Le bon comportement par changement de variables de l’int´egrale des formes diff´erentielles sur Rd (proposition
9.13) permet d’envisager une extension de l’int´egrale aux vari´et´es. Comme sur les espaces vectoriel, il y a toutefois un probl`eme d’orientation.
Une orientation d’une vari´et´e M est la donn´ee, pour chaque x ∈ M , d’une orientation de l’espace vectoriel TxM .
On demande de plus que cette orientation de TxM d´epende r´eguli`erement de x c’est `a dire que, si V1, . . . , Vd sont
des champs de vecteurs (diff´erentiables) dont les ´evaluations en un point x forment une base orient´ee de TxM , alors
il existe un voisinage de x en chaque point y duquel les vecteurs V1(y), . . . , Vd(y) forment une base orient´ee de TyM .
De mani`ere ´equivalente, si ϕ est une carte en x pour laquelle dϕx: TxM −→ Rd est orient´ee, alors dϕy est orient´ee
pour tout y dans un voisinage de x.
Toute forme volume ω (c’est `a dire toute d-forme ne s’annulant pas) d´efinit une orientation de M : la base v1, . . . , vd de TxM est orient´ee si ωx· (v1, . . . , vd) > 0. Cette orientation d´epend continument du point car la
fonction ω(V1, . . . , Vd) est diff´erentiable (donc continue) si Vi sont des champs de vecteurs diff´erentiables.
R´eciproquement :
Proposition 9.31. Si M est orient´ee, il existe sur M une forme volume compatible avec l’orientation de M c’est `a dire une d-forme ω telle que ωx· (v1, . . . , vd) > 0 pour toute base orient´ee v1, . . . , vd de TxM .
Considerons un recouvrement de M par des ouverts de carte Uidiff´eomorphes `a Rd. Sur chacun de ces ouverts,
il existe une forme volume orient´ee ωi (ou prend la pr´eimage de la forme d´eterminant, ou son oppos´e). On consid`ere
aussi une partition de l’unit´e fi localement finie subordonn´ee au recouvrement Ui. La forme fiωi se prolonge par 0
en une forme sur M . La somme P
ifiωi est localement finie, et d´efinit une d-forme ω. Pour tout x ∈ M et toute
base orient´ee v1, . . . , vd de TxM , on a ωx· (v1, . . . , vd) =Pifi(x)(ωi)x· (v1, . . . , vd). Dans cette somme, tous les
termes sont nuls sauf un nombre fini d’entre eux (et au moins un) qui sont strictement positifs. La forme ωxest donc
non-nulle est orient´ee.
On dit qu’une vari´et´e est orientable si elle admet une orientation. C’est ´equivalent `a l’existence d’une forme volume (c’est `a dire d’une d-forme ne s’annulant pas), et c’est donc aussi ´equivalent `a la trivialit´e du fibr´e vectoriel AdT M (qui est de rang 1). Une vari´et´e orientable connexe admet exactement deux orientations, car la donn´ee de
deux orientations d´etermines un signe localement constant et donc constant. Propri´et´e 9.32. La sph`ere Sd
est orientable pour tout d, l’espace projectif RPd = Sd/±Id est orientable si et
seulement si d est impair.
On obtient une orientation de TxSd en choisissant les bases v1, . . . , vd telles que x, v1, . . . , vd est une base
orient´ee de Rd+1 (c’est l’orientation de la sph`ere en tant que bord de la boule).
L’application −Id pr´eserve cette orientation de la sph`ere si et seulement si d est impair. En effet, l’orientation de −x, −v1, . . . , −vd est (−1)d+1. On conclut avec le lemme ci-dessous.
Lemme 9.33. Soit π : M −→ N un diff´eomorphisme local, et soit ϕ un diff´eomorphisme de M tel que π ◦ ϕ = π. Si N est orientable, alors M l’est aussi. Si de plus M est connexe, alors ϕ pr´eserve l’orientation.
Soit ω une forme volume sur N. Alors π∗ω est une forme volume sur M , qui est donc orientable. De plus,
ϕ∗(π∗ω) = (π ◦ ϕ)∗ω = π∗ω donc ϕ pr´eserve la forme volume π∗ω sur M , et donc l’orientation.
Les vari´et´es non orientables admettent un revˆetement `a deux feuillets orientable, dont voici une construction. Soit AdT M le fibr´e vectoriel de rang un au-dessus de M dont les d-formes sont les sections. On peut le consid´erer
comme un sous-fibr´e de M × Rd+1. Son intersection ˆM avec M × Sd est une vari´et´e de dimension d, qui est telle
que la projection π : ˆM −→ M est un revˆetement `a deux feuillets. La sym´etrie σ : (x, v) 7−→ (x, −v) pr´eserve ˆM et sa restriction est un diff´eomorphisme σ tel que π ◦ σ = π et σ ◦ σ = Id.
Proposition 9.34. La vari´et´e ˆM est orientable. Si M est connexe, alors ˆM est connexe si et seulement si M est non orientable.
On appelle ˆM le revˆetement des orientations.
Tout point ˆx de ˆM est de la forme (x, ω) o`u ω est une d-forme non-nulle sur TxM . On d´efinit une forme
volume α sur ˆM par
α(x,ω):= dπ(x,ω)∗ ω.
La vari´et´e ˆM ´etant munie d’une forme volume, elle est orientable. De plus, la sym´etrie σ inverse l’orientation de ˆM que nous venons de d´efinir. En effet
(σ∗α)(x,ω)= dσ(x,ω)∗ α(x,−ω)= dσ(x,ω)∗ dπ∗(x,−ω)(−ω) = −d(π ◦ σ)(x,ω)ω = −α(x,ω).
Si ˆM est connexe, le lemme ci-dessus implique que M n’est pas orientable. Si M est connexe, mais pas ˆM , alors ˆ
M est la r´eunion de deux composantes connexes en restriction de chacune desquelles π est un diff´eomorphisme. En particulier, la projection π admet une section globale, qui est une forme volume sur M . La vari´et´e M est alors orientable.
Soit α une d-forme sur la vari´et´e orient´ee M support´ee dans un compact d’un domaine de carte orient´ee. On d´efinit l’int´egrale
Z M α := Z Rd ϕ∗α
o`u ϕ : Rd −→ M est n’importe quel plongement orient´e dont l’image contient le support de α. La proposition
9.13implique que cette valeur ne d´epend pas du choix de ϕ. En effet, si ψ est un autre plongement orient´e, alors ψ∗α = (ϕ−1◦ ψ)∗(ϕ∗α), et ϕ−1◦ ψ pr´eserve l’orientation, doncR ψ∗α =R ϕ∗α.
Soit Λd
cM l’espace des d formes `a support compact sur M .
D´efinition 9.35. L’int´egrale α 7−→R
Mα est l’unique forme lin´eaire sur Λ d cM telle que R Mα = R Rdϕ ∗α lorsque ϕ
est un diff´eomorphisme orient´e de Rd dans un ouvert de M et α une d-forme support´ee dans l’image de ϕ.
Pour toute partie compacte K de M , l’int´egrale α 7−→ R
Kα est l’unique forme lin´eaire sur Λ
dM telle que
R
Kα =
R
ϕ−1(K)ϕ∗α lorsque ϕ est un diff´eomorphisme orient´e de R
d dans un ouvert de M et α une d-forme
support´ee dans l’image de ϕ. Pour calculer R
Kα, on recouvre le compact K par un nombre fini d’images Ui de param´etrisations orient´ees
ϕi: Rd−→ M , on choisit une partition de l’unit´e fi de M subordonn´ee au recouvrement (Ui, M − K) de M , et on
pose Z K α =X i Z ϕ−1i (K) ϕ∗i(fiα) = X i Z K fiα.
Si (gj) est une autre partition de l’unit´e subordonn´ee `a un recouvrement par ouverts de cartes, alors
X j Z K gjα = X i,j Z K figjα = X i Z K fiα,
c’est `a dire que la somme est ind´ependante de la partition de l’unit´e choisie.
Propri´et´e 9.36. Soit φ : M −→ N un diff´eomorphisme pr´eservant l’orientation, soit K un compact de N , et soit α une d-forme sur N . On a
Z φ−1(K) φ∗α = Z K α
Il suffit de montrer la formule pour les formes α support´ees dans l’image d’une param´etrisation orient´ee ϕ. Dans ce cas, la forme φ∗α est support´ee dans l’image de la param´etrisation orient´ee φ−1◦ ϕ, et on a
Z φ−1(K) φ∗α = Z (φ−1◦ϕ)−1(ϕ−1(K) (φ−1◦ ϕ)∗φ∗α = Z ϕ−1(K) ϕ∗α = Z K α.