A.3
Optimisation du taux d’échantillonnage statique
Selon le type de métrologie, différentes propriétés de la plaquette sont contrôlées, telles que les défauts éventuels de sa surface, ses propriétés mécaniques, l’épaisseur des couches dé- posées, la dose d’implant, etc. En dehors de leurs avantages, les opérations de métrologie affectent également d’autres aspects du flux de production. Le WIP est augmenté, des coûts supplémentaires sont requis, le temps de cycle est augmenté et les décisions d’ordonnancement sont perturbées.
Dans ce chapitre, une nouvelle approche pour optimiser les taux d’échantillonnage pour un groupe de machines de production couvertes par un atelier de métrologie est proposée. Pour déterminer les taux d’échantillonnage, une capacité de métrologie limitée est prise en compte et les taux de défaillance des machines de métrologie et des machines de production sont pris en compte. Cette approche est axée sur les types d’ateliers de métrologie dans lesquels les lots échantillonnés sont mesurés juste après l’opération de production afin de vérifier les bonnes conditions des machines de production.
Différents cas selon le type de machine de métrologie
Plusieurs machines de métrologie t= {1, . . . , T} mesurent les produits de plusieurs machines de production r = {1, . . . , R}. Les machines de production sont modélisées comme des ex- périences de Bernoulli et sont différenciées par leur probabilité de défaillance pr.
Les taux de rendement sont indiqués par T Pr pour les machines de production r et par
T Mrt pour la machine de métrologie t qui mesure une plaquette traitée sur la machine de production r. La période d’échantillonnage, c’est-à-dire le nombre de cycles de production sur une machine de production r entre deux mesures consécutives, est désignée par SPr.
La valeur de fréquence d’échantillonnage maximale sur laquelle le contrôle qualité est inacceptable est définie par SPmax. Nous supposons que la production d’une machine dé- fectueuse est entièrement mise au rebut et qu’il n’y a pas de différence entre la valeur des plaquettes sur les différentes machines de production.
Trois cas sont considérés en fonction des machines de métrologie :
1. Machine de métrologie unique : Ce premier modèle est développé en considérant une machine de métrologie unique t, avec un taux de mesure T Mr, chargé de couvrir
un groupe de machines de production en mesurant les plaquettes traitées sur celles-ci. Les variables de décision sont les périodes d’échantillonnage S Pr, ∀r = {1, . . . , R}.
Une fois que les varisbles S Pr sont fixées, le débit des plaquettes défectueuses et la
consommation de la capacité de la machine de métrologie, gr(S Pr), sont déterminés.
2. Machines de métrologie identiques : Plusieurs machines de métrologie identiques t = {1, . . . , T} contrôlent un groupe de machines de production r = {1, . . . , R}. Le débit des machines de métrologie lors de la mesure des lots traités sur la machine de production r, T Mr, est le même pour toutes les machines de métrologie. Une et une
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seule machine de métrologie est assignée pour contrôler la totalité de la production de chaque machine de production, donc T ≤ R.
3. Machines de métrologie différentes : Dans ce cas, nous supposons que différentes machines de métrologie t= {1, . . . , T} contrôlent un groupe de machines de production r= {1, . . . , R}. Le débit d’une machine de métrologie t lors de la mesure de lots traités sur la machine r est noté par T Mrt. L’opération de mesure est considérée comme imparfaite et renvoie avec une probabilité αrt un faux négatif (le résultat de la mesure est bon alors que r ne fonctionne pas correctement).
Si une défaillance survient dans un premier cycle de production, toutes les plaquettes S Pr
suivantes seront mises au rebut, si elles se produisent dans un deuxième cycle de production S Pr− 1 plaquettes seront mises au rebut, et ainsi de suite. Nous supposons que la production
d’une machine en bon état est parfaite. En ajoutant T Pr
S Pr, la fréquence à laquelle la mesure
est effectuée à la station, WLr(SPr) est le taux global attendu de plaquettes défectueuses
produites par une machine r couverte par une période d’échantillonnage S Pr, appelée Wafer
Loss, et est déterminée par (A.1) :
W Lr(S Pr)= prT Pr S Pr S Pr−1 X i=0 (S Pr− i)(1 − pr)i (A.1)
La partie de la capacité de métrologie consommée par la machine de production r pour une période d’échantillonnage donnée S Pr, gr, peut s’écrire :
gr(S Pr)=
T Pr
S PrT Mr
(A.2) Le problème d’optimisation (P) peut être formulé comme :
min R X r=1 W Lr(S Pr) s.t. (A.3) R X r=1 gr(S Pr) ≤ 1, (A.4) S Pr = {1, . . . , S Pmax}, r= {1, . . . , R}. (A.5)
En linéarisant les contraintes (A.3) et (A.4) dans lesquelles les variables de décision S Pr
sont au dénominateur, le problème (P) peut être réécrit comme un programme linéaire en nombres entiers (PLNE). Définissons s comme l’indice de la période d’échantillonnage, soit s = {1, . . . , S Pmax} et la variable binaire us
r qui est égale à 1 si la période d’échantillonnage
de la machine de production r est s, c’est-à-dire S Pr= s et 0 sinon. Par conséquent, (P) peut
A.3 Optimisation du taux d’échantillonnage statique 163 min R X r=1 S Pmax X s=1 W Lr(s)urs s.t. (A.6) R X r=1 S Pmax X s=1 gr(s)urs≤ 1, (A.7) S Pmax X s=1 urs= 1, r = {1, . . . , R}, (A.8) urs∈ {0, 1}, r = {1, . . . , R}; s = {1, . . . , S Pmax}. (A.9) Ce problème est un problème du sac à dos à choix multiples (Multiple-Choice Knap- sack Problem, MCKP, en anglais) tel que présenté par Sinha et Zoltners [85], ce problème a été étudié au cours des années [115] [66], il s’agit essentiellement d’objets organisés en classes, et un seul objet doit être sélectionné par classe. Dans notre problème, les périodes d’échantillonnage sont des objets et les machines de production sont des classes.
Nous avons développé des heuristiques rapides et simples pour chaque cas en fonction du type de machine de métrologie, faciles à mettre en œuvre et compétitives en termes de qualité de solution avec une approche exacte.
Résultats industriels
L’atelier de métrologie étudié vérifie les propriétés des plaquettes au niveau macro (rayures sur surface, particules, etc.), il consiste en deux machines de métrologie avec une moyenne globale de performance de mesure pour toutes les machines de production de T Mr1 = 298.89
secondes et T M2
r = 297.95 secondes. Ainsi, elles sont considérées comme des machines de
métrologie identiques. Les systèmes de métrologie couvrent 26 machines de production avec des rendements de processus différents, T Pr.
La Table A.1 présente les taux d’échantillonnage par machine de production. Les taux d’échantillonnage optimisés sont obtenus par notre approche, et les taux d’échantillonnage réels sont la moyenne des lots traités avant d’envoyer un lot à la mesure sur une période d’un mois.
On peut noter que la stratégie d’échantillonnage utilisée lors de l’extraction des données réelles est une stratégie d’échantillonnage par produit et opération de production. Par con- séquent, certaines machines de traitement ne sont pas contrôlées en raison de la distribution des lots comme la machine 6 avec un taux d’échantillonnage réel de 31,23.
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Les taux d’échantillonnage optimisés proposés ont une moyenne de 6,11 et la moyenne des taux d’échantillonnage réels est égale 7,04 (à l’exclusion de la machine 6). Les taux d’échantillonnage optimisés sont équilibrés avec un taux de S Pr= 6, sauf pour les machines
1, 10, 17 et 25 à 7 car le taux T Pr
T Mtr permet un contrôle moins strict des lots traités sur ces
machines. Le contraire se produit pour la machine 6 qui a besoin d’un taux d’échantillonnage plus petit, S Pr = 5.
Table A.1 – Résultats sur les données industrielles pour des machines de métrologie identiques.
Machines 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 S PrRéel 3.3 2.5 4 6 5.8 31.23 14.33 13.6 5.1 4.7 4.83 6 8 S PrOptimisé 7 6 6 6 6 5 6 6 6 7 6 6 6 Machines 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 S PrRéel 4.9 4.9 6.8 6 6.7 6.4 10 9 17 6 8.5 5.4 6.2 S PrOptimisé 6 6 6 7 6 6 6 6 6 6 6 7 6