Ordres de grandeur

Dans cette section nous allons nous intéresser aux ordres de grandeurs néces-saires afin de reproduire l’élévation et l’extension des arches du disque d’AU Mic. Pour le calcul, nous nous plaçons dans les approximations de la section précédente.

4.2. AU Mic 107

S.V. Bogovalov: On the physics of cold MHD winds from oblique rotators 1021

to −1 for the points where the field lines enter the surface. It is

convenient to introduce the following function

D(x) =



1, ifx ≥ 1

−1, ifx < 1. ⁽²⁷⁾

The sign of the function η on the surface of the star varies with

the sign of the product (e · e

M

), where e is the unit vector

directed to the point on the surface of the star, e

_M

is the unit

vector directed along the magnetic moment. This product can

be presented as

(e· e

M

) = sin χ sin θ sin ϕ + cos χ cos θ. (28)

Then, on the surface of the star, the functionη is

η(θ, ϕ− Ωt) = D(sin χ sin θ sin(ϕ − Ωt) + cos χ cos θ). (29)

Actually this is the boundary condition for Eq. (26). The

equa-tion can be presented in the form

B

_r

^∂η

∂r ^{+ B}

^θ

∂η

r∂θ ^{+ B}

^ϕ

∂η

r sin θ∂ϕ ^{= 0. (30)}

The equations for the characteristics of this equation are

dr

B

_r

⁼

r sin θdϕ

B

_ϕ

⁽³¹⁾

and

dr

B

r

= ^rdθ

B

θ

. (32)

Therefore the general solution is

η(r, θ, ϕ, t) = f (θ −

Z

r

B

_θ

dr

rB

r

, ϕ−

Z

r

B

_ϕ

dr

r sin θB

r

), (33)

where the integrals over r are taken along the field line of the

poloidal magnetic field of the axisymmetric solution,f is an

ar-bitrary function. The solution satisfying the boundary condition

(29) has the form:

η(r, θ, ϕ, t) = D

sin(χ) sin(θ −

Z

r R_∗

B

_θ

dr

rB

_r

⁾×

× sin(ϕ −^R

_R^r_∗ ^Bϕdr r sin θBr

− Ωt) +

+ cos(θ − ^R

_R^r_∗ ^Bθdr rBr

) cos χ

. (34)

It follows from this solution thatη

²

= 1 and η changes sign

when the magnetic field changes direction. It is easy to show

now that equations of motion (7-9) are also satisfied for the

solution (19-23) at the function η defined by (34). Notice that

on the left hand side of these equations there is no functionη. In

the right hand side of the equations of motion, functionη comes

in the combination A

_i

η

^∂ηBk

∂xl

, where A

_i

and B

_k

are arbitrary

components of fields of the axisymmetric solution, andx

_l

is a

spatial or time coordinate in 4-space. This relationship can be

presented as

A

_i

η^∂ηB

^k

∂x

_l

^{= η}

2

A

_i

^∂B

^k

∂x

_l

^{+ A}

ⁱ

^B

^k

1

2

∂η

²

∂x

_l

^{= A}

ⁱ

∂B

_k

∂x

_l

^{. (35)}

Z Ω

Fig. 4. Top panel shows the structure of field lines and the current sheet

(thick wave-like line) in the poloidal plane. The lower panel shows the

same in the equatorial plane. Arrows show the direction of the magnetic

field lines. The direction of the field lines changes on the current sheet.

Therefore, the function η disappears in the equations of

mo-tion. Here we ignore the difference in the dynamics of the

cur-rent sheet and the surrounding plasma assuming that the curcur-rent

sheet is the mathematical discontinuity as usual in ideal MHD.

This assumption can be violated for the oblique rotators at large

distances from the star. But, at large distances, the dynamics

of the current sheet can be considered particularly in WKB

ap-proximation (Coroniti 1990; Michel 1994).

Thus, we obtain the self-consistent solution for the oblique

rotator from the known self-consistent solution for the

axisym-metric rotator. The sketch demonstrating the structure of the cold

wind from the oblique rotator is presented in Fig. 4. The

struc-ture of the plasma flow is symmetric in relation to the equator.

The form of the poloidal field lines is the same as for the

axisym-metric rotator. In general there is a collimation of the plasma

flow to the axis of rotation, although the effect of the

collima-tion depends on the parameters of the problem (Bogovalov &

Tsinganos 1999). In the axisymmetric flow the current sheet

dividing the magnetic fluxes of opposite directions is located

on the equator. In the wind from the oblique rotator, the current

sheet takes the form of a wave. In the poloidal plane the poloidal

magnetic field lines change direction on the current sheet. At

first glance it seems that this behavior contradicts magnetic flux

conservation. The bottom panel of Fig. 4 shows the structure of

the field lines in the equatorial plane. It is seen that there is no

contradiction with the magnetic flux conservation since the total

magnetic field depends on the azimuthal angle ϕ. The velocity

FIGURE4.2 – Structure à grande échelle de la nappe de courant d’un rotateur

oblique dans le plan équatorial. Les flêches marquent l’inversion de la direction du champ à la traversée de la nappe de courant. Figure tirée de

BOGOVALOV,1999.

L’axe magnétique de l’étoile est supposé incliné par rapport à son axe de rotation afin de provoquer une inversion du signe du champ magnétique dans le plan équa-torial comme décrit section4.1.

L’enroulement de la nappe de courant, que nous avons vu figure4.1, est schéma-tisé figure4.2à plus grande échelle. L’azimuth φ d’une de ces lignes à une distance r donnée s’exprime comme (PARKER,1958) :

φ−φ₀= ^ω?r0 v_sw  r r₀ −1−ln  r r₀  (4.4)

où φ₀ est l’azimuth de la ligne de courant à la distance de corotation r₀. Loin de l’étoile, le terme en logarithme est négligeable et l’azimuth évolue linéairement avec la distance. Les lignes de la figure4.2sont donc régulièrement espacées. Cette dis-tance correspond à un changement d’azimuth de π, donc le champ magnétique s’in-verse sur une distance L =πv_sw/ω?. Dans le cas d’AU Mic, la vitesse du vent stel-laire est estimée à 450 km/s (STRUBBEet CHIANG,2006) et sa période de rotation est de 4.85 jours (ω? = 1.48×10⁻⁵rad s⁻¹, KIRAGA,2012; IBAÑEZBUSTOSet al.,2019) ce qui donne une distance d’inversion d’environ 0.6 UA.

Nous nous plaçons dans une géométrie cartésienne présentée dans la figure4.3. L’axe(Ox)est radial, selon le déplacement de la poussière. Ce déplacement est sup-posé à vitesse constante v_x. Le champ magnétique est supposé constant sur la dis-tance radiale considérée et orienté selon(Oy), et son signe varie sur la distance L. D’après nos calculs précédents, le grain va subir une accélération verticale constante, qui s’inverse à chaque changement de signe du champ magnétique. La trajectoire du grain est donc une série de portions de paraboles. À chaque inversion, les conditions initiales sont imposées par la position et la vitesse du grain. Pour que le grain oscille autour du plan moyen du disque, il faut que l’altitude soit la même aux deux traver-sées de la nappe de courant consécutives.

108 Chapitre 4. Prospective sur le champ magnétique dans les disques de débris

x z

Dust trajectory Out of the plane

trajectory

J −→_B N J N

L

h

FIGURE4.3 – Géométrie du cas simple. Le champ magnétique s’inverse

régulièrement selon x (lignes pointillées bleues). Deux trajectoires possibles des grains sont représentées en marron et en mauve. Les arches sont caractérisées par leur longueur L et leur hauteur h.

L’accélération selon(Oz)s’exprime comme : d²z

dt2 =−_m^qv_swB_y. (4.5)

Intégrée deux fois, avec une vitesse initiale vz0 et une altitude initiale nulle,

z(t) = −^qvswBy 2m ^t 2+v_z0t , (4.6) z(x) = −^qv_2m^swBy  x v_x 2 +v_z0 ^x v_x ^{. (4.7)}

La distance nécessaire pour repasser à la même hauteur est donnée par la distance entre les deux racines de l’équation,

L= √

∆

a = ^2mvxvz0

qv_swB_y ^{, (4.8)}

ce paramètre étant fixé par les données de notre problème. La hauteur maximale est atteinte en x= L/2, h = −^qv_2m^swBy  L 2v_x 2 +v_z0 ^L 2v_x ^(4.9) = −^vz0vx L  L 2v_x 2 +vz0 L 2v_x ^(4.10) h = ^Lvz0 4vx = ^qL 2v_swB_y 8mv2 x . (4.11)

4.2. AU Mic 109

Pour AU Mic, les arches apparaissent sur le dessus du disque, avec une éléva-tion de l’ordre d’une unité astronomique, et une extension radiale aux alentours de 10 UA. Selon notre modèle, l’extension des arches devrait être au maximum de 1.2 UA (correspondant à deux fois la distance d’inversion L du champ magnétique), en prenant en compte les effets de projection et si toute l’oscillation se fait au-dessus du plan du disque. L’extension des arches au-dessus et en dessous du plan moyen du disque dans notre modèle semble en contradiction avec les observations, mais pour-rait s’expliquer par un effet d’inclinaison du disque. L’extension radiale des arches est fixée par la vitesse de rotation de l’étoile (qui est bien contrainte) et par la vitesse du vent stellaire, qui est seulement estimée. Un accord d’un ordre de grandeur pour ce calcul n’est pas choquant, notre modèle étant extrèmement simplifié.

Dans notre modèle, l’élévation des structures est contrainte par la valeur du champ magnétique de l’étoile. Comme cette valeur est compliquée à estimer, nous allons chercher l’ordre de grandeur nécessaire pour atteindre l’élévation observée. En fixant h ≈ 1 UA, vx ∼ 10⁵m/s (d’après les vitesses projetées observées) et q/m∼1 C/kg (avec un grain micrométrique, KIMURAet al.,2018), le champ magné-tique azimutal au niveau des arches doit être de l’ordre de 10⁻⁹T. Pour un grain sub-micronique avec q/m ∼ 100 C/kg, ce champ peut être encore 100 fois plus faible, à 10⁻¹¹T.

Les mesures de champ magnétique se font au niveau de la surface stellaire. SAAR, 1994a mesuré un champ moyen de 4.2 kG sur les surfaces actives, couvrant 55% de la surface totale de l’étoile. Afin d’avoir une valeur seuil pour le champ à grande échelle, on propage ce terme comme un dipôle jusqu’à une surface-source située à quelques rayons stellaires (en suivant l’exemple en 1/r³de VIDOTTOet al.,2013). La spirale de Parker démarre à partir de cette source. En prenant une surface-source à r₀ = 2.5 R?, on obtient un champ radial B₀ =1.48×10⁻2T. Le champ azi-mutal est donné par (équation4.1) :

Bφ(r) =B₀^r

2

0^ω?

rv_sw ^(4.12)

À 10 UA, la composante azimutale du champ vaut 4×10⁻⁷T.

Cette composante est encore 100 fois plus grande que l’ordre de grandeur calculé au paragraphe précédent. On voit donc que le champ magnétique est suffisamment puissant pour expliquer l’élévation verticale des grains. Néanmoins ce modèle ne donne pas la bonne extension radiale des arches : elle doit être au maximum de 1.2 UA, alors que les observations donnent plutôt une valeur autour de 5 UA, voire même plus pour les structures externes (voir figure2.7). Il nécessite également un accord parfait de la vitesse verticale au moment de la traversée de la nappe de cou-rant pour que le grain puisse poursuivre ses oscillations autour du plan équatorial. Cette configuration est difficilement compatible avec une distribution de taille (donc de rapport q/m) et de vitesse, ce qui risque d’être un frein dans la formation d’une arche à grande échelle.

Afin de vérifier ces calculs, j’ai effectué une simulation numérique de ce modèle. Je me suis cette fois placé en trois dimensions, afin de savoir si les approximations faites restent valables. J’ai repris des conditions initiales proches (q/m ≈ 1 C/kg, vx ≈ 100 km/s) et le champ magnétique est celui décrit par l’équation 4.1, avec la normalisation qui vient d’être décrite. Les résultats obtenus sont représentés fi-gure4.4. La vitesse principale reste selon(Ox)et la force de Lorentz provoque bien des oscillations verticales du grain. Sur le graphe de droite, on peut voir que ces os-cillations ont une amplitude mesurable mais faible, autour de 0.3 UA initialement et

110 Chapitre 4. Prospective sur le champ magnétique dans les disques de débris -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 0 10 20 30 40 50 60 70 Champ magnetique (1d-9 T) Position x (UA) Valeur du champ magnetique

x y 0 10 20 30

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