OSCILLATEUR HARMONIQUE EN RÉGIME FORCÉ
I ‐ L'OSCILLATEUR FORCÉ
L'oscillateur livré à lui‐même (oscillateur libre) se met à osciller grâce à l'énergie emmagasinée. Dans le chapitre précédent, on an a vu que la force de frottement induit un amortissement des oscillations qui s'annulent au bout d'un certain temps (quelques ). Si l'on veut maintenir ces oscillations, il faut restituer régulièrement à l'oscillateur l'énergie dissipée par les forces de frottement (ou par effet Joule dans le cas du circuit ) : on dit qu'il faut entretenir ces oscillations. Pour cela on applique une force, dite force excitatrice, (ou excitateur) indépendante de l'élongation du système. L'oscillateur qui répond aux excitations est appelé, pour des raisons qui apparaîtront plus tard, résonateur et les oscillations entretenues par la force excitatrice sont dites oscillations forcées.
Cette étude est très intéressante car elle permet de traiter une grande variété de phénomènes de même type, mais de natures physiques très différentes. Il peut s’agir de systèmes mécaniques (un amortisseur de voiture par exemple) soumis à des contraintes extérieures, des atomes excités par des ondes lumineuses, ou encore certains réseaux électriques soumis à des excitations (circuits RLC par exemple).
À titre d'exemple d'oscillations forcées, on va considérer le cas d'une excitation sinusoïdale de type où est la pulsation de la force excitatrice et une constante.
I ‐ 1 ‐ équation différentielle du mouvement
Considérons le cas de l'oscillateur amorti par frottement visqueux étudié dans le chapitre IV : c'est l'exemple d'une masse attachée à un ressort de raideur et soumis, en plus de la force de rappel , à une force de frottement visqueux où est le coefficient de frottement visqueux ( 0).
Appliquons le théorème de l'énergie mécanique :
. .
avec (pulsation propre) et (coefficient d'amortissement)
Cette équation différentielle est une équation de second ordre avec second membre dont la solution est la somme :
de la solution générale de l'équation différentielle sans second membre, c'est à dire de l'équation (qui correspond à l'oscillateur amorti étudié dans le chapitre précédent). Après un certain temps plus ou moins court selon la force de frottement, cette solution tend vers zéro.
d'une solution particulière de l'équation différentielle avec second membre. Cette solution particulière
s'écrit :
62 I ‐ 2 ‐ étude du mouvement
I ‐ 2 ‐ a ‐ régime transitoire et régime permanent
Le régime transitoire correspond à la solution complète de l'équation différentielle (somme de la solution générale et de la solution particulière). Ce régime qui ne dure pas puisque après un temps (quelques ) la solution générale s'annule, est dit régime transitoire.
Quand le régime transitoire s'est complètement évanoui (solution générale s'annule) il ne subsiste que la solution particulière est le régime est dit permanent (oscillations forcées ou régime forcé).
Les oscillations forcées (régime permanent) sont caractérisées par la solution :
où est l'amplitude du régime forcé et le déphasage par rapport à l'excitation
I ‐ 2 ‐ b ‐ étude du régime permanent (détermination de et )
Dans ce paragraphe on va utiliser deux approches pour déterminer l'amplitude du régime forcé et le déphasage par rapport à l'excitation.
méthode algébrique :
Il s'agit de remplacer, dans l'équation différentielle de mouvement, par et identifier les différents termes.
si alors équation (1)
si alors équation (2)
la somme des carrées des deux équations précédentes donne :
puis, éé
méthode des complexes :
Pour cette méthode on associe à chaque grandeur algébrique une fonction complexe telle que c'est à dire dans notre problème, au déplacement sinusoïdal , on associe la fonction complexe
63 telle que puis à on associe la fonction complexe telle
que et à l'équation différentielle du mouvement on associe l'équation
différentielle complexe
Le nombre est le nombre complexe tel que
avec qui est l'amplitude complexe.
Il est clair que : | | et
maintenant si alors et
L'équation différentielle complexe du mouvement donne, après simplification par :
d'où :
| |
et
I ‐ 2 ‐ c ‐ réponse en amplitude
On dit qu'il y a résonance d'amplitude si l'amplitude des oscillations forcées, ,prend une valeur maximale.
L'amplitude prend une valeur maximale si le dénominateur de l'expression donnant est minimal, c'est à dire si la fonction est minimale. Déterminons alors l'expression de pour laquelle est minimale (donc est maximal).
ou
La deuxième solution ne donnera des valeurs réelles que si √
√
‐ Si
√ on deux solutions possibles :
et
Les amplitudes sont :
pour
64
et pour c'est la résonance en amplitude.
‐ Si √ alors il n'existe qu'une seule solution l'amplitude décroit avec la pulsation
pas de résonance.
On remarque bien que l'amplitude tend vers zéro quand la pulsation de l'excitation devient trop grande. Pour un faible amortissement on observe une résonance d'amplitude qui se manifeste par un pic pour une valeur de . Pour un amortissement très faible, la résonance d'amplitude a lieu en . Dans le cas général la résonance d'amplitude est obtenue pour . Pour les amortissements forts, cette résonance disparaît.
Le schéma ci‐dessous donne la variation de en fonction de la pulsation de l'excitateur.
On définit la bande passante comme étant l'intervalle des fréquences pour lequel l'amplitude est égale à
√
√
et
I ‐ 2 ‐ d ‐ réponse en phase
Rappelons que
et
Résonance aiguë ( ≪ )
Résonance floue
Proche de l’amortissement critique
Amortissement fort (pas de résonance)
)
√ )
65 On remarque que , ceci signifie que la réponse de l'oscillateur est en retard de phase par rapport au résonateur.
si alors et ; si → alors → et si → ∞ alors →
I ‐ 2 ‐ e ‐ étude de la vitesse (résonance de vitesse)
où est l'amplitude complexe de la vitesse.
| |
On dit qu'il y a résonance de vitesse si la vitesse prend une valeur maximale. Déterminons alors l'expression de pour laquelle on a résonance de vitesse.
donc quel que soit l'amortissement, il y a résonance de vitesse pour : et l'amplitude de la vitesse est
Maintenant le déphasage ′ entre la vitesse de l'oscillateur et la force excitatrice est donné par la relation :
′
où est le déphasage entre l'amplitude de l'oscillateur et la force excitatrice
I ‐ 2 ‐ f ‐ impédance mécanique
On appelle impédance mécanique, le rapport de l'amplitude complexe de la force excitatrice et de l'amplitude complexe de la vitesse :
Posons et
| |
Remarque :
À la résonance et
Pour le circuit électrique équivalent (circuit ) l'impédance électrique est | | et à la résonance .
66 celles‐ci ont une contribution nulle au moment cinétique pris en un point particulier, ce qui simplifie parfois grandement l'analyse. C'est ainsi qu'il est utilisé pour démontrer la seconde loi de Kepler décrivant les mouvements des planètes autour du Soleil.
Soit un point matériel , de masse , en mouvement avec une vitesse dans un référentiel . Soit un point fixe de ce référentiel.
Le moment cinétique dans , en , du point est défini par le produit vectoriel de son vecteur position et sa quantité de mouvement :
∧ ∧
Dans le système international, le moment cinétique est exprimé en . .
Remarque : moment cinétique en un point ′ dans
Considérons un point ′ dans . Le moment cinétique en ce point ′ est :
′ ∧ ′ ∧ ∧ ′ ∧
APPLICATION :
Considérons le référentiel fixe , muni de la BOND , , . Exprimer le moment cinétique en dans le système des coordonnées cylindriques du point .
Étudier le cas particulier d'un mouvement qui s'effectue dans le plan .
Solution :
Vecteur moment cinétique dans le cas d’une trajectoire plane