Oscillateur harmonique - Fonctions classiques Cours de master 1, 4M004 Université Pierre et Mar

4

2¹1!

ⅇ

-x2

2 H3(x)π

-1 4

2³3!

ⅇ

-x2

2 H5(x)π

-1 4

2⁵5!

Figure10.4 – Fonctions d’Hermite φ_2k+1,0≤k≤2.

10.3 Oscillateur harmonique

10.3.1 Equation différentielle

Lemme 10.3.1. Soit n ∈ N. Alors la fonction d’Hermite φ_n définie par (10.2.2) vérifie l’équation différentielle

−φ⁰⁰_n(x) +x²φ_n(x) = (2n+ 1)φ_n(x). (10.3.1) Démonstration. En utilisant (10.2.2) et (10.1.12), il vient

φ⁰_n(x) =

H_n⁰(x)−xH_n(x) e^−x²^/2(2ⁿn!)^−1/2π^−1/4, φ⁰⁰_n(x) =

H_n⁰⁰(x)−xH_n⁰(x)−H_n(x)−x H_n⁰(x)−xH_n(x) e^−x²^/2(2ⁿn!)^−1/2π^−1/4

H_n⁰⁰(x)−2xH_n⁰(x) + (x²−1)H_n(x) e^−x²^/2(2ⁿn!)^−1/2π^−1/4

−2nH_n(x) + (x²−1)H_n(x) e^−x²^/2(2ⁿn!)^−1/2π^−1/4

=−(2n+ 1)φ_n(x) +x²φ_n(x), ce qui donne le résultat cherché.

10.3. OSCILLATEUR HARMONIQUE 163

10.3.2 Création, annihilation

Définition 10.3.2. L’opérateur de création (resp. annihilation) A+ (resp. A−) est l’opérateur différentiel deS(R) dans lui-même donné par

A₊= 1

√2

− d dx +x

, A−= 1

√2 d

dx +x

. (10.3.2)

L’oscillateur harmonique H est l’opérateur différentiel de S(R) dans lui-même donné par

H= 1 2

− d² dx² +x²

. (10.3.3)

Remarque 10.3.3. Du lemme 10.3.1, il vient pour n∈N, Hφ_n = (1

2+n)φ_n. (10.3.4)

Lemme 10.3.4. Sur S(R), on a

H =A₊A₋+1

2, (10.3.5)

[A−, A₊] =A−A₊−A₊A−=I. (10.3.6) Démonstration. Pour ψ ∈S(R), on a

2(A₊A−ψ)(x) = (− d

dx +x)

ψ⁰(x) +xψ(x)

=− ψ⁰⁰(x) +xψ⁰(x) +ψ(x)

+xψ⁰(x) +x²ψ(x), ce qui donne 2A₊A− = 2H −I et (10.3.5). De plus, on a

2(A−A₊−A₊A−)ψ

= d

dx+x

(−ψ⁰(x) +xψ(x))−

− d dx +x

(ψ⁰(x) +xψ(x))

=−ψ⁰⁰(x) +ψ(x) +xψ⁰(x)−xψ⁰(x) +x²ψ(x)

+ψ⁰⁰(x) +ψ(x) +xψ⁰(x)−xψ⁰(x)−x²ψ(x) = 2ψ(x), soit le résultat cherché.

Lemme 10.3.5. Soit n∈N. On a φn= 1

√n!Aⁿ₊φ0 (10.3.7)

A₊φ_n=√

n+ 1φ_n+1, (10.3.8)

A−φn+1 =√

n+ 1φn, A−φ0 = 0. (10.3.9)

Démonstration. En utilisant (10.2.3), calculons (A₊φ_n)(x) = 2^−1/2(−1)ⁿ(2ⁿn!)^−1/2π^−1/4(x− d

dx)n

e^x²^/2 d dx

{e^−x²}o . Comme (sur S(R)), on a

dx −x=e^x²^/2 d

dxe^−x²^/2, (10.3.10)

il vient

(A₊φ_n)(x) = (−1)ⁿ⁺¹(2ⁿ⁺¹n!)^−1/2π^−1/4e^x²^/2 d dx

n+1

{e^−x²}=√

n+ 1φ_n+1, soit (10.3.8). La propriété (10.3.7) est vérifiée pour n = 0, et si on la suppose vraie pour un entier n ≥0, il vient

φn+1 =

|{z}

(10.3.8)

(n+ 1)^−1/2A+φn = (n+ 1)^−1/2(n!)^−1/2A+Aⁿ₊φ0 = Aⁿ⁺¹₊ φ₀ p(n+ 1)!, et donc (10.3.7). En outre, en utilisant (10.3.8), il vient

A−φ_n+1 = (n+ 1)^−1/2A−A₊φ_n =

|{z}

(10.3.6)

(n+ 1)^−1/2 A₊A−+ 1 φ_n

|{z}

(10.3.5)

(n+ 1)^−1/2 H+ 1 2

φ_n =

|{z}

(10.3.4)

(n+ 1)^−1/2(n+ 1)φ_n= (n+ 1)^1/2φ_n. De plus, on a

π^1/4√

2A−φ₀ = ( d

dx +x)(e^−x²^/2) = 0, ce qui termine la démonstration du lemme.

10.3.3 Opérateurs sur `

( N )

Grâce au Théorème 10.2.2, l’application

`²(N) −→ L²(R) (a_n)n∈N 7→ P

n∈Na_nφ_n

est un isomorphisme isométrique d’espaces de Hilbert d’application réciproque Ψ : L²(R) −→ `²(N)

u 7→ (hu, φ_ni)n∈N

. (10.3.11)

On peut donc identifier L²(R) à `²(N) via ces applications. Considérons le sous-espace vectoriel E de L²(R) défini par

E ={X

n∈N

a_nφ_n}_(a

n)n∈N∈E˜, (10.3.12)

10.3. OSCILLATEUR HARMONIQUE 165 donné par lamatrice diagonale infinie



L’opérateur de création A₊ vérifie

A₊φ_n =√ est isométrique, injectif et non surjectif avec une image de codimension 1. Si(e_n)n∈N

est la base hilbertienne standard de `²(N), on a

avec un résultat dans `²(N) si P

nn|a_n|² < +∞. Notons que l’opérateur borné de

`²(N)dans lui-même donné par S⁰ (a_n)n∈N

= (b_n)n∈N, b_n=a_n+1 pour n≥0, (10.3.15) est surjectif, non injectif avec un noyau de dimension 1 égal à Ce₀. Si (e_n)_n∈_N est la base hilbertienne standard de `²(N), on a

S⁰e₀ = 0, S⁰e_n=e_n−1, pour n≥1, kerS =Ce₀. On peut remarquer que S^∗ =S⁰ car

hS^∗e_m, e_ni_`²₍_N₎ =he_m, Se_ni_`²₍_N₎ =he_m, e_n+1i_`²₍_N₎ =δ_m,n+1,

soit S^∗e₀ = 0, S^∗e_m =e_m−1 pourm≥1. On peut résumer une partie des résultats précédents par le résultat suivant.

Théorème 10.3.6. L’oscillateur harmonique H défini par (10.3.3) vérifie H=X

n≥0

2+n)Pn, Id =X

n≥0

Pn, (10.3.16)

où Pn est la projection orthogonale sur Cφ_n, se prolonge en un opérateur continu de l’espace E (défini en (10.3.12)) dans L²(R).

10.3.4 La dimension supérieure

Soit d≥1. On définit pour α= (α_j)1≤j≤d∈N^d, x∈R^d, Φ_α(x) =

j=1

φ_α_j(x_j), E_n =Vect{Φ_α}_α∈_Nd,|α|=n, (10.3.17) avec |α| =α₁+· · ·+α_d. On dira que les fonctions Φ_α sont les fonctions d’Hermite en dimension d.

Lemme 10.3.7. La dimension de E_n est C_n+d−1^d−1 .

Démonstration. Démontrons queCard{α∈N^d,|α|=l}=C_l+d−1^d−1 .Commençons par prouver par récurrence sur l que

C_l+d−1^d−1 = X

0≤j≤l

C_j+d−2^d−2 , (10.3.18)

ce qui est vérifié pour l = 0, et comme C_l+d^d−1 =C_l+d−1^d−1 +C_l+d−1^d−2 , on obtient C_l+1+d−1^d−1 =C_l+d−1^d−1 +C_l+d−1^d−2 = X

0≤j≤l+1

C_j+d−2^d−2 , ce qui démontre (10.3.18). On a par ailleurs

Card{α∈N^d,|α|=l}= X

0≤j≤l

Card{β ∈N^d−1,|β|=j}, (10.3.19)

10.3. OSCILLATEUR HARMONIQUE 167

ce qui permet de démontrer par récurrence surd que Card{α ∈N^d,|α|=l}=C_l+d−1^d−1 ,

car cette propriété est vraie pourd= 1 et si elle est vérifiée pour un entierd ≥1, il vient de (10.3.19), (10.3.18),

Card{α ∈N^d+1,|α|=l}= X

0≤j≤l

Card{β∈N^d,|β|=j}= X

0≤j≤l

C_l+d−1^d−1 =C_l+d^d . Montrons par récurrence surdque les P

0≤k≤nC_k+d−1^d−1 fonctions{Φα}|α|=k,0≤k≤n sont indépendantes. C’est vrai pourd= 1. Supposons que cette propriété est vérifiée pour un entierd ≥1. Supposons que

α∈N^d+1,|α|≤m

c_αΦ_α = 0.

On obtient alors l’identité X

0≤k≤m

n X

β∈N^d

|β|=m−k

c_(β,k)Y^d

j=1

φ_β_j(x_j)o

φ_k(x_d+1) = 0,

et de l’indépendance des fonctions{φ_k(x_d+1)}0≤k≤m, il vient l’identité sur R^d X

β∈N^d

|β|=m−k

c_(β,k)

j=1

φ_β_j(x_j) = 0.

L’hypothèse de récurrence démontre que tous lesc_β,k sont nuls.

Remarque 10.3.8. En posant pour 1≤j ≤d, A_+,j = 1

√2 − ∂

∂x_j +x_j

, A−,j = 1

√2

∂

∂x_j +x_j

, (10.3.20)

il vient de (10.3.7), avec α! =Q

1≤j≤dα_j!, Φ_α(x) =

j=1

φ_α_j(x_j) = 1

√ α!

j=1

A^α_+,j^j φ₀ (x_j).

Théorème 10.3.9. Les (Φ_α)α∈N^d forment une base hilbertienne de L²(R^d)composée par les vecteurs propres de l’oscillateur harmonique en dimension d :

H= 1

2 −∆_x+|x|²

n≥0

d 2 +n

Pⁿ, Id =X

n≥0

Pⁿ, (10.3.21) où Pn est la projection orthogonale sur E_n, espace de dimension C_n+d−1^d−1 . La valeur propre d/2 est simple en toute dimension et E₀ est engendré par

Φ0(x) =π^−d/4e^−|x|²^/2.

Démonstration. Remarquons tout d’abord que pourα, β ∈N^d,Φ_α,Φ_βappartiennent à la classe de Schwartz S(R^d) et que

hΦα,Φβi_L²₍_R^d₎= Z

R^d d

j=1

φαj(xj)

j=1

φβj(xj)dx

j=1

hφ_α_j, φ_β_ji_L²₍_R₎ =

j=1

δ_α_j_,β_j =δ_α,β. Démontrons que l’orthogonal de l’espace engendré par {Φα}_α∈_N^d est réduit à {0}.

Soit f une fonction de L²(R^d) telle que, pour toutα∈N^d,

f(x)Φ_α(x)dx = 0.

Comme chaque H_n est un polynôme de degré n, l’espace vectoriel engendré par {H_n}0≤n≤N est l’espace des polynômes de degré ≤N (récurrence sur N). Par suite on a

pour toutα∈N^d, Z

f(x)x^αe^−|x|²^/2dx= 0.

Considérons la fonction F, donnée pour z ∈C^d par F(z) =

f(x)e^−|x|²^/2e^P^1≤j≤d^z^j^x^jdx.

On a pour K compact deC^d,M_K = sup_z∈K|Rez|, l’estimation sup

z∈K

|f(x)e^−|x|²^/2e^z·x| ≤ |f(x)|

| {z }

L²

e^−|x|²^/2e^|x|M^K

| {z }

L²

∈L¹(R^d),

et comme z 7→ f(x)e^−|x|²^/2e^zx est entière, la fonction F est entière. En outre, pour α ∈N^d, il vient

F^(α)(0) = Z

f(x)e^−|x|²^/2x^αdx = 0,

ce qui implique que F est identiquement nulle. La fonction R^d 3 x 7→ h(x) = f(x)e^−|x|²^/2 appartient à L¹(R^d)comme produit de deux fonctions deL²(R^d) (inéga-lité de Cauchy-Schwarz). On a de plus

h(ξ) =ˆ F(−2iπξ) = 0,

de sorte que la transformée de Fourier de h est nulle, et donc h = 0. On a donc, pour presque tout x∈R^d,

f(x)e^−|x|²^/2 = 0,

ce qui implique f(x) = 0 presque partout etf = 0 comme fonction deL²(R^d). Nous avons donc démontré que

Id =X

n≥0

Pⁿ.

10.3. OSCILLATEUR HARMONIQUE 169

En outre de (10.3.20), il vient H= X

1≤j≤d

H_j, H_j = 1 2 − ∂²

∂x²_j +x²_j ,

et donc pour α∈N^d,

HΦ_α = X

1≤j≤d

1 2+α_j

Φ_α = d

2 +|α|

Φ_α,

ce qui démontre H=P

n≥0 d 2 +n

Pⁿ.

Remarque 10.3.10. Bien entendu, l’opérateur H n’est pas borné sur L²(R^d), mais peut se définir sur l’espace

E ={X

n≥0

α∈N^d

|α|=n

a_αΦ_α}_(a

α)_α∈

Nd∈E˜, (10.3.22)

avecE˜ ={(a_α)_α∈_N^d ∈`²(N^d),X

α∈N^d

|α|²|a_α|² <+∞}. (10.3.23) La restriction de H à E est complètement déterminée par les restrictions de H à ranPn =E_n et l’on vient de voir que

H|E_n = d 2 +n

Id. (10.3.24)

Chapitre 11 Appendice

11.1 Arithmétique élémentaire

On utilisera constamment et sans référence explicite les propriétés de la relation d’ordre sur N, et en particulier qu’un sous-ensemble non vide deN possède un plus petit élément, i.e. N est bien ordonné. On désignera par Z l’anneau des entiers relatifs.

11.1.1 Division euclidienne

Nous allons d’abord établir que Zest un anneau euclidien.

Théorème 11.1.1. Soient a et b des entiers, b 6= 0. Il existe un et un seul couple d’entiers (q, r) tels que

a=bq+r, 0≤r <|b|. (11.1.1) Démonstration. Si (q_j, r_j) vérifient (11.1.1), on a bq₁+r₁ = bq₂ +r₂, ce qui donne b(q1−q2) = r2−r1 et donc |b| >|r1−r2| =|b||q1 −q2|, qui implique q1 = q2 puis r₁ = r₂. Considérons maintenant, en supposant b ≥1, l’ensemble des entiers k ∈ Z tels quea <(k+ 1)b. Commeb ≥1, cet ensemble est non vide et minoré. Soitq son plus petit élément : on a

qb≤a <(q+ 1)b,

ce qui donne (1.1.1). Sib ≤ −1, on applique le résultat précédent au couple (a,−b).

Nous allons exploiter le Théorème 11.1.1pour montrer que l’anneau Z est prin-cipal.

Théorème 11.1.2. Soit H un sous-groupe additif de Z. Il existe un unique entier a≥0 tel que H =aZ={ak}k∈Z.

Démonstration. On peut supposer que H n’est pas réduit à {0}. Considérons alors H∩Z^∗+ : c’est un ensemble non vide minoré d’entiers (Z^∗+ est l’ensemble des entiers

≥1). Soit a son plus petit élément ; comme H est un groupe additif on a aZ⊂ H.

Réciproquement si x∈ H, d’après le Théorème 11.1.1, x=aq+r avec 0≤r < a; si on avait r > 0 l’égalité précédente impliquerait r ∈ H ∩Z^∗+, donc r ≥ a, ce qui contreditr < a. Par suite on obtient r= 0 et H =aZ.

171

Définition 11.1.3. Soient a et b des entiers. Les entiersa∧b (ppcm de a et b) et a∨b (pgcd de a etb) sont définis par

aZ∩bZ= (a∧b)Z, aZ+bZ= (a∨b)Z.

Notons tout d’abord que la définition est cohérente car aZ∩bZet aZ+bZ={ak+bl}_k,l∈_Z,

sont des sous-groupes de Zet que le Théorème 11.1.2assure qu’ils sont de la forme cZ, où cest le plus petit élément strictement positif du sous-groupe. Par ailleurs la terminologie ppcm (plus petit commun multiple) est justifiée par le fait que aZ∩bZ est l’ensemble des multiples communs à a et b et que d’après la définition et le théorème qui précède, a∧b est le plus petit élément strictement positif deaZ∩bZ. La terminologie pgcd (plus grand commun diviseur) est justifiée par le fait que si d divise a et b, i.e. a, b∈dZ, alors(a∨b)Z=aZ+bZ⊂dZ, d’oùd divise a∨b, et en particulier si d≥ 0, d ≤a∨b. De plus on aa, b∈(a∨b)Z donc a∨b divise a et b.

Finalement la notation ∧est rémanente de l’intersection∩alors que le∨rappelle la réunion ∪: le groupe aZ+bZ est le groupeengendré par aZ∪bZ, i.e. l’intersection des sous-groupes contenant aZ etbZ.

Théorème 11.1.4. Soient a et b des entiers . Alors (a∨b)×(a∧b) =±ab

Démonstration. Supposons tout d’abord que a et b soient premiers entre eux, i.e.

a∨b = 1, i.e. ka+lb= 1 pour des entiers k, l. On a a∧b =ma=nb et donc nkb=mka=m−mlb, m=b(nk+ml),

d’où m est divisible parb, ce qui donne le résultat car a∧b =ab(nk+ml)∈abZ.

Dans le cas général, si a∨b =d, alors a= da⁰, b = db⁰, avec a⁰ et b⁰ premiers entre eux car kda⁰+ldb⁰ =d et donc ka⁰ +lb⁰ = 1. Il vient

(a∨b)(a∧b) =d(da⁰∧db⁰) =dd(a⁰ ∧b⁰) = d²a⁰b⁰ =ab.

11.1.2 Congruences

Soit a un entier non nul. On considère le sous-groupe H = aZ qui est aussi un idéal de Z, i.e. un sous-groupe additif tel que pour tout x ∈ Z, xH ⊂ H. L’anneau quotient Z/aZ est muni canoniquement d’une structure d’anneau commutatif uni-taire (non nécessairement intègre). En effet, si x¯ et y¯ sont les classes de x, y ∈ Z, alors on définit

x⊕y¯=x+y, x¯⊗y¯=xy, ce qui est légitime car, pour α, β ∈H

x+α+y+β =x+y+ (α+β)

| {z }

∈H

et (x+α)(y+β) = xy+ (αy+βx+αβ)

| {z }

∈H carHest un idéal

11.1. ARITHMÉTIQUE ÉLÉMENTAIRE 173

Notons par exemple que Z/2Z est le corps à deux éléments {¯0,¯1} avec ¯1 + ¯1 = ¯0, que

Z/4Z={¯0,¯1,¯2,¯3}, n’est pas intègre car¯2×¯2 = 0, que

Z/nZ={¯0,¯1,¯2, . . . , n−1}.

En effet si x∈Z et n6= 0, la division euclidienne donne x=qn+r,0≤r <|n|.

D’autre part, si r₁ et r₂ sont deux entiers distincts dans [0, n[, ils sont distincts modulo n, car r1−r2 ne peut être multiple non nul de n.

Proposition 11.1.5. Soit p un entier ≥ 2. Les propriétés suivantes sont équiva-lentes.

(i) p n’a pas de diviseur non trivial.

(ii) Z/pZ est un corps.

(iii) Pour tout entier a /∈pZ, p∨a= 1.

(iv) (p−1)! + 1 = 0 dans Z/pZ (Théorème de Wilson).

Lorsque ces conditions sont vérifiées, on dit que p est un nombre premier.

Démonstration. Supposons (i). Soit 2 ≤ a ≤ p−1 un entier. Comme a et p n’ont pas de diviseur commun, a∨p= 1, i.e.aZ+pZ =Z, d’où il existe k, l entiers tels que

ak+pl= 1 i.e. ak = 1 dans Z/pZ,

donc a est inversible et (ii) est démontré. Le même argument donne l’équivalence entre (i), (ii), (iii). Il reste à démontrer le théorème de Wilson (iv). Supposons tout d’abord que (i)(ii)(iii) soient satisfaits. Alors si 2≤x≤p−2,x est inversible dans Z/pZ et x6=x⁻¹ sinon

0 =x²−1 = (x−1)(x+ 1) etx∈ {1, p−1}, donc

{2, . . . , p−2}={x₁, x⁻¹₁ , . . . , x^p−3

2 , x⁻¹p−3 2

Par suite le produit2.3. . .(p−3)(p−2) = 1et donc(p−1)! =−1soit (iv). Récipro-quement si (iv) est satisfait,(p−1)! est inversible dans Z/pZ, et donc 2,3, . . . , p−2 le sont également, ce qui donne (ii).

Remarque 11.1.6. Si a, b, c sont des entiers tels que a|bc i.e a divise bc, i.e bc ∈ aZ et que a et b sont premiers entre eux i.e. a∨b = 1, alors a|c. En effet l’hypothèse signifiebc= 0 etb inversible dansZ/aZ. il vient c= 0 dans Z/aZ.

Définition 11.1.7. La fonction d’Euler ϕ est définie sur les entiers naturels par ϕ(1) = 1 et pour n≥2 par

ϕ(n) =Card {x∈Z/nZ, x inversible}. (11.1.2)

Proposition 11.1.8. La fonction ϕ est multiplicative, i.e. vérifie

pour a∨b= 1, ϕ(ab) =ϕ(a)ϕ(b), (11.1.3) En outre on a

ϕ(n) = nY

p|n

1− 1

. (11.1.4)

Pour démontrer cette proposition, on va d’abord établir le lemme

Lemme 11.1.9 (Théorème chinois). Soient a et b des entiers premiers entre eux.

Alors aZ+bZ=Z et il existe α, β entiers tels que aα+bβ = 1. L’application F : Z/aZ×Z/bZ −→ Z/abZ

(x, y) 7→ bβx+aαy est un isomorphisme d’anneaux.

Démonstration du lemme. Notons tout d’abord que cette application est bien définie car elle fait correspondrebβx+aαy+ (kβ+lα)abà(x+ka, y+lb). C’est évidemment un homomorphisme de groupe, qui plus est injectif : si bβx+aαy = 0, alorsbβx = 0 dans Z/aZ et comme bβ = 1 dans Z/aZ on a x = 0. On obtient de même y = 0. La surjectivité est conséquence de l’égalité des cardinaux. En outre, F est un isomorphisme d’anneaux car, modulo ab,

(bβx+aαy)(bβx⁰+aαy⁰)−(bβxx⁰ +aαyy⁰)

= (b²β²−bβ)xx⁰+ (a²α²−aα)yy⁰

=xx⁰bβ(−aα) +yy⁰aα(−bβ) = 0.

Démonstration de la proposition. Le résultat (11.1.3) est alors une conséquence im-médiate du Lemme 11.1.9. De plus pourp premierϕ(pâ) =pâ−pâ−1¹et donc pour

(1.2.4) n = Y

1≤j≤r

p^a_j^j, ϕ(n) =n Y

1≤j≤r

(1− 1 p_j).

En outre, pour p premier X

d|p^a

ϕ(d) = 1 + X

1≤b≤a

ϕ(p^b) = 1 + X

1≤b≤a

p^b(1− 1

p) = 1 + (1− 1

p)p(p^a−1

p−1) = p^a. Ceci implique que

d|Q p^aj_j

ϕ(d) = X

d1|p^a₁¹,...,dr|p^arr

ϕ(d₁. . . d_r)

= X

d1|p^a₁¹,...,dr|p^ar_r

Yϕ(d₁). . . ϕ(d_r)

=Y X

dj|p^aj_j

ϕ(d_j) =Y

p^a_j^j =n.

1. Simest un multiple dep, alorsm=kp, kppâ−1= 0etmn’est pas inversible modulopâ; les multiples depentre 1 et pâ sont{kp}_1≤k≤pa−1. Si mn’est pas un multiple depalorsm∨pâ = 1 car un diviseur commun à met àpâ doit être une puissance de p.

11.1. ARITHMÉTIQUE ÉLÉMENTAIRE 175

La formule (11.1.4) est prouvée.

{��

��

�� }

Figure 11.1 – Les 1000 premiers nombres premiers.

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