Optimisation de la structure
La condition (III.11) pour obtenir une relation de dispersion hyperbolique nous montre l’importance de choisir un fort contraste de permittivité. En effet, un contraste assez élevé nous autorise un rapport de forme assez faible, ce qui diminue considérablement la quantité de métal présente dans la lentille et ainsi minimise les pertes optiques. La structure étudiée ici est un empilement métallo diélectrique de 20 couches de diamant et d’argent représenté sur la figure III.8.
III.6 Application au design de la lentille 65
Figure III.6 – Évolution de l’indice effectif avec la fréquence réduite pour un empilement Argent/Diamant avec pertes optiques.
FigureIII.7 – Représentation de la distance focale en fonction de la fréquence réduite pour un empilement Argent/Diamant avec pertes optiques.
III.6 Application au design de la lentille 66
FigureIII.8 – Lentille plate à base de métamatériaux hyperboliques
Nous travaillerons à une longueur d’onde fixée de 350 nm. A cette longueur d’onde, la permittivité de l’argent est ε¯m = −1.78 + 0.6 [92]. La permittivité du diamant sera notée
¯
εd = 5.08. Avec ce choix de permittivité, nous prendrons le facteur de forme le plus faible
soit :
hm
hd
= 0.35 (III.55)
Ce facteur de forme permet en général une bonne transmission, représentée sur la figure III.9. Cette transmission a été améliorée en ajoutant des couches anti réflechissantes de diamant d’une épaisseur de 10√λ
εd, placées de part et d’autre des bords de la lentilles. Grâce à ces
couches anti-reflet, la transmission tracée en fonction de la fréquence réduite (mais toujours à longueur d’onde fixe) est désormais supérieure à 20%III.9.
FigureIII.9 – Diagramme de transmission d’une lentille hyperbolique avec et sans couches antireflechissantes.
III.6 Application au design de la lentille 67
Résultats
Pour valider la relation de conjugaison, nous comparons les résultats obtenus par la rela- tion (III.49) à une simulation numérique directe de la propagation d’un faisceau lumineux à travers la structure. Cette simulation est basée sur un algorithme de matrices S [65].
La structure est éclairée avec un faisceau gaussien dont le waist de λ5 est à une distance focale objet de 0, 1D. La courbe donnant la position du foyer en fonction de la fréquence réduite, représentée sur la figure III.7 obtenue à l’aide de la relation de conjugaison donnée par la relation (III.49), indique que pour construire, par exemple, une lentille plate à base d’argent et de diamant, et obtenir une image à une distance focale d’une longueur d’onde, il faut se placer à une fréquence réduite de0.2. La longueur d’onde étant fixe et égale à 350 nm, cette valeur correspond à une période (Argent + Diamant) de70 nm. Nous avons choisi pour cette étude un facteur de forme de0.35, ce qui donne une épaisseur d’argent de 18.1nm et une épaisseur de diamant de51.8nm. Nous traçons, la carte du champ magnétique se propageant dans une telle structure :
Figure III.10 – Carte du champ magnétique à travers une lentille plate permettant une refocalisation à une longueur d’onde.
La figure III.11 permet de visualiser et calculer la distance focale image. En accord avec la théorie, celle-ci se situe à une longueur d’onde de la sortie de la lentille. Le profil de l’intensité du champ magnétique, donne accès à la résolution, mais cette étude sera faite par la suite.
Cette approche a été menée pour un ensemble de points dans le but de comparer la distance focale image obtenue à l’aide de la relation de conjugaison, et celle obtenue à l’aide de la simulation numérique. Ces résultats rassemblés sur la figure III.11 sont parfaitement en accord, ce qui valide le modèle de la relation de conjugaison. Nous constatons effectivement que les pertes optiques ont pour effet de diminuer la distance focale image. Et en tenant compte des pertes optiques de l’argent, la distance focale d’une lentille hyperbolique peut effectivement prendre des valeurs comprises entre zéro et une longueur d’onde.
III.6 Application au design de la lentille 68 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22
Focal distance in units of !
D/
!
Theory with losses Theory without losses Hyperbolic lens of 20 periods
Figure III.11 – Distance focale en fonction de la fréquence réduite pour une lentille plate constituée de 20 périodes d’argent et de diamant, à350 nm. La ligne pleine correspond aux valeurs obtenues avec la relation de conjugaison théorique lorsque les pertes sont prises en compte. La ligne en pointillé représente le cas où les pertes sont négligées. Les cercles corres- pondent aux distances focales obtenues par simulation numérique.
fonction des distances focales possibles. La figure III.12 permet d’observer l’évolution de la qualité de l’image en fonction de la distance focale. Nous avons tracé les cartes du champ magnétique à la sortie de la lentille dont l’image se focalise à différentes distances focales fi= 0,λ4,λ2, λ correspondant à des périodes respectives D ={35, 59, 66, 70} nm. L’évolution
des cartes de champ indiquent que la résolution diminue avec la distance focale. Après calcul à partir du profil d’intensité du champ magnétique, la résolution sous longueur d’onde est obtenue jusqu’à une distance focale de0.7λ. Nous ferons une étude plus poussée concernant la résolution dans la partie suivante.
Dans cette partie, nous avons choisi d’optimiser la structure dans le but d’augmenter la transmission - ce que nous avons fait en choisissant un facteur de forme le plus faible, tout en respectant les conditions pour obtenir une lentille hyperbolique. Le cas de figure où la structure permet d’obtenir une image à une distance de une longueur d’onde, nécessite une période de 70 nm, ce qui correspond avec le facteur de forme à une épaisseur de structure totale (20 couches) de 1400 nm, avec seulement 369 nm de métal. Cet écart métal-structure permet ainsi de construire des lentilles avec des distances focales de l’ordre d’une longueur d’onde tout en conservant une transmission supérieure à25%.
III.6 Application au design de la lentille 69 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22
Focal distance in units of !
D/
!
Theory with losses Theory without losses Hyperbolic lens of 20 periods
(a)
(b)
(c)
(d)
Figure III.12 – Distance focale en fonction de la fréquence réduite pour une lentille plate constituée de 20 périodes d’argent et de diamant, à350 nm. La ligne pleine correspond aux valeurs obtenues avec la relation de conjugaison théorique lorsque les pertes sont prises en compte. La ligne en pointillé représente le cas où les pertes sont négligées. Les cercles corres- pondent aux distances focales obtenues par simulation numérique.
(a-d) Cartes du champ magnétique à la sortie de lentille pour différentes fréquences réduites. L’axe des abscisses est en unité de longueur d’onde. Les images sont focalisés à des distances focales de0,λ
4, λ 2, λ.