Ordonnancement global dit équitable

t Temps d’exécution 7 Exécution fluide/idéale Exécution réelle Limite d’exécution PFair

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t τ1 i τ2 i τ3 i τ4 i τ5 i τ6 i τ7 i

Dans leur paragraphe « Why Greedy Schedulers Fail », Levinet al.expliquent pourquoi les

approches qui généralisent simplement les ordonnanceurs monoprocesseurs ne permettent

pas d’atteindre l’optimalité dans le cas multiprocesseur [LFS

10]. En effet, contrairement

au cas monoprocesseur, il peut être nécessaire de prendre des décisions sur

l’ordonnance-ment alors qu’il n’y a pas d’événel’ordonnance-ment « habituel » donnant lieu à un réordonnancel’ordonnance-ment,

c’est-à-dire, autre qu’une fin de tâche, une activation d’une nouvelle tâche ou une laxité

nulle.

L’algorithme U-EDF est capable d’ordonnancer de manière optimale des systèmes

compo-sés de tâches à échéance implicite par l’introduction d’événements déterminés à partir des

durées d’exécution et périodes des tâches. La création de cet algorithme a en réalité été

motivé par l’existence des algorithmes équitables et qui sont présentés dans cette section.

1.5. Ordonnancement global dit équitable 27

1.5.1 Ordonnancement PFair

Les algorithmes de la famille PFair (Proportionate Fair) ont une approche différente de

l’ordonnancement et sont destinés aux architectures multiprocesseurs [BCPV96]. La

dif-férence avec les algorithmes classiques d’ordonnancement est que les algorithmes PFair

imposent explicitement l’exécution des tâches à un taux régulier.

L’objectif d’un algorithme PFair est de se rapprocher d’un ordonnancement idéal. Un

ordonnancement est dit idéal, ou équitable, lorsque chaque tâche reçoit exactement u

·t

unités de temps processeur dans l’intervalle [0, t[. Bien sûr, un tel ordonnancement est

impossible dans le cas discret, et un algorithme PFair va simplement essayer de s’en

rapprocher.

a) Modélisation de l’ordonnancement PFair

Discrétisation du temps Les décisions d’ordonnancement sont réalisées à des valeurs

de temps entières qui commencent à 0. Le temps est discrétisé en intervalles uniformes

appelés des slots de temps où l’intervalle de temps [t, t+ 1[, avect∈N, correspond au slot

t.

Contrainte PFair De façon à modéliser une séquence d’ordonnancement, nous

définis-sons la fonction binaireS:τ×N→ {0,1}qui renvoie 1 lorsqu’une tâcheτ

est ordonnancée

sur le slot tet 0 sinon.

Grâce à cette fonction, il est possible d’introduire la notion de décalage en temps (lag),

qui mesure l’écart entre l’exécution idéale et la séquence construite (Définition 1.12).

Définition 1.12. Le décalage d’une tâche τ

à l’instant t se note :

lag(τ

, t) =u

·t−

S(τ

, l) (1.11)

Grâce à cette notion de décalage, il nous est possible de définir la contrainte PFair

(Dé-finition 1.13). La figure 1.11 montre l’ordonnancement d’une tâche qui respecte cette

contrainte.

Définition 1.13. Un algorithme est dit PFair lorsque, ∀t ∈ N∗,∀τ

∈ τ,|lag(τ

, t)| <

1. Autrement dit, à chaque instant, l’erreur d’exécution est strictement inférieure à un

quantum de temps, ou encore que

S(τ

, l) =bu

·tc ou du

·te.

Pseudo-réveil et pseudo-échéance : La construction d’un ordonnancement PFair

passe par la division de chaque tâche en sous-tâches de durée d’exécution un quantum. Une

tâcheτ

est ainsi divisée en une séquence infinie de sous-tâchesτ

avecτ

la première

sous-tâche. Chaque sous-tâche possède une fenêtre d’exécution possible pour que son exécution

soit « PFair » : [r(τ

), d(τ

)]. On appelle, r(τ

) la date de pseudo-réveil et d(τ

) la date

de pseudo-échéance. La fenêtre d’exécution de τ

se note w(τ

) et sa longueur est définie

par :|w(τ

)|=d(τ

)−r(τ

).

La contrainte PFair implique [BCPV96] :

r(τ

) =

j−1

u

etd(τ

Figure^{1.11 – Ordonnancement PFair d’une tâche} τ

Figure ^{1.12 – Fenêtres d’exécution des sous-tâches de}τ