu ~ A7+1II <~ e d e

forma que, para cada 1 <j < k, os segmentos Ly que unem/?/,7--i a/ty sejam disjuntos.

Isto pode sempre ser feito; de facto, a menos que dois dos segmentos L; se intersectem num ponto que os divida a meio, será suficiente tomar os pontos py como pontos que dividem L; em k segmentos iguais. No caso excepcional, um pequeno deslocamento de alguns dos pontos médios torna disjuntos os segmentos L\j, ..., LN/ e não altera as desigualdades ||L,y|| < — . Pelo argumento dado acima, para cada j podemos definir um

k

£

homeomorfismo T/ de norma menor do que — tal que 7} (p,,y-i) ~Pij, i= 1, -, N. Logo

K

a função composta T = Tk o TkA o ... o Tx leva p, em qh Mais, a distância de T à identidade é menor que s, dado que, pela desigualdade triangular, a composta de k

£

funções que distam menos que — da identidade dista menos que e da identidade. □ k

O próximo resultado fornece um mecanismo de expansão da medida que permite ligar pontos por cadeias de bolas.

Lema 14 (pág. 896):

Sejam D um subconjunto de X tal que m(D)=m(X) e U§ a operação definida nos subconjuntos de Xpor Us (A) = {x e D: d(x, A) < 8}.

Então, para cada 8 > 0, existe natural M tal que, para todo o homeomorfismo T de D em D que preserve a medida de Lebesgue e para todo o ponto p de D, tem-se

(T O U5)M ({p}) = D, a menos de conjunto de medida zero.

Demonstração:

Note-se que, se A = {x0}, então Us (A) = Us ({x0}) = {x e D: d(x, x0) < 8} =

Prevalência da ergodicidade.

No essencial, a prova consiste em observar que a função composta T o Us opera num conjunto qualquer não vazio aumentando a sua medida de pelo menos uma quantidade positiva mínima fixa, o que garante que, ao fim de um número finito de iterações de To [/<>'obtemos todo o conjunto D.

Fixemos ô> 0 e seja r\5 = min m{B§ (p) n Bs (q)). Observe-se que nô não é a p,qeX

d{p,q)=S

área da intersecção das bolas B£p) e B£q) uma vez que, stpeq estiverem próximos do bordo de X, parte dessa intersecção está no complementar de X. No entanto, para estes casos, se A for a área da bola centrada no ponto médio do segmento de recta que une/? a

S A

a e raio — então ris > — > 0> ficando deste modo garantido que x\s > 0. Seja 2 2

M = — +1 e consideremos um homeomorfismo T: D -> D e a função composta T o Us- Vamos mostrar que por M iterações desta função composta, a partir de um ponto qualquer de D, cobrimos todo o conjunto D.

Suponhamos, por redução ao absurdo, que existe um ponto p G D tal que (T O US)M ({/?}) * D. Seja n um inteiro tal que 0 < n < M. Para cada valor de n tem-se

\US ° (ToUs)" \{p}) * D pois, caso contrário, como m é T invariante, ter-se-ia

((ToUs)(T°Usy\{p})=T(D)=D.

Assim, existe um ponto q e X tal que d(q, (T ° Uõ )" ({/?})) = 6. Seja <?' um ponto de acumulação do conjunto (T O Uõ)"({p}) a distância ô de q. Aplicando Í75 ao

conjunto (T ° U§ )" ({p}) acrescenta-se pelo menos a quantidade m(Be(q)nBs(q')nD)

que é maior que rj& , logo m((Uõ »(ToUg)")({p}))> m((T ° Us)"({?}))+ qs • Deste modo e atendendo a que T preserva m, temos

m((T o UóY+] ({p}))> m((T o U5)n ({p}))+ TJS . Como esta desigualdade se verifica para n = 0, 1,..., M-l,

m^ToUõ)u{{p]))>M7lõ,

Prevalência cia ergociiciducle.

o que é impossível uma vez que, por definição, M775 é maior do que 1.

O próximo lema indica que podemos controlar os iterados de um conjunto finito de pontos escolhidos e assegurar, fazendo pequena perturbação, que eles estão em órbita periódica.

Lema 15 (pág. 897):

Seja TerM definido num conjunto D cXo, com m(D) = m(X). Existem homeomorfismos

Si, SO £ %), próximos da identidade, tais que pela transformação Si o Si o T o Sf os centros de uma sub família finita de (Un)n, estão numa órbita periódica.

Demonstração:

Comecemos por um esboço da prova, que é longa e com notação pesada. Em primeiro lugar, usando o teorema ergódico de Birkhoff, mostra-se que podemos encontrar pontos p,, ...,p, cujas primeiras L imagens por T constituem um conjunto que está "quase" uniformemente distribuído pelos elementos de uma subfamília de (U/;)„. O

passo seguinte consiste em modificar T, compondo-o com uma transformação S\ próxima da identidade, para garantir que estes pontos sejam todos distintos, distribuídos de modo similar e ligados de maneira a formarem uma órbita periódica. Assim, por .S', o T existirá uma órbita periódica formada por pontos q\, .... qs dos quais kL estão distribuídos exactamente como as primeiras L imagens de p\, .... p,. Entretanto será garantido que estes s pontos e os centros dos elementos de uma subfamília mais fina de (U„)/7 estão suficientemente próximos para poderem corresponder-se por homeomorfismo perto da Identidade. Por esta última transformação 52 os pontos q\, ..., Í/, são levados nesses centros de modo que estes constituem uma órbita periódica por s 2 o S\ o T o sy ■

Vejamos agora os detalhes. Sejam 5 um número positivo qualquer e U\, ..., U^ elementos da base (U„)„ com diâmetro menor do que S, digamos N = 2""" para algum « > 0. Ordenemos estes conjuntos de tal modo que U, tenha pelo menos um vértice comum com Ul+\. para 1 < / < N.

Prevalência da ergodicidade.

Consideremos a função característica do interior de Uh x ° • O teorema ergódico

* 1 "

garante que o limite % o (p) = lim - £ % ° ( T V ) existe em »?-quase todo/) e

í Z*° (p)dm= \ x o (p)i/w. D í/, D £/. Como m(D) = m(X), J ^ 0 (p)dm= \ x o (p)dm = m(JJ,). D f/,- X [/, Além disso, N 1

X=\JU-e os £/,- têm todos a mesma medida, logo m(Uj) =— e portanto

,=i ' N

\ X*o (p)dm= — .

D U, N

Podemos escolher um conjunto finito de pontos pi, ..., p( de tal modo que a média de

X o neste conjunto é quase igual ao integral da função em D, isto é, U,

1 ( * 1

- I Z ° (Pk)--

ik=\ U, N

< — . De facto, sejam J um número natural maior do que 2N e, N2

para cada conjunto de naturais i\,..., /'N não superiores a J, definam-se /, - 1

A,- ; =< peD: < x o (p) < — para 1 <j < N

U, J

Para os conjuntos A;- ,- que tenham medida positiva, escolha-se p\j um ponto

qualquer de A;- ,- . Note-se que, por definição, em A7- j a imagem de cada função

* 1 X o está contida em intervalo de amplitude - e portanto, se peAj / , então _U,

X ° (p)-x ° (P/,.../N)

u

u,

< - . Além disso, D = U A; ; em medida e portanto

J /1.../M _'1-'N ífc ♦ ♦ = Í J o (p)í//?3 = f X o 0 ) d m = I í Z o (p)rfro N D C/,- U A,,,N Uj ' l 'JN A , j . . . ,N Uj ' 1 - ' N 57/71

Prevalência da ergodicidade.

Então, se substituirmos % ° (p) pela constante x ° (/?/,.../M) obtemos

u,

UJ ' 1 - ' N

X í X*° ÍPh...i^)

dm

= Z * j (^...^'"(A/,...^)-

' ] - ' N A, 1-'N Logo, I * o (Jp ^ . . iN) w ( A |1. jN) N , , ,N Uj ' l - ' N ^ I I ^*° (p)dm- Z | j*o (pj j )dm U '1 'NA,, ,N U y ' 1 - ' N A ,] / N L/y t / i <!-<N

* s 1

'1-i'N A ' 1 - ' N J*o ( P ) - Z * ° (Piu.jJ Uj

u,

dm< E í -í/m = - I m(Az- / N) 'i-'NA,, ,N J J M.../N 1 1 1 1 = -777(D) = - - l = - < . J J J 2N2

Sejam r; ,• números racionais tais que

' 1 - ' N S X_° (,P/1.../N)r/1...7N N ■-'N t/y 1 V < e y r; ; = 1.

2N

2

,X '■"

N

Tais números existem uma vez que £ w(A; j ) =/w(D) = W7(X) = 1 e os racionais

'Í-'N

são densos em IR. Seja K um múltiplo comum a todos os denominadores das fracções Tj i , e escolham-se Kr(- , pontos de cada conjunto A7- ,- que tenha medida

positiva. Designem-se tais pontos por pi, ...,PK ■

Então temos .

X z° (Pi,..^)%..i

n

-~^Zo(p

k

)

'1-'N Uj K.*-l t/y K ' 1 - ' N I * ° ( / V J " Nt/ ) I OV - ' N ~t-1 t/, ^ ° (^ } K _Í-'N

I

* ° {Pi_^ vJH)-X ° (/?,-) t / i Kr/ / 1-"'N < — K I K. ,,...,N Z o ( P , - . . . /N) - J o (Pi)

u,

'I—'N t/, /,...zN

1 ^ 1 1 _j_

" . E j '7 l-Í N ~ j 7 7' -/ N " J J < ? N2 /1.../NJ J J /1...ÍN J J ^iN '1 - ' N J " ' l - ' N

Prevalência da ergodicidade. 1 1 K * - - - I Z ° (Pk) N KA=i Uj < iN ,,...,N L/y 1 1 1 < + = ,2 ~ , X T 2 X T 2

+ I x} {PÍ

V

.^)%..^--ZX} (

Pk

)

1 -'N Uj J^*=l t/y < 2NZ 2NZ N '

Suponhamos que os pontos /?i, ..., /?K são escolhidos de tal modo que nenhuma das suas imagens pertença ao bordo de um conjunto Uj, o que é possível uma vez que isto significa apenas evitar um conjunto de medida zero. Como

* 1 "

% 0 (pk) = lim — X X ° (Tupk), para rc suficientemente grande tem-se

£/, «->co /?L) = 1 ( 7

1 1 * 1 »

N K * = ,«„=, Uj

<-L,y = l,...,N.

_N2

Logo, para n suficientemente grande, 1 ] K n

- - — E I J O <r

Pk

)

N Krt * = !<,= ! f/y

+

2ÍM + 1) 1 — - < — N- (1)

onde M é o natural associado a ô pelo lema 14.

Seja L um dos valores de n que satisfazem a desigualdade (1) e tal que, para um natural P > a, se tenha 22p - K < K(L + M) < 2 . Tal número L existe, uma vez que

os naturais K(n + M) são múltiplos de K maiores que um determinado número. Se considerarmos s = 22p e Ki = s - K(L + M), então 0 < Ki < K, uma vez que

2ip - K < K(L + M) « s - K < K(L + M) <^ s - K(L + M) < K « K, < K

e

K(L + M ) < 22 / J O K ( L + M ) < Í O 5 - K ( L + M ) > 0 < = > K , > 0.

Prosseguimos escolhendo s pontos distintos q\,..., qs de D que verifiquem:

• à{Tq„ qi+]) não excede ô, para todo o 1 < i < s •qs+\ = qü

Prevalência da ergodicidade.

• KL destes pontos devem pertencer ao interior do mesmo conjunto Uj onde estão Tupk,\<v<L,\<k<K.

Esta selecção pode ser feita do seguinte modo. Seja q\ = Tp\ e, para 1 < i < L, escolha- se q, dentro do conjunto da partição diádica ao qual pertença T'p\ e de tal modo que Tqi esteja no mesmo conjunto desta partição que T'+Xp\. Aplicando o lema 14 à função T~

temos que qL e (T~1 °Usf ({p2}) = D. Logo TqL e\ Us «.(r1 o U õf']{{p2}). v

M-l

Escolhamos qL+] em \T ' o JJÕ j {{p2}) de tal modo que d(#L+i, TqL) não excede 5.

Para 1 < i < M - l , seja <7L+; ponto em (r"1 ° t/^ J {{p2}) t a l ^u e a distância

d(qi+i,Tqi+i.i) não excede ô. Então d(TqL+M-\, pi) também é menor ou igual a 5. Tomemos qt+u a uma distância menor ou igual a ô de 7#L+M-I e de tal modo que F^L+M

esteja no mesmo conjunto da partição diádica que 7)?2-

Para 1 < / < L, seja q^+u+t no mesmo conjunto da partição diádica que T 'pi e de tal modo que Tq^+u+i esteja no mesmo elemento desta partição conjunto que T+ pi.

Em resumo, para 1 < i < M escolhemos pontos q^+i de modo a, por iteração de T, nos aproximarmos de pi. Agora, de modo análogo, escolhem-se M pontos ^L+M+Í, com

1 < i < M, de modo a, usando a dinâmica, chegarmos perto de p^. Finalmente o ponto <7(K-l)(L+M)+L é escolhido no conjunto ao qual pertença TL(p^).

A seguir, com uma cadeia de M+Ki pontos (em vez de M pontos como nos casos anteriores), fechamos a órbita periódica com exactamente s pontos. Isto pode ser feito, uma vez que Í?(K-IXL+M)+L pertence a \^'1 oUõJ ' ({/?,})• N o último passo temos

q e(T~l °Us)({p,}) e escolhemos qs suficientemente próximo de p\ de modo que

d(qs, Tqs.\) não exceda ô e consequentemente T(qs) esteja a uma distância menor ou igual a ô de q\ = T(p\).

Em cada passo do argumento anterior, cada ponto pode ser escolhido de forma a garantir que os pontos q\, ..., qs sejam distintos (e consequentemente os pontos T(q{), ...,

T(qs) também são distintos).

Prevalência cia crgodiciJude.

partição diádica que os pontos T{p\). T2{p\), .... TL(p\), T(p2), ..., i(pi), ■■■■ TQ\)

rL(/?k)- E, para todo o /, d(g,+i, Tq) não excede 5, uma vez que estes pontos estão no

interior do mesmo elemento da partição diádica ou foram escolhidos verificando essa condição.

Pelo lema 13. podemos definir um homeomorfismo S\ e Mo, com norma menor do que 5, que leva Tq, em qi+l, 1 < / < s. Pela função composta S\ o T. os pontos q\ qs

formam uma órbita periódica. Além disso, como KL destes pontos estão na mesma componente diádica que os correspondentes Tu p, , 1 < o <L,\<k < K , segue-se que:

- - - I / o (q,) N ,v/ = i U, 1 1 K L K M + K XT

- I I / o ( ! > , ) +

< < 11 1 «— - I I / o (T" L P/ N K L ,= l u =, {/,. . v - K L KM + Ki + +

Como K| = s- K(L+M), temos s- KL = K,+KM, logo

. v - K L KM + K, K, + KM _ KM + K, _ 2(KM + K, ) . 2( K M t K ! • + ■ < 2K(M + 1) 2K(M + 1) 2(M + 1) 2(M + 1) K(L + M) + K, L + M K e portanto 1 1 ' — --I.X ° Üt N .V, = i Ur 1 1 K L N KL*xiü,i [/,. 2(M + 1) L de onde resulta, por (1), que

N .v, = i L/,. N-

Assim, a percentagem de pontos da família {q\ ^ j e m cada Uj difere de — menos

do que —— N2

Prevalência da ergodicidade.

Reordenemos os pontos q\, ..., qs colocando primeiro os que estão em U\, depois os que estão em U% e assim sucessivamente. Designemos a sucessão de pontos resultante por q\\ .... qs\ Sejam q\", ..., qs" os centros dos s = 22/? elementos da /? - ésima

subdivisão diádica, mais uma vez colocando primeiros os que estão em U\, depois os que estão em U2 e assim sucessivamente.

Vamos mostrar que os pontos q? e q" estão ou no mesmo elemento da partição diádica ou em elementos adjacentes. O número de pontos q-, em qualquer conjunto Uj

' 5 s

difere de — menos do que ——. Logo os índices dos pontos qf de Uj estão entre

N N

2

(j-\)s js js js 0 ' - 2 ) Í Q' + 1)J

— — e — + — , que estão compreendidos entre e , os

N N2 N N2 N N

minorante e majorante dos índices dos pontos g," que estão em Uj.\, Uj e Uj+\.

Como estes elementos da partição diádica são adjacentes, a distância de q? a çr," é menor do que 28 e portanto, pelo lema 13, podemos definir um homeomorfísmo S2 e Mo que dista da Identidade menos do que 2õe que leva qï em q", para todo o

1 < i < s. Os pontos q" constituem, deste modo, uma única órbita pela função composta S2 o S\ o To S2'1, que é por isso periódica, G

Os próximos dois lemas referem-se a conjuntos de Cantor: descrevem uma condição topológica que é suficiente para que um subconjunto de Cantor de X seja equivalente a um linear (isto é, contido em IR) através de um homeomorfísmo que deixe o bordo de X fixo.

Lema 16 (pág. 900):

Seja A Œ IR um conjunto de Cantor contido no interior de um elemento Uo da partição diádica (U„) e seja f um homeomorfísmo com domínio Uo e imagem num subconjunto de X. Então existe um homeomorfísmo h de X em X que deixa fixo o bordo de Xe é tal que

(hoj) (p) = p para todo pe A. Demonstração:

Prevalência da ergodicidade.

então existe um homeomorfismo /z e .% tal que (h of) (Ui) c Ui e (h of) QJ2) c U2. De seguida, usando descrição de A como intersecção encaixada de família de elementos de (Un), define-se uma sucessão (h„)n de homeomorfismos de 9ío tal que a sequência de compostas (hn o... o fy )n e í N converge para um homeomorfismo he HQ que verifica h o

f(P) =P Pa r a to<^° o p de A.

Sejam pi e P2 os centros de Ui e U2 respectivamente. Como pi e P2 são distintos e pertencem ao interior de X, as suas imagens pelo homeomorfismo / , / ( p i ) e/p2), são

também distintos e pertencem ao interior de X. Logo podemos definir um homeomorfismo hxe #"0 tal que (h\ of) (pi) = pi e (h\ of) (p2) = p2. Assim, hx o / é um homeomorfismo de Uo sobre um subconjunto de X que deixa fixos os pontos pi e p2.

Por continuidade, existem elementos da partição diádica, Ui' e U2' digamos, em torno

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