CHAPITRE 2 : FORMULATION INCREMENTALE ET IMPLANTATION DANS UN CODE
3. I MPLANTATION DANS UN CODE ELEMENTS FINIS
3.3. Organisation de la base des données d'ABAQUS®
Dans la routine utilisateur UMAT, les données ou variables liées à la loi de comportement sont classées en propriétés du matériau et en variables internes. Les propriétés matériau sont stockées dans la matrice PROPS tandis que les variables internes sont sauvegardées dans la matrice STATEV. La principale caractéristique qui permet la distinction entre les propriétés et les variables d'état est que ces premières n'évoluent pas pendant la simulation d'un processus irréversible. Nous pouvons les appeler "constantes du matériau". Par opposition, les variables d'état sont susceptibles d'évoluer durant la transformation du matériau. Du point de vue de la méthode des éléments finis, les constantes du matériau sont associées à des sets d’éléments. Les variables internes doivent être gérées au niveau des points d'intégration numériques.
3.3.1. Propriétés des matériaux
Dans la liste des données et variables identifiées dans le paragraphe précédent, les constantes suivantes sont considérées comme propriétés du matériau:
nombre de systèmes de glissement N,
la matrice d’élasticité
[ ]
C ,la matrice des coefficients d’interactions
[ ]
a ,les parties symétrique et antisymétrique du tenseur de Schmid
{ } { }
Sg et Rg,
le vecteur de Burgers b ,
la constante
α
,la constante
K
,la constante Yc,
le type de loi de comportement: élasto-plastique ou élasto-viscoplastique,
le numéro de la loi d'écoulement,
la constante γ&, 0
la constante m.
Le nombre des ces propriétés dépend principalement du type de réseau cristallographique du matériau. Notre approche est applicable à tous les types de réseau, cependant dans un premier temps seuls les réseaux suivants sont programmés:
- cubique faces centrées (CFC)
- cubique centré (CC)
- hexagonal compact (HC).
Un programme auxiliaire material.for a été développé en Fortran 99 préparant un fichier rattachable au fichier nom.inp d' ABAQUS®. A titre d'exemple, nous présentons sur la Figure 55 la structure d'un tel fichier pour les matériaux de type CC à deux familles de systèmes de glissement. Dans ce cas, nous admettons l'existence de 24 systèmes de glissement différents. Pour diminuer la taille de ce fichier, uniquement les triangles supérieurs de la matrice des constantes élastiques et de la matrice d'interactions entre les systèmes de glissement sont saisis. Un total de 570 constantes et mots-clés est nécessaire pour définir un tel matériau. Néanmoins, ce nombre important de paramètre n’a pas d’incidence sur le temps de calcul. De plus il existe une dépendance entre la plupart de ces coefficients, seuls les 11 paramètres listés ci-dessous nécessitent une identification à partir d’une campagne expérimentale :
- C11, C44, C12 : 3 constantes de la matrice d’élasticité,
- τ0 : cission initiales d’une famille de glissement (2 valeurs pour un CC), - b : la norme du vecteur de Burgers,
-
α
: 1 constante,- K : paramètre matériau lié au libre parcours moyen des dislocations, - Yc : distance d’annihilation critique des dislocations,
- γ& : vitesse de glissement de référence, 0 - m : sensibilité à la vitesse de glissement.
Nous rappelons que ce jeu de constantes concerne un set d’éléments finis correspondant au matériau en question.
Figure 55 : Structure d'un fichier des propriétés d'un matériau CC à deux familles de systèmes de glissement.
3.3.2. Variables internes
La construction du fichier des variables internes est conditionnée par la définition des grains constituant la structure. Deux approches peuvent être envisageables. Nous les présentons, plus en détail, dans la suite de ce chapitre. Dans la première approche, chacun des
24 - nombre de systèmes de glissement C11
C12 21 constantes de la matrice d'élasticité (triangle supérieur)
M C66
a11
a12 300 constantes de la matrice d'interaction entre les systèmes
M (triangle supérieur) a24 24 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 S S R R R M
composantes du tenseur de Schmid du système 1
M 216 constantes 24 1 24 1 24 1 24 2 24 3 S S R R R M
composantes du tenseur de Schmid du système 24
1 0 24 0 τ τ M 24 cissions initiales
b – la norme du vecteur de Burgers
α – constante
K – paramètre matériau lié au libre parcours moyen des dislocations YC – distance d’annihilation critique des dislocations
viscoplasticité - mot clé définissant le modèle (autre alternative – plasticité) n – numéro de la loi d'écoulement (entre 1 et 3)
n’ – numéro du modèle (1=viscoplastique, 2=plastique)
0
γ& – vitesse de glissement de référence m – sensibilité à la vitesse de glissement
grains est constitué d’un ensemble d'éléments. Dans ce cas, le fichier des variables internes doit contenir autant de blocs de données qu'il y a de grains (sets d'éléments). Dans la deuxième approche, les grains sont constitués par des ensembles de points d'intégration. Dans cette approche, un élément peut faire partie de deux ou plusieurs grains. Dans ce cas, le fichier de variables internes contient autant de blocs de données qu'il y a de points d'intégration dans le maillage. De plus, un traitement particulier doit être adopté. En effet, l'initialisation des variables internes au niveau des points d'intégration numérique se fait par l'intermédiaire d'une autre routine utilisateur SDVINI qui doit être appelée au début du calcul. Nous avons développé un programme auxiliaire en Fortran 99 préparant les fichiers contenant les blocs de variables internes dans le cas de la première stratégie. Lorsque les grains sont définis par point d’intégration, la génération du fichier des variables internes est prise en charge par le programme germination.exe. Le fonctionnement de ce code développé sous Visual Basic, qui permet également la génération des microstructures, est détaillé dans le chapitre suivant.
Conformément à l'analyse faite dans le paragraphe précédent, un bloc de données de variables internes est constitué de:
la déformation élastique
{ }
Ee ,la déformation permanente
{ }
Ep ,la déformation plastique équivalente p
eq
E ,
les trois angles définissant l'orientation du réseau ϕ φ ϕ1, , 2,
les densités de dislocations
{ }
ρ ,le nombre de systèmes actifs,
les incréments des glissements plastiques sur tous les systèmes
{ }
∆γ ,les glissements plastiques cumulés
{ }
γ .Le stockage des variables telles que la déformation plastique équivalente, le nombre de systèmes actifs, les incréments de glissements plastiques et leurs amplitudes n'est pas indispensable pour le déroulement du calcul. Nous l’effectuons pour les besoins de l'analyse du processus de déformation plastique. La Figure 56 présente la structure d'un fichier de variables internes pour un matériau de type CC à 24 systèmes de glissement. Un ensemble de 89 valeurs est géré par ABAQUS® pour chaque point d'intégration numérique.
Figure 56 : Structure d'un fichier de variables internes d'un matériau CC à deux familles de systèmes de glissement 1 6 e e E E
M 6 composantes de la déformation élastique
1 6 p p E E
M 6 composantes de la déformation plastique
p eq
E la déformation plastique équivalente
NACTI le nombre de systèmes actifs
1 ϕ
φ
3 angles d'Euler 2 ϕ 1 24 ρ ρ M 24 densités de dislocations 1 24 γ γ ∆ ∆M 24 incréments de glissements plastiques
1
24
γ
γ