Para a análise dos conhecimentos matemáticos desenvolvidos pelos professores nos anos iniciais, foram selecionadas três questões do questionário respondido pelos participantes da pesquisa, a saber:
Questão 13 – Em que séries/anos você já ensinou Matemática nos anos iniciais?; Questão 14 – Quais conteúdos matemáticos você desenvolveu em cada um desses anos?;
Questão 15 – Metodologicamente, de que modo você ensina Matemática nos anos iniciais?
Vale ressaltar que apenas as questões 14 e 15 foram analisadas por meio da ATD. A questão 13 apontou apenas a frequência de docentes que lecionam em cada série/ano dos anos iniciais, como mostrou o Gráfico 4, apresentado no terceiro capítulo desta dissertação.
A seguir, são detalhadas as categorias encontradas por meio da ATD das questões 14 e 15. Destaca-se que os enunciados dos participantes da pesquisa são apresentados em itálico para diferenciar das citações de autores.
6.1.1 Conhecimento do conteúdo
Nessa categoria, agruparam-se os excertos dos professores participantes da pesquisa que afirmaram desenvolver conhecimentos de conteúdo para ensinar Matemática nos anos iniciais. As subcategorias dos conhecimentos de conteúdo destacados pelos professores participantes da pesquisa foram: Quatro operações fundamentais (13); Construção do número (3); Associações entre números e quantidades (3); Sistemas de numeração (8); Frações (3); Conjuntos numéricos (4); Sistemas de medidas (8); Tratamento da Informação (6); Geometria Plana e Espacial (6). Para verificar a frequência de cada subcategoria e os excertos que a constituíram, elaborou-se o Quadro 16.
Quadro 16 – Frequência das subcategorias emergentes da categoria a priori Conhecimento do conteúdo
Código/excertos
[continua] Significação Unidades de significado
Subcategorias emergentes
Quatro operações fundamentais P1.14.2 – operações de adição e
subtração até o campo
numérico 99, [...] divisão e multiplicação por 2
Quatro operações fundamentais Quatro operações fundamentais
P2.14.5 – operações (adição e subtração) Operações de adição e subtração Adição e subtração P3.14.2 – adição, subtração, multiplicação, divisão
Quatro operações fundamentais Quatro operações fundamentais
P4.14.11 – as operações de adição e subtração
Operações de adição e
subtração
Adição e Subtração
P5.14.1 – Quatro operações Quatro operações fundamentais Quatro operações fundamentais
P6.14.3 – quatro operações Quatro operações fundamentais Quatro operações fundamentais
P7.14.3 – 4 operações com 2 termos, nome dos termos
Quatro operações fundamentais e o nome dos termos dessas operações
Quatro operações fundamentais
P8.14.2 – trabalhava as 4 operações
Quatro operações fundamentais Quatro operações fundamentais
P9.14.2 – apresentar a noção de adição e subtração
Operações de adição e
subtração
Adição e subtração
Código/excertos
[continuação] Significação Unidades de significado Subcategorias emergentes
P3.14.3 – expressões Expressões numéricas
envolvendo as quatro operações fundamentais
Expressões numéricas
Quatro operações fundamentais
P5.14.10 – Expressões
Numéricas
Expressões numéricas
envolvendo as quatro operações fundamentais
Expressões numéricas
P6.14.6 – expressões numéricas Expressões numéricas
envolvendo as quatro operações fundamentawis
Expressões numéricas
P2.14.1 – Construção do
número (onde existe a presença do número?) (treino da grafia) (numerais até 50 e/ou 100) (numerais cardinais e ordinais), [...] classificação e seriação Conceitos envolvidos na construção do número Construção do número Construção do número P4.14.10 – Basicamente a construção do número
Conteúdos necessários para a construção do número Construção do número P8.14.1 – trabalhava noções básicas de classificação, ordenação, construção de números Classificação e seriação, necessárias para a construção do número
Construção do número
P6.14.1 – Introdução aos números, correspondências e associações
Apresentação dos números e
suas correspondências,
associações
Apresentação dos números e suas associações
Associações entre números e quantidades P3.14.1 – Compreensão de números, [...] quantificação Entendimento e quantificação de números Entendimento e quantificação de números P9.14.1 – Apresentar os
números, relacionar número a quantidade
Apresentação de números e relação com quantidades
Números e sua relação com quantidades
Código/excertos
[continuação] Significação Unidades de significado Subcategorias emergentes
P1.14.3 – composição e
decomposição de números até o campo numérico 99 Composição e decomposição de números entre 0 e 99 Composição e decomposição de números Sistemas de numeração P2.14.4 – sistema decimal (unidade e dezena) Sistema de Numeração Decimal Sistema de Numeração Decimal
P3.14.8 – sistema decimal Sistema de numeração decimal Sistema de Numeração
Decimal
P5.14.5 – SNR Sistema de Numeração
Romano
Sistema de Numeração
Romano P5.14.6 – SND, VA/VR valor absoluto e valor relativo
de numerais de acordo com o
Sistema de Numeração Decimal Sistema de Numeração Decimal P7.14.1 – Números até 300, [...] Números até 1.000, [...] Números até 5.000
Escrita dos numerais de 0 à 5000
Escrita de numerais
P8.14.5 – números, por
extenso, centena, milhar, etc.
Escrita por extenso de números da ordem das centenas, dos milhares, etc.
Escrita por extenso de números
do sistema de numeração
decimal
P5.14.3 – história dos números História dos algarismos História dos algarismos
P2.14.2 – frações simples Frações próprias Frações
Frações
P5.14.9 – Frações Conteúdos referentes ao estudo
das frações
Frações
P6.14.5 – frações Conteúdos referentes ao estudo
das frações
Código/excertos
[continuação] Significação Unidades de significado Subcategorias emergentes
P5.14.4 – IN Conjunto dos números naturais Conjunto dos números naturais
Conjuntos numéricos P5.14.7 – Primos, Compostos Conjunto dos números primos e
números compostos
Conjunto dos números primos e compostos
P5.14.8 – Múltiplos, Divisores, MMC, MDC
Conjunto dos múltiplos e divisores de um número
Conjuntos dos múltiplos e divisores
P6.14.2 – conjuntos Teoria dos conjuntos Teoria dos conjuntos
P2.14.3 – (dúzia, metade) Unidades de medida de
capacidade, entre elas, dúzia e meia dúzia
Unidades de medida
Sistemas de medidas P2.14.8 – sistema monetário
simplificado (valor das notas)
Sistema monetário brasileiro Sistema monetário brasileiro
P2.14.9 – noção temporal (ordenar gravuras observando a passagem do tempo (início, meio e fim)
Sequência de acontecimentos como noção de passagem do tempo
Sequência de acontecimentos
P2.14.10 – medidas (altura, número do sapato, etc.)
Unidades de medida de
comprimento entre elas, metros e pés
Unidades de medida de
comprimento
P3.14.4 – horas Unidades de medida de tempo,
entre elas, as horas
Unidades de medida de tempo
P3.14.6 – sistema monetário Sistema monetário brasileiro Sistema monetário brasileiro
P7.14.2 – hora inteira e meia hora, [...] hora inteira e minutos,
Unidades de medida de tempo, entre elas, horas e minutos
Unidades de medida de tempo
Código/excertos
[conclusão] Significação Unidades de significado Subcategorias emergentes
P1.14.5 - leitura de gráficos e tabelas Leitura e interpretação de gráficos e tabelas Gráficos e tabelas Tratamento da informação
P3.14.5 – gráficos Leitura e interpretação de
gráficos
Gráficos
P2.14.11 – Tratamento de
informações (estatística:
construção de tabelas simples)
Construção de tabelas como tratamento de informações
Construção de tabelas
P6.14.8 – tabelas e gráficos Leitura e interpretação de gráficos e tabelas Gráficos e tabelas P7.14.7 – coordenadas e gráficos. Coordenadas cartesianas e gráficos Coordenadas cartesianas e gráficos
P2.15.2 – Também, incluí nas minhas aulas, as tabelas de estatísticas que não tinha ideia que deveria ser desenvolvido
Por meio do uso de tabelas durante estudo de Estatística nas aulas de Matemática
Uso de tabelas no estudo de Estatística
P1.14.6 – formas geométricas Figuras geométricas Figuras geométricas
Geometria Plana e Espacial P2.14.6 – formas geométricas
básicas e sólidos geométricos
Figuras e de sólidos
geométricos
Figuras e sólidos geométricos
P2.14.7 – trajetos, labirintos, percursos
Curvas Curvas
P3.14.7 – formas geométricas Figuras geométricas Figuras geométricas
P7.14.6 – figuras geométricas [...] e sólidos geométricos
Figuras e sólidos geométricos Figuras e sólidos geométricos
P8.14.4 – geometria inicial (noções básicas) Conteúdos básicos de Geometria Conteúdos básicos de Geometria
Na subcategoria emergente Quatro operações fundamentais, agruparam-se os excertos de professores que afirmaram desenvolver nos anos iniciais conteúdos matemáticos relativos às operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Adicionado a isso, foi agrupado nessa subcategoria excertos que tratavam sobre expressões numéricas envolvendo essas operações. De acordo com a BNCC, é esperado que os estudantes possam realizar essas operações por meio de estratégias que lhes façam algum sentido (BRASIL, 2016). Nesse sentido, expressões numéricas em que os estudantes possam decidir pela ordem que lhes parece mais adequada para obter o resultado esperado atenderiam a essa proposta do documento.
Ainda de acordo com a BNCC: “No tocante aos cálculos para resolver os problemas propostos, espera-se que os/as estudantes tenham desenvolvido diferentes estratégias para a obtenção dos resultados, sobretudo por estimativa e por cálculo mental.” (BRASIL, 2016, 270). Desse modo, as operações desenvolvidas pelos professores, participantes desta pesquisa, tornam-se significativas para os estudantes quando envolvidas na resolução de alguma situação problema e quando permitem o desenvolvimento de diferentes estratégias de resolução como, por exemplo, o cálculo mental.
A segunda subcategoria, Construção do número, agrupa excertos de professores que afirmaram desenvolver nos anos iniciais relações envolvidas na construção do número. Estão, entre essas relações, a classificação e a seriação, como é possível verificar no excerto do Professor P8: “trabalhava noções básicas de classificação, ordenação, construção de números”.
O desenvolvimento dessas relações é indispensável, uma vez que: “A partir do conceito de número evidencia-se que o desenvolvimento da relação lógica tanto de classificação quanto de seriação, é essencial para a construção do número [...] considerado por Piaget como a síntese das relações de ordem e inclusão hierárquica.” (MATOS; LARA, 2015b, p. 65).
Para Piaget e Inhelder (1975), a estrutura lógica de classificação possui diferentes níveis. Conforme avança nesses níveis, o estudante torna-se capaz de realizar classificações, inclusões de classe e intersecções, as quais são relações necessárias para o desenvolvimento de habilidades imprescindíveis à construção do número.
Assim, os professores, participantes desta pesquisa, que desenvolvem essas relações nos anos iniciais estão contribuindo para a construção do número pelos seus estudantes.
Na subcategoria Associações entre números e quantidades, agruparam-se excertos de professores que ensinam Matemática nos anos iniciais que apresentam aos estudantes os
numerais relacionando-os a quantidades. Os excertos dos professores P3 e P9, respectivamente, ilustram bem a emergência dessa subcategoria: “Compreensão de números, [...] quantificação” (P3); “Apresentar os números, relacionar número a quantidade” (P9).
Tratam-se de atividades desenvolvidas, geralmente nos primeiros anos de escolarização, em que o professor apresenta um dado conjunto de objetos e por meio da contagem o estudante identifica o numeral associado a essa quantidade de objetos. Essa apresentação se torna útil ao passo em que permite ao estudante desenvolver habilidades necessárias para as ideias de igualdade e de conservação do número. Segundo Kamii (2008, p. 7): “Conservar o número significa pensar que a quantidade continua a mesma quando o arranjo espacial dos objetos foi modificado.”.
Desse modo, verifica-se nessa subcategoria a emergência de conteúdos que servem como base para o desenvolvimento de habilidades matemáticas básicas, como, por exemplo, as ideias de igualdade e de conservação do número.
Já na subcategoria emergente intitulada Sistemas de numeração, estão agrupados os excertos dos professores que apontaram ensinar nos anos iniciais conteúdos matemáticos relacionados ao sistema de numeração decimal indu arábico, entre eles, valor absoluto e valor relativo de um número, composição e decomposição de números. Isso vai encontro do que propõe a BNCC ao determinar que o estudante dos anos iniciais deve ser capaz de: “Compor e decompor um número, por meio de adições e multiplicações, para determinar sua decomposição decimal [...], para desenvolver a compreensão do Sistema de Numeração Decimal e as estratégias de cálculo.” (BRASIL, 2016, p. 275). Assim, verifica-se articulação dessa subcategoria emergente com a primeira, intitulada Quatro operações fundamentais.
Além disso, houve um professor que teve seu excerto sobre Sistema de Numeração Romana agrupado nessa subcategoria e outro que se reportou à história dos algarismos. Esses conteúdos são igualmente relevantes, uma vez que os estudantes devem possuir conhecimento das diferentes estratégias que diversos povos utilizavam para representar quantidades e, até mesmo, para auxiliar na compreensão da grafia atual dos algarismos.
Na subcategoria emergente Frações, encontram-se agrupados os excertos de professores que ensinam esse conteúdo matemático nos anos iniciais. É válido destacar que apenas essa representação de um número racional foi apontada pelos professores participantes da pesquisa, sugerindo, assim, que possivelmente não estejam desenvolvendo nos anos iniciais a representação de números racionais sob a forma decimal, tão necessária para lidar com o sistema monetário, por exemplo.
Além disso, conforme consta na BNCC, nos anos iniciais é importante que os estudantes associem a ideia de fração “[...] ao resultado de uma divisão e à ideia de parte de um todo.” (BRASIL, 2016, p. 270). No entanto, os professores, participantes de pesquisa, não especificaram quais noções associam à fração quando estão abordando-a durante os anos inicias.
Na subcategoria emergente Conjuntos numéricos, agruparam-se os excertos dos professores que afirmaram desenvolver nos anos iniciais conteúdos matemáticos como, por exemplo, conjunto dos números naturais, conjunto dos múltiplos e divisores de um número, conjunto dos números primos, entre outros. Vale sublinhar que apenas conteúdos relacionados ao conjunto dos números naturais foram citados pelos professores nessa subcategoria. Entretanto, nos anos iniciais, o estudo do conjunto dos números racionais também é indicado por documentos legais, entre eles, a BNCC. O que se pode sugerir é que o estudo desse conjunto já esteja sendo considerado pelos professores na subcategoria emergente Frações.
A subcategoria emergente Sistemas de medidas foi constituída pelos excertos dos professores que afirmaram desenvolver nos anos iniciais unidades de medida, sejam elas de tempo, de comprimento ou de capacidade. Ademais, foram agrupados nessa subcategoria excertos referentes ao sistema monetário brasileiro. Desse modo, é possível sugerir que a representação de números racionais sob a forma decimal não mencionada na subcategoria emergente Frações esteja sendo considerada nessa subcategoria.
De acordo com a BNCC,
[...] o conhecimento do Sistema Internacional de Medidas começa a dar força e estruturação à conceituação das grandezas, o que permite, ao/à estudante, desenvolver autonomia para conviver, de forma consciente e crítica, com questões comerciais e financeiras do dia-a-dia. (BRASIL, 2016, p. 252-253).
Sendo assim, torna-se necessário para a formação de um cidadão crítico o desenvolvimento de conteúdos matemáticos relacionados à subcategoria Sistemas de medidas, emergente nessa análise.
A subcategoria intitulada Tratamento da Informação agrupa excertos de professores que afirmam promover durante os anos iniciais a leitura e a construção de gráficos e tabelas pelos estudantes. O excerto do Professor P2 ilustra bem a emergência dessa subcategoria: “Tratamento de informações (estatística: construção de tabelas simples)”. Ainda, o mesmo professor reconhece não ter tido, anterior a sua docência, a necessidade de desenvolver conteúdos referentes ao Tratamento da Informação, como é possível perceber no seguinte
excerto: “Também, incluí nas minhas aulas, as tabelas de estatísticas que não tinha ideia que deveria ser desenvolvido” (P2).
Os professores participantes desta pesquisa que desenvolvem conteúdos matemáticos referentes ao Tratamento da Informação desde os anos iniciais estão contribuindo para a formação de participantes críticos e reflexivos que poderão, por exemplo, refutar dados contidos em gráficos ou tabelas apresentadas em jornais e/ou revistas.
Por fim, na subcategoria emergente Geometria Plana e Espacial, agruparam-se excertos dos professores que desenvolvem nos anos iniciais conteúdos matemáticos da área da Geometria, como, por exemplo, figuras e sólidos geométricos. No entanto, de fato, somente um docente reportou-se à Geometria Espacial. Os demais que tiveram seus excertos agrupados nessa subcategoria só reportaram-se à Geometria Plana.
Entretanto, considerando que estamos inseridos em um espaço tridimensional, é importante que as primeiras noções geométricas dos estudantes partam do espaço em que estão inseridos e não de formas bidimensionais. Esses espaços podem ser, por exemplo, a própria sala de aula, o bairro e a cidade onde moram, e assim sucessivamente, ampliando cada vez mais esses espaços, conforme proposta da BNCC. De acordo com Portanova (2005, p. 32):
A Geometria ajuda-nos a entender e apreciar o mundo à nossa volta. Formas e estruturas geométricas permeiam o universo natural e estético. A Geometria está presente na natureza: nas conchas do mar, nos flocos de neve, nos favos de mel e nas flores, assim como num aqueduto romano, em catedrais góticas, pontes suspensas e arranha-céus. Um entendimento e apreciação da natureza, da arte, da arquitetura humana podem contribuir para uma vida plena.
Assim, os professores dos anos iniciais, participantes desta pesquisa, que promovem o estudo da Geometria estão contribuindo para o entendimento de mundo por parte dos estudantes e mostrando-lhes uma Matemática presente na vida real.
6.1.2 Conhecimento pedagógico do conteúdo
Nessa categoria, agruparam-se os excertos dos professores participantes da pesquisa que afirmaram desenvolver conhecimentos pedagógicos de conteúdo para ensinar Matemática nos anos iniciais. As subcategorias dos conhecimentos pedagógicos de conteúdo destacados pelos professores participantes da pesquisa foram: Conhecimento acerca da Resolução de Problemas (6); Conhecimento da relação entre a Matemática e o contexto dos estudantes (3); Atividades mais tecnicistas (3). Assim, verifica-se a emergência de menor quantidade de
subcategorias ao comparar essa categoria a priori com a anterior, Conhecimento do conteúdo. Além disso, a quantidade de excertos agrupados em cada uma dessas subcategorias emergentes também é menor. Isso é verificável no Quadro 17.
Quadro 17 – Frequência das subcategorias emergentes da categoria a priori Conhecimento pedagógico do conteúdo
Código/excertos
[continua] Significação Unidades de significado Subcategorias emergentes
P1.14.4 – resolução de histórias matemáticas
Resolução de problemas matemáticos Resolução de Problemas
Conhecimento acerca da Resolução de Problemas
P5.14.2 – problemas Resolução de problemas matemáticos Resolução de Problemas
P6.14.4 – desafios matemáticos, uso do raciocínio lógico
Uso de raciocínio lógico na resolução de desafios matemáticos
Resolução de desafios
P7.14.4 – histórias matemáticas Resolução de problemas matemáticos Resolução de Problemas
P8.14.3 – problemas Resolução de problemas matemáticos Resolução de Problemas
P1.15.2 – resolução de desafios e problemas
Por meio da resolução de problemas e desafios
Resolução de Problemas e desafios
P5.15.2 – aplicando nas experiências vividas.
Por meio do uso de situações vivenciadas pelos estudantes
Uso de situações vivenciadas pelos estudantes
Conhecimento da relação entre a Matemática e o contexto dos
estudantes
P7.15.3 – construção do
conhecimento através de
experienciação
Por meio da utilização de
experiências como construção do conhecimento
Utilização de experiências
P10.15.2 – utilizando situações da vivência de forma articulada para que percebam as relações conceituais da matemática com as outras áreas do saber
Por meio da articulação entre Matemática e situações vivenciadas pelos estudantes de maneira a perceberem relações desta área do conhecimento com as demais
Articulação entre Matemática e vivências dos estudantes
Fonte: Elaborado pelo autor (2017)
Código/excertos
[conclusão] Significação Unidades de significado Subcategorias emergentes
P3.15.2 – exercícios variados de registro, para os anos iniciais parto do corpo e nome de cada um
Por meio de exercícios diversificados de registro, envolvendo nome e corpo dos estudantes
Exercícios diversificados de registro
Atividades mais tecnicistas P8.15.3 – Mas também exigia o
conhecimento da tabuada
memorizada depois que aprendiam com material concreto
Por meio da memorização da tabuada
após aprendizagem utilizando
materiais concretos
Memorização da tabuada
Na subcategoria emergente Conhecimento acerca da Resolução de Problemas, agruparam-se os excertos dos professores que afirmam propor aos seus estudantes dos anos iniciais a resolução de situações problema e desafios matemáticos. Os excertos dos professores P1 e P6 ilustram a emergência dessa subcategoria: “resolução de desafios e problemas” (P1); “desafios matemáticos, uso do raciocínio lógico” (P6).
Conforme consta na BNCC, o ensino de Matemática deve ter como foco a Resolução de Problemas. Além disso, nesse documento sugere-se a “[...] elaboração de problemas pelo próprio estudante e não somente sua proposição, com enunciados típicos que, muitas vezes, apenas simulam alguma aprendizagem.” (BRASIL, 2016, p. 132). Desse modo, no documento, é evidenciado que as situações problema referidas tratam-se daquelas que não deixem clara sua solução e que exijam maior raciocínio por parte dos estudantes durante sua resolução, aproximando-se, assim, da definição de Resolução de Problemas apresentada por Diniz (2001).
A elaboração de problemas permite ao estudante desenvolver sua capacidade de refletir acerca do seu próprio modo de pensar, o que lhe permite ser capaz de confrontar a solução encontrada para o problema com o contexto que o gerou (BRASIL, 2016). Ainda, de acordo com a BNCC:
Esse é um momento, portanto, em que o estudante adota uma postura ativa em relação ao próprio processo de construção do conhecimento matemático, direito essencial de suas aprendizagens. Ele desenvolve autonomia para realizar uma leitura crítica do mundo natural e social, que o instrumentaliza para a tomada de posições frente aos problemas sociais e ambientais que impactam sua vida e a de sua coletividade. (BRASIL, 2016, p. 133).
Assim, os professores que ensinam Matemática nos anos iniciais, participantes desta