Dans cette sous-partie, nous allons calculer les flux photoniques moyens que l’on peut esp´erer obtenir avec, d’une part un miroir coll´e entre deux cristaux microscopiques et pomp´es dans des conditions telles que l’analogie avec un miroir unique oscillant est r´ealis´ee, et d’autre part un APO monolithique et microscopique pomp´e dans des conditions telles que l’analogie avec une cavit´e en oscillation r´esonante est r´ealis´ee.
Rappelons pour commencer l’expression de l’´equivalent de vmax/c lors de la r´eflexion sur un miroir immobile pr´ec´ed´e d’un cristal d’indice moyen n, de susceptibilit´e moyenne χ(2) et de longueur l, pomp´e `a Ω avec un faisceau laser continu de flux photonique Φ et focalis´e sur une aire A : βl,Φ = l Ω 2cn r ~ΩΦ 2ε0cAnχ(2) (3.185)
Consid´erons par exemple un ´echantillon microscopique de CdS pomp´e `a Λ ≃ 1, 2µm. On aura alors un indice moyen n ≃ 5, 35 et une susceptibilit´e χ(2) ≃ 10−11m.V−1. Pour une ´epaisseur l ≃ 0, 18µm, une puissance de pompe ~ΩΦ ≃ 1W, et une aire de focalisation A ≃ 10−10m2 (ce qui correspond `a un waist w ≃ 10µm), on obtient :
βl,Φ ≃ 5.10−7 (3.186)
On voit donc que dans ces conditions, on aura bien βl,Φ << 1. On peut aussi ´evaluer l’am-plitude apparente du mouvement :
a = 2cβl,Φ/Ω ≃ 2.10−13m (3.187)
ce qui correspondra en quelques sortes `a l’amplitude d’oscillation du cort`ege ´electronique de la bande de valence du semi-conducteur, sous l’effet des faisceaux pompes. Nous allons maintenant ´evaluer ces quantit´es en prenant, pour toutes les grandeurs a priori ajustables exp´erimentalement, les limites sup´erieures de ce qu’il sera raisonable d’atteindre dans la pratique, tout en conservant des ´epaisseurs de cristal microscopiques. En ce qui concerne la puissance surfacique de pompe par exemple, on va prendre la valeur typique du seuil de d´et´erioration des cristaux non-lin´eaires usuels : ~ΩΦ/A ≃ 1GW.cm−2 = 1013W.m−2. Alors,
en maintenant les autres param`etres `a leurs valeurs pr´ec´edentes, on obtiendra pour CdS pomp´e `a Λ ≃ 1, 2µm :
βl,Φ ≃ 2.10−5 et a ≃ 6.10−12m (3.188)
Par ailleurs, certains mat´eriaux semi-conducteurs comme GaAs ou CdGeAs2 par exemple, poss`edent de forts χ(2). Dans le cas de GaAs, on aura χ(2) ≃ 2.10−10m.V−1 et un indice moyen n≃ 3, 5 (`a 1µm). En gardant l ≃ 0, 18µm et Λ ≃ 1, 2µm, il vient alors :
βl,Φ ≃ 2.10−5 et a ≃ 6.10−12m pour ~ΩΦ/A ≃ 1010W.m−2, (3.189) βl,Φ ≃ 6.10−4 et a ≃ 2.10−10m pour ~ΩΦ/A ≃ 1013W.m−2. (3.190) On voit donc que, mˆeme dans ces cas limites, pour des cristaux microscopiques, on gardera la condition βl,Φ << 1. Nous allons maintenant utiliser ces r´esultats pour d´eterminer les flux photoniques que l’on pourra esp´erer g´en´erer avec un miroir unique coll´e entre 2 cristaux microscopiques, puis avec un APO monolithique et microscopique, en consid´erant dans chaque cas que les conditions d’accord de phase seront satisfaisantes pour les composantes spectrales dominantes de la fluorescence param´etrique.
E.3.1 Configuration miroir unique coll´e entre deux cristaux
Consid´erons donc un miroir coll´e entre deux cristaux de taille microscopique, en supposant que les conditions de pompage soient telles que l’on obtienne une oscillation apparente du miroir avec une vitesse maximale cβl,Φ (cf sous-partieD.3). En supposant les effets thermiques n´egligeables, d’apr`es les r´esultats de la sectionB.1.3du chapitre2, on aura un flux photonique moyen total ´emis :
Φout,v ≃ Ω β 2
l,Φ
6π (3.191)
c’est-`a-dire, pour des cristaux de CdS d’´epaisseur l ≃ 0, 18µm et pomp´es `a Λ ≃ 1, 2µm : Φout,v ≃ 20 photons par seconde pour ~ΩΦ/A ≃ 1010W.m−2, (3.192) Φout,v ≃ 3.104 photons par seconde pour ~ΩΦ/A ≃ 1013W.m−2. (3.193) En prenant des cristaux de GaAs, sous les mˆemes conditions, on obtiendra :
Φout,v ≃ 3.104 photons par seconde pour ~ΩΦ/A ≃ 1010W.m−2, (3.194) Φout,v ≃ 3.107 photons par seconde pour ~ΩΦ/A ≃ 1013W.m−2. (3.195) Par cons´equent, la situation qui semblait d´esesp´er´ee pour un miroir unique en oscillation m´ecanique r´eelle dans le vide donne ici lieu `a une ´emission a priori largement suffisante pour ˆetre d´etectable exp´erimentalement. D’autre part, on v´erifie que les flux que l’on vient de calculer seront n´egligeables par rapport `a celui des pompes, qui sera dans chaque cas au moins de l’ordre de Φ ≃ 1018 photons par seconde. De mˆeme, ayant βl,Φ << 1, le flux de seconde harmonique ´eventuel restera n´egligeable devant celui des pompes, ce qui justifie d’avoir fait l’approximation des pompes constantes.
E.3.2 Configuration APO monolithique
Consid´erons maintenant un APO monolithique et microscopique, en supposant que les conditions de pompage soient telles que l’on obtienne l’analogue d’une oscillation r´esonante de la cavit´e, avec une vitesse maximale commune aux deux miroirs cβl,Φ (cf sous-partieD.5). On consid`erera pour fixer les id´ees une finesse F ≃ 100 pour la cavit´e. Dans ce cas, on sera toujours largement en-dessous du seuil d’oscillation (2βl,ΦF/π << 1) pour toutes les valeurs de βl,Φ calcul´ees en (3.186), (3.188), (3.189) et (3.190). En supposant les effets thermiques n´egligeables, d’apr`es les r´esultats de la sectionB.2 du chapitre2, `a r´esonance avec K = 2 ou K = 3, on aura alors un flux photonique moyen total ´emis :
Φout,v ≃ Ω β 2
l,ΦF
3π2 (3.196)
En utilisant un cristal de CdS d’´epaisseur l ≃ 1µm pomp´e `a Λ ≃ 1, 2µm, on obtiendra : Φout,v ≃ 5.104 photons par seconde pour ~ΩΦ/A ≃ 1010W.m−2, (3.197) Φout,v ≃ 5.107 photons par seconde pour ~ΩΦ/A ≃ 1013W.m−2, (3.198) et pour un cristal de GaAs, dans les mˆemes conditions :
Φout,v ≃ 5.107 photons par seconde pour ~ΩΦ/A ≃ 1010W.m−2, (3.199) Φout,v ≃ 5.1010 photons par seconde pour ~ΩΦ/A ≃ 1013W.m−2, (3.200) Par cons´equent, la situation pour un APO monolithique et microscopique avec un cristal de CdS ou de GaAs sera bien plus cl´emente que pour une cavit´e en oscillation m´ecanique r´eelle dans le vide, et ce syst`eme produira des flux de photons ais´ement d´etectables. On v´erifie ici encore que les flux ´emis seront n´egligeables par rapport `a celui des pompes, et que, ayant consid´er´e des syst`emes suffisamment sous le seuil : 2βl,ΦF/π << 1, il en ira de mˆeme pour le flux de seconde harmonique ´eventuel.
Enfin, si l’on souhaite observer un r´egime puls´e analogue `a celui pr´edit pour l’Effet Casimir Dynamique, il faudra travailler proche du seuil ou mˆeme au-dessus. Pour atteindre un tel r´egime, il suffira de choisir un cristal v´erifiant les conditions d’accord de phase ad´equates16, et d’utiliser des cavit´es de finesse plus ´elev´ee. Dans ce cas toutefois, l’approximation des pompes constantes sera susceptible d’ˆetre mise `a mal par la g´en´eration de seconde harmonique. Il serait donc int´eressant `a l’avenir de reprendre la r´esolution de l’´equation de propagation men´ee dans la partieBde ce chapitre, sans faire cette approximation.
F Propositions exp´erimentales pour la r´ealisation pratique de
l’analogie
F.1 D´etection du r´egime d’oscillation apparente d’un miroir coll´e entre