Nous avons présentés ce qui sans doute constitue les variations les plus communes de la théorie de la relativité générale. Nous verrons en dernière partie de ce manuscrit que les classes de théories présentées ci-dessus, et notamment les théories strati ées, s'avèrent des candidats sérieux à la formulation relativiste d'une théorie de MOND. Cependant, nous verrons également les di cultés encore posées par ces approches, au chapitre desquelles gurent des problèmes théoriques de stabilité, ou encore des problèmes de réglages ns ( ne-tuning). Dans la vue d'une construction relativiste de MOND, nous n'exclurons pas, ainsi, l'hypothèse qu'il faille dépasser le cadre standard d'une théorie des champs dans un espace pseudo-Riemannien. Cette piste, cependant, ne sera qu'esquissée, et ne se veut guère être plus, en l'état actuel des choses, qu'une ligne de recherches futures. Nous explicitons rapidement ces pistes qui s'orent à nous, et qui pourraient peut-être s'accorder à l'idée de la théorie MOND.
Des modèles alternatifs à la relativité générale peuvent être développés à partir de l'abandon de la plupart des hypothèses listées à la n du chapitre précédent. Nous en présentons quelques uns maintenant. Tout d'abord nous passerons sous silence les cadres théoriques abandonnant le caractère diérentiel de l'espace-temps (exemple : modèles fractals), assez marginaux, et qui se heurtent, bien évidemment, à des problèmes tout à fait nouveaux (puisque nombre d'outils mathématiques, au premier rang desquels gurent le calcul diérentiel, ne peuvent plus être utilisés). Nous n'évoquerons pas non plus les théories basées sur la géométrie non-commutative, quoique fort intéressantes. Conserver la structure de variété diérentiable de l'espace-temps, mais varier son nombre de dimensions, en revanche, a fait (et continue d'être) l'objet d'études intenses. Puisque il n'est certainement pas question de diminuer ce nombre4, ces théories sont regroupées
3.2. LES OPTIONS MOINS STANDARD 23 sous le nom générique de théories à dimensions supplémentaires, dont le premier exemple remonte à la théorie de Kaluza-(Klein), et dont le souci était d'uni er le champ électromagnétique au champ gravitationnel en un seul champ unitaire penta-dimensionnel. Cette idée s'est ensuite considérablement développée avec l'émergence de la théorie des cordes et des branes. Notons d'ailleurs que Milgrom a proposé un modèle penta-dimensionnel de la théorie de MOND [35].
Abandonner le principe d'équivalence
Le principe d'équivalence est extrêmement bien établi expérimentalement (cf Sec. 4.1). Cepen-dant, il est facile de contourner ces tests expérimentaux en supposant une violation du principe d'équivalence dans un secteur matériel encore inconnu, ou mal connu (voir par exemple [36]). Si-gnalons à ce sujet l'hypothèse récente dite AWE (pour Abnormally Wheighting Energy) [37, 38], où est supposée que le uide d'énergie noire remplissant l'Univers puisse réagir diéremment au champ gravitationnel que la matière standard. Cette hypothèse intéressante au point de vue cosmologique peut en outre s'avérer pertinente en vue d'une théorie uni ée de la matière noire et de l'énergie sombre.
Il y a plusieurs façons, par ailleurs, d'abroger le principe d'équivalence (faible). Bien que l'on s'attende alors à décrire une théorie non-métrique de la gravitation, il est cependant possible de décrire ce genre d'eets en des termes très voisins de la relativité générale. Il su t par exemple de supposer qu'un type de matière i (un champ de matière ψi), au lieu de se coupler à la métrique de la matière (universelle) ˜g, se couple à une métrique particulière ˜gi, de sorte que les diverses métriques ˜gi, i ∈ I soient diérentes entre elles. Notons d'ailleurs que ce genre de comportement apparaît typiquement dans la limite de basse énergie des théories des cordes. Le terme électromagnétique hérite par exemple d'un couplage dit dilatonique, c'est-à-dire que ce champ se couple, en plus de la gravitation, à un (ou des) champ(s) scalaire(s). Cette approche se résume donc à remplacer le terme de matière Smat.[˜gµν; ψ]dans l'action (2.11) de la relativité générale par un terme du type Smat.[(˜gi
µν; ψi), i ∈ I]. Puisque la structure de la théorie n'est ainsi que peu altérée, cela ne constitue, en quelque sorte, qu'une approche minimale à la violation du principe d'équivalence faible.
D'autre approches radicales peuvent être également suivies. La plus intéressante d'entre elles est sans doute la théorie de Cartan et dite d'Einstein-Cartan, qui constitue une extension natu-relle à la relativité générale, où l'espace-temps, au lieu d'être équipé d'une connexion de Chris-toel, est doté d'une connexion a ne compatible avec la métrique mais de torsion non-nulle. Comme nous l'avons déjà signalé au chapitre précédent, le présence de torsion brise le principe d'équivalence faible, puisque des particules tests ne tombent pas de la même façon dans un champ de gravitation selon leur état de moment cinétique. Cette approche, essentiellement géo-métrique, consiste donc à lever les a priori de la géométrie pseudo-Riemannienne, et de découvrir les principes de correspondance pertinents liants les quantités géométriques nouvelles aux pro-priétés physiques. On peut ainsi, en plus de ne pas requérir la nullité de la torsion, considérer des connexions a nes qui ne soient pas compatibles avec la métrique (ie. telles que ∇µgνρ6= 0), voir [39, 16] pour y trouver à la fois la construction de ces théories et leurs motivations intéressantes. Malgré l'intérêt évident de ces approches, nous les avons pas explorées plus avant durant cette thèse, puisque ces nouveaux objets dynamiques ne semblent pas être pertinents eu égard à une construction relativiste de la théorie MOND.
24 CHAPITRE 3. THÉORIES ALTERNATIVES DE LA GRAVITATION
Modi er la physique inertielle
Nous continuons notre présentation de quelques approches alternatives à la relativité générale en remarquant, de façon presque provocante, que les hypothèses III.1 et III.2 nous apprennent qu'on doit s'attendre à modi er la théorie gravitationnelle en modi ant la physique inertielle, c'est-à-dire, précisément, en modi ant la physique non gravitationnelle. Que cela soit possible provient, évidemment, du principe d'équivalence. S'il semble délicat, et, honnêtement, assez peu raisonnable, d'attenter au principe d'inertie, il est en revanche possible (et courant dans la litté-rature) de modi er la relativité restreinte.
Cette idée a connue un regain d'intérêt récent, avec les modèles de relativité restreinte double (DSR, pour Doubly Special Relativity, ou Deformed Special Relativity, [40, 41, 42, 43]), dont l'idée principale est d'inclure à la relativité restreinte une échelle de masse, de longueur, ou d'énergie, sans doute de l'ordre de l'échelle de Planck, et qui soit invariante dans les change-ments de référentiels inertiels. Bien que ces idées soient largement motivées par la recherche de théories eectives de la gravité quantique, et par conséquent bien qu'elles ne soient pas en rap-port immédiat avec la théorie de MOND, nous les jugeons intéressantes parce qu'elles prennent comme point de départ l'introduction d'une échelle de longueur fondamentale dans la physique inertielle, et donc dans la théorie gravitationnelle qui doit en résulter. La relativité restreinte (et donc générale) est en eet dépourvue d'une telle échelle de longueur (mis à part celles que four-nissent le contenu matériel), alors que la phénoménologie MOND suggère l'introduction d'une nouvelle constante fondamentale (par exemple de longueur l0) qui se présente sous la forme d'une accélération dans le régime non-relativiste a0= c2/l0.
La recherche d'une théorie de type DSR est loin d'être aboutie, et n'a pour l'instant pas encore donné naissance à une théorie alternative de la gravitation (voir cependant [44]). Il n'est pas clair, par exemple de savoir s'il faut considérer les relations de dispersions modi ées de la forme F (E, p, λ)E2− G(E, p, λ)p2= m2, typiques de ces modèles, et où λ désigne une échelle fondamentale, comme brisant explicitement la symétrie de Lorentz, ou comme l'invariant modi é issu d'une action non-linéaire du groupe de Lorentz sur l'espace des impulsions (ie. l'espace cotangent). La première option mène rapidement à une représentation de la théorie dans l'espace des positions5 (théorie qui cependant brise manifestement la symétrie de Lorentz), tandis que la seconde n'a pas de représentation encore admise dans l'espace des positions. Remarquons à ce sujet que la transformation des composantes pµ de la 1-forme impulsion est nécessairement non-linéaire si l'équation ci-dessus doit être respectée : pµ′ = Fµ′(pλ). L'invariance par ailleurs de la 1-forme elle-même p = pµdxµ impose une transformation des coordonnées qui dépende de l'impulsion de l'objet considéré et non seulement du paramètre de boost. C'est pour cette raison que les auteurs de [44] ont proposé d'incorporer ces idées à la relativité générale en autorisant la métrique de l'espace-temps à dépendre des paramètres cinématiques de la particule qui la sonde. Autrement dit, deux particules d'énergie diérentes pourraient sentir diérentes métriques au même point.
Des idées similaires sont naturellement issues des géométries dite de Finsler. Un espace de Finsler est une variété munie d'une norme F , fonction du point considéré et d'un vecteur tangent, F (x, v), et qui doit satisfaire certaines propriétés (voir par exemple [45] et les références qu'on y trouvera). Cela revient en fait à dé nir une métrique (issue de F ) qui dépende à la fois du point xet d'un vecteur dans l'espace tangent à ce point : gµν(x, v). A cet égard, la relativité restreinte apparaît comme le cas particulier dans lequel (il existe des systèmes de coordonnées pour lesquels) la métrique ne dépend ni de x ni de v et prend sa forme fondamentale ηµν, tandis que la relativité générale considère des métriques qui ne dépendent que x en général. Un principe d'action de la
5Par exemple il su t de modi er les termes cinétiques des champs de matière de tel sorte que leur relations de dispersion ait la forme ci-dessus, à l'aide de la simple correspondance E → i∂0 et p → i∇
3.2. LES OPTIONS MOINS STANDARD 25 particule relativiste de la forme −m R F (x, ˙x)dτ = −m R pgµν(x, ˙x) ˙xµ˙xµdτ généralise le principe d'action standard au cas d'une géométrie de Finsler. Si la norme est plate, ie. ne dépend pas de x, l'action précédente constitue une généralisation de la relativité restreinte. Les auteurs de la référence [45] ont montré comment retrouver des équations de dispersions modi ées du type évoqué plus haut à l'aide de tels principes d'actions.
Nous reviendrons sur ces modi cations de la physique inertielle en dernière partie de ce manuscrit, cf. Sec. 8.1
Chapitre 4
Contraintes expérimentales et théoriques
Nous avons jusqu'ici donné un rapide aperçu de la relativité générale et de ses modi cations les plus prometteuses, ainsi que leurs motivations. Il va sans dire cependant que si la théorie de la relativité générale s'est jusqu'à présent distinguée de ses concurrentes, c'est d'abord parce qu'elle n'a jamais été mis en défaut expérimentalement. Toute théorie se présentant comme une alternative sérieuse à la relativité générale se doit bien sûr d'en faire autant. Dans un premier temps, nous présenterons donc quelques uns des tests expérimentaux les plus importants, en in-sistant davantage sur les tests de la dynamique gravitationnelle proprement dite que sur les tests de nature cinématique (principe d'équivalence et relativité retreinte), puisque, dans la construc-tion d'une théorie relativiste de MOND, nous serons plutôt amenés à modi er la dynamique gravitationnelle qu'à abandonner le principe d'équivalence ou à modi er la physique locale.
Qu'une théorie (alternative) soit corroborée expérimentalement n'est cependant pas su sant pour s'en déclarer satisfait. Nous voulons également imposer aux théories alternatives d'être cohérentes, stables, causales, et si possible naturelles. Nous présenterons de façon plus détaillée ces critères théoriques dans la seconde section de chapitre, et nous insisterons particulièrement sur la question de la causalité, encore sujet à débats dans certains modèles alternatifs à la relativité générale. En eet, les théories de k-essence scalaires et/ou tenseur-vecteur-scalaires, qui se sont révélées être de très sérieux candidats à la modélisation (respectivement) de l'énergie noire et de la phénoménologie MOND, permettent génériquement à certaines ondes de champs de se déplacer plus vite que la lumière. Pour une raison essentiellement historique que nous jugerons nalement hors de propos (cf. Sec. 5.1), cela a mené certains auteurs à considérer que ces théories n'étaient pas causales. Nous nous pencherons plus en détail sur cette importante question, et, après quelques rappels élémentaires sur la notion même de causalité, présenterons dans le chapitre suivant l'article que nous avons publié à ce sujet.
4.1 Contraintes expérimentales
Les principaux tests expérimentaux de la théorie de la relativité générale peuvent se ranger grossièrement en deux catégories : d'une part, tester la manière dont la matière se couple à la gravitation (ie. tester le principe d'équivalence), et d'autre part tester comment la matière engendre la gravitation. La dynamique gravitationnelle proprement dite provient de la réunion de ces deux aspects, et peut aussi être directement testée, notamment grâce à l'observation de système d'étoiles doubles (des étoiles à neutrons). En fait, puisque le champ gravitationnel est en quelque sorte lui même porteur d'énergie, on peut aussi tester comment, entre guillemets, la gravitation agit sur la gravitation crée par la matière. Cette question rejoint la question du principe d'équivalence fort et nous ne l'aborderons qu'à la n de cette discussion.
Nous n'insisterons pas sur la première classe de tests puisque, par la suite, nous nous concen-trerons essentiellement sur des théories respectant le principe d'équivalence ; nous renvoyons ainsi aux articles et ouvrages détaillés [18, 22, 46]. Nous n'aborderons pas non plus les expériences permettant de déduire, du moins étant présupposés certains cadres théoriques, que l'espace est bien de dimension trois aux moins aux grandes échelles. La relativité restreinte, supposée valide localement en relativité générale, est également testée très précisément de nos jours [22].
28 CHAPITRE 4. CONTRAINTES EXPÉRIMENTALES ET THÉORIQUES Dans la seconde classe de tests, le mouvement des corps (ou de la lumière) n'est plus utilisé pour tester le principe d'équivalence, mais plutôt a n de sonder la structure du champ gravi-tationnel, et la comparer à la prédiction théorique. Ces tests sont essentiellement fondés sur l'observation des corps composant le système solaire, et donc en régime de champ faible. La solution statique et sphérique (qui constitue une bonne approximation pour l'étude du système solaire) des équations d'Einstein est la solution de Schwarzschild, où l'intervalle élémentaire prend la forme
ds2= gµνdxµdxµ= −(1 + 2Φ)c2dt2+ 1 1 + 2Φdr
2+ r2(dθ2+ sin2θdφ2) (4.1) en coordonnées de Schwarzschild (t, r, θ, φ), et où Φ = −GM/rc2, M étant la masse du corps central (ici, le Soleil). De cette métrique, nous pouvons déduire les géodésiques que suivent les masses tests et la lumière. Nous pouvons ainsi retrouver, à l'ordre Newtonien (1/c0), la loi de Képler (issue de la loi dynamique a = −c2∇Φ à cet ordre), et à l'ordre post-Newtonien l'avance du périhélie des orbites (quasi-) elliptiques, expliquant ainsi le comportement autrement anormal de Mercure, la dé exion de la lumière d'étoiles lointaines par le champ gravitationnel du Soleil, l'eet Shapiro, etc.
Toutes ces prédictions de la relativité générale ont été véri ées expérimentalement et l'accord avec la théorie est jusqu'ici impressionnant. Il va sans dire que toute autre forme de dynamique gravitationnelle conduit a priori à une métrique diérente, et par conséquent à des prédictions diérentes. A n, d'une part, de collecter les divers tests de la relativité générale en un ensemble restreint de contraintes facilement utilisables, et, d'autre part, de contraindre de façon générique ses éventuelles modi cations, il s'est avéré extrêmement utile d'introduire une métrique eective, toujours à symétrie sphérique et statique, valable jusqu'à l'ordre post-Newtonien, et paramétrée par des coe cients quelconques. On l'écrit, comme le t Eddington [47], en coordonnées isotropes (t, ρ, θ, φ)), sous la forme suivante :
ds2= gµνdxµdxµ= −(1+2Φ+2βΦ2)c2dt2+(1−2γΦ)¡dρ2+ dθ2+ sin2θdφ2¢ +Oµ 1c4 ¶
, (4.2) où γ et β, appelés les paramètres d'Eddington, valent 1 en relativité générale. Les quelques tests parmi les plus classiques évoqués plus haut, ainsi que de nombreuses autres mesures qu'ont permis l'astrométrie moderne et les diverses missions spatiales, ont contraint assez fortement la déviation par rapport à 1 de ces paramètres. Les bornes les plus récentes, à savoir |γ − 1| < 2 × 10−5 et |β − 1| < 3 × 10−3 [22, 48] subsument e cacement nombre de tests de la gravitation eectués jusqu'à présent dans le système solaire. Il est bien sûr possible de paramétrer également des termes d'ordres supérieurs en puissance de 1/c (en 2 PN et plus), mais la précision actuelle des mesures n'est pas su sante pour contraindre e cacement ces termes trop petits.
L'approche précédente a ensuite été étendue au cas de métriques ne possédant pas de symé-trie particulière. Nordtvedt [49] a ainsi été amené à dé nir le formalisme PPN (Parametrized Post-Newtonian formalism), dans lequel la métrique s'écrit, jusqu'à l'ordre post-Newtonien, en fonction des termes de sources et de huit paramètres libres en plus des paramètres β et γ que nous avons déjà introduits. Ces dix quantités su sent à paramétrer les déviations à la relativité générale (jusqu'à l'ordre post-Newtonien) de toute théorie alternative de la gravitation qui soit à la fois métrique et qui ne dépende pas d'une échelle de longueur.
Comme nous l'avons signalé, la dynamique gravitationnelle proprement dite est directement testée à l'aide de l'observation des pulsars binaires. Ces systèmes sont intéressants à plus d'un titre. D'abord parce qu'ils ne sont pas situés dans le système solaire, ensuite parce qu'ils per-mettent de tester la gravitation dans un régime de champ fort, et en n parce qu'ils per-mettent en
4.1. CONTRAINTES EXPÉRIMENTALES 29 évidence (de façon indirecte) l'existence des ondes gravitationnelles. Selon la théorie de la relati-vité générale (et également selon la plupart de ses alternatives), un système binaire perd en eet de l'énergie par rayonnement gravitationnel. Il en résulte une diminution de la période orbitale au cours du temps. Il est possible d'écrire à l'ordre dominant cette variation de la période en fonction des paramètres PPN et des caractéristiques du système en question. La comparaison avec l'observation con rme encore une fois la relativité générale et permet de mettre des bornes sur les paramètres PPN (et notamment |γ − 1| < 8 × 10−4).
Terminons cette courte présentation des tests expérimentaux de la relativité générale en sou-lignant qu'une extension naturelle au principe d'équivalence, le principe d'équivalence fort, est également respecté par la relativité générale. Ce principe requiert que la dynamique gravitation-nelle d'un système quelconque est insensible au champ de gravitation global dans lequel il est plongé, pour peu qu'on puisse négliger les inhomogénéités du champ externe. Il est clair, par exemple que les théories tenseurs scalaires abordées au chapitre précédent ne satisfont pas ce principe, puisqu'elle prédisent une variation de la constante de couplage de la gravitation à la matière (la constante de Newton eective) avec la position dans l'espace-temps. De façon plus générale, aucune théorie prédisant une variation de la constante de Newton eective ne peut satisfaire le principe d'équivalence fort1. La relativité générale et la théorie de Nordström sont en fait les seules théories connues satisfaisant ce principe.
Les eets de position privilégiés (preferred-location eects), notamment mis en lumière par la valeur variable dans l'espace-temps de la constante de couplage de la matière à la gravi-tation, ne sont qu'une conséquence parmi d'autres de la brisure du principe d'équivalence fort. Les travaux pionnier de Nordtvedt [50] ont montré qu'il en résulte également une violation de l'universalité de la chute libre pour des corps autogravitants, l'énergie de liaison gravitationnelle contribuant diéremment à la masse inertielle qu'à la masse gravitationnelle2. Cela permet de tester le principe d'équivalence fort dans le système solaire. En eet, l'énergie de liaison gravita-tionnelle ne contribuant pas dans les mêmes proportions à la masse de la Lune ou de la Terre, une violation du principe d'équivalence fort impliquerait une chute diérente de la Lune et de la Terre vers le Soleil, et engendrerait ainsi une polarisation de l'orbite Terre-Lune en direction du Soleil.
Cet eet peut être calculé en fonction d'un paramètre sans dimension η, initialement intro-duit par Nordtvedt, et donné par la diérence des masses inertielle et gravitationnelle passive, normalisé par l'énergie de liaison gravitationnelle. Les données du LLR (Lunar Laser Ranging), mesurant depuis plusieurs dizaines d'années la distance Terre-Lune avec une précision de l'ordre