Partie 1 : l’optimisation multi objectif :
1.1. Définition d’un problème d’optimisation:
L'optimisation multi objectif : est une branche de l'optimisation combinatoire dont la particularité est de chercher à optimiser simultanément plusieurs objectifs d'un même problème (contre un seul objectif pour l'optimisation combinatoire classique). Elle se distingue de l'optimisation multidisciplinaire par le fait que les objectifs à optimiser portent ici sur un seul problème. [1]
L’optimisation combinatoire : Dans sa forme la plus générale, un problème d'optimisation combinatoire (on dit aussi d'optimisation discrète) consiste à trouver dans un ensemble discret un parmi les meilleurs sous-ensembles (ou solutions) réalisables, la notion de meilleure solution étant définie par une fonction objectif.
L’optimisation multidisciplinaire : L'optimisation multidisciplinaire (OMD ou MDO en anglais) est un domaine d'ingénierie qui utilise des méthodes d'optimisation afin de résoudre des problèmes de conception mettant en œuvre plusieurs disciplines.
1.2. Quelque notion sur l’optimisation :
Le domaine des variables de décision: soit continu et on parle alors de problème continu, soit discret et on parle donc de problème combinatoire.
la nature de la fonction objectif à optimiser: soit linéaire et on parle de fonction linéaire, soit non linéaire et on parle de fonction non linéaire.
le nombre de fonctions objectifs à optimiser: soit une fonction scalaire et on parle alors de problème mono-objectif, soit une fonction vectorielle et on parle donc de problème multi objectif.
la présence ou non des contraintes: on parle de problème sans contrainte ou avec contrainte.
l'environnement: problème dynamique (la fonction objectif change avec le temps).
un problème d’optimisation peut être un problème de minimisation ou un problème de maximisation.
1.3. Les problèmes d’optimisation mono objective:
Les techniques d'optimisation Objectif simples sont des techniques visant à résoudre les problèmes où les solutions doivent satisfaire une seule fonction objective. Étant donné que ces problèmes essaient de trouver l'optimum d'une fonction d'un objectif qu'ils ont en général une seule solution. Dans ces problèmes les techniques d'optimisation Objectif simples sont les plus couramment utilisées. Un problème d'optimisation Objectif Simple est défini comme suite:
( ) ( ) ≥ 0 ( = 0, … , )
∈ ∁
(1)
f(x) : est la fonction objectif qui peut être maximisé ou minimisé
gj(x) : le nombre de contrainte
x : Un vecteur de n variable de décision = ( 1, 2, … , )T
X : représente la région faisable
1.4. Les problèmes d’optimisation multi objectif :
L’optimisation multi objectif, aussi connue sous le nom d’optimisation multicritère est un processus qui consiste à optimiser simultanément deux ou plusieurs objectifs, soumis à certaines contraintes. Un problème multi objectif est caractérisé, non pas par une solution unique, mais par un nombre de solutions qui réalisent des compromis sur les différents objectifs [3]. Il procède donc par la
d’optimisation va résoudre le problème en cherchant les meilleures solutions en fonction de ces critères.
1.4.1. Formulation d’un problème d’optimisation multi objectif :
Formuler un problème d'optimisation revient à d'identifier clairement trois ingrédients: les variables d'optimisation ou de décision, les objectifs du problème et les contraintes. D’une façon générale, le problème d’optimisation multi objectif est exprimé par l'équation suivant [4,5]:
min( ) ( ) = [ 1( ), 2( ), … , ( )], ∈ = > 2 ( ) ≥ 0, = 1, … ,
ℎ ( ) = 0, = 1, … ,
≤ ≤ , = 1, … , (2)
m>=2 : le nombre de fonction objectif
f(x)=f1(x),…..,fm(x) : le vecteur des fonctions a optimiser x=(x1,….,xm) : le vecteur des variables de décision
gi(x) : les contraintes d’inégalité
hj(x) : les contraintes d’égalité et les contraintes de domaine
xkMin et xkMax sont les bornes supérieure et inférieure des variables de décisions xk Rm c’est l’ensemble des solutions réalisables.
1.5. Résolution d’un problème d’optimisation :
La classification des problèmes d’optimisation Variable suivant le point de vue considéré :
Algorithmes déterministes / algorithmes stochastiques Algorithmes de recherche locale / algo de recherche globale Algorithmes d’optimisation locale/globale
Algorithmes d’optimisation locale: Tout algorithme piégé par le premier optimum rencontré. Ne permettant pas d’obtenir une solution proche de l’optimum global en raison de la trop grande cardinalité de l’espace de recherche
Algorithmes d’optimisation globale: Tout algorithme qui n’est pas sensible aux minima locaux. Algorithme permettant d’obtenir une solution proche de
l’optimum global
L’algorithme stochastique: elles ont un comportement non-déterministe d’un problème à un autre, d’une instance à une autre, et même d’une exécution à une autre. [6]
Les méthodes exactes: permettent de calculer la (ou les) solution(s) optimale(s), on est sûr qu’il n’existe aucune solution de meilleure qualité. Cependant, si cette classe de méthodes permet de parcourir l’espace de recherche de façon intelligente en réduisant le nombre de solutions visitées, elle n’est efficace qu’avec des problèmes spécifiques et/ou de petites tailles. [6]
L’heuristique: Cette classe ne permet pas de donner une garantie d’optimalité ; cependant, elles sont bien adaptées aux problèmes complexes de grande taille. En effet, une heuristique permet de calculer une solution approchée en un temps raisonnable comparativement à une méthode exacte. [6]
Le méta heuristique : ce sont des heuristiques dédiées à un problème donné et celles plus génériques, ces dernières peuvent être appliquées à un large panel de problèmes. [6]
1.6. Le front de Pareto les solutions dominé et les solutions non dominé :
Figure 3.2: le front de Pareto les solutions dominé et les solutions non dominé [7] A. Solution non dominée
:
lorsque l'amélioration des performances sur un objectiftend à aggraver la performance dans un autre. Ces solutions multiples «meilleurs», connus sous le nom non dominée, n’ont pas d'autres solutions qui sont mieux qu'eux dans tous les objectifs considérés. Connu comme la surface de compromis ou le front de Pareto.
[7]
B. Solution dominée
:
les solutions sont dits dominées s’il existe une ou plusieurs solutions dans l'ensemble qui présentent de meilleures performances dans tous les objectifs.[7]
1.6.1. Les algorithmes d’optimisation multi objectif :
Les phénomènes physiques ou biologiques ont été à la source de nombreux algorithmes s’en inspirant plus ou moins librement. Ainsi les réseaux de neurones artificiels s’inspirent du fonctionnement du cerveau humain, l’algorithme de recuit simulé de la thermodynamique, et les algorithmes évolutionnaires (AEs) (dont les plus connus sont les algorithmes génétiques) de l’´evolution darwinienne des populations biologiques.
Les algorithmes les plus célèbres et les plus utilisé dans notre domaine de recherche sont les algorithmes évolutionnaires.