Les quatre opérateurs

Cas de contextes binaires

La relation entre objets et propriétés est dénie pargRmoù l'objetgpossède la propriétésm. On note respectivement R⁻¹(m) etR(g) l'ensemble d'objets ayant la propriété m et l'ensemble des propriétés que possède l'objetg. Les opérateurs de dérivation correspondant aux mesures de la théorie des possibilités (voir Section 1.5 du Chapitre 1) sont donnés dans la suite pour tout A⊆GetB ⊆M.

Mesure de possibilité9

A3 _{= {m∈M|R}−1(m)∩A6=∅} = ∪_g∈XR(g) (2.10) et son dual

B3 _{= {g∈G|R(x)∩B 6=∅} = ∪m∈MR}−1(m) (2.11) Le premier opérateur retourne l'ensemble des propriétés possibles appartenant à A, c-à-d les propriétés de M qu'un objet dans le sous-ensemble A satisfait. D'une manière duale, le second opérateur retourne pour un ensemble de propriétés le sous-ensemble d'objets qui possèdent au moins une propriété dans B. En utilisant les propriétés de la mesure de pos-sibilité on a (A₁∪A₂)3_=A3 1 ∪A3 2. Mesure de nécessité A2 _{= {m∈M|R}−1(m)⊆A} = ∩_g6∈AR(g) (2.12) et son dual B2 _{= {g∈G|R(g)⊆B} = ∩m6∈MR}−1(m) (2.13) Le premier opérateur représente les propriétés satisfaites par des objets de A, i.e. seuls les objets de A ont ces propriétés. Le second opérateur retourne les objets qui ne possèdent

9. Les notations utilisées dans cette partie sont utilisées dans [11]. Les notations3,2,4et`sont associées

respectivement aux mesures de possibilité, nécessité, susance et certitude potentielle. Les auteurs dans [67, 84, 62]

que les propriétés de B. De plus, en utilisant les propriétés de la mesure de nécessité [78], on a :A2 _{= (A)}3_=M\(A)3, et(A₁∩A₂)2_=A2 1 ∩A2 2. Mesure de susance10 A^∆ = {m∈M|R⁻¹(m)⊇A} = ∩_g∈AR(g) (2.14) B^∆ = {g∈G|R(g)⊇B} = ∩_m∈BR⁻¹(m) (2.15) Pour tout A ⊆ G, R^∆(A) représente l'ensemble de toutes les propriétés communes aux objets dansA et d'une manière duale,R^∆(B) retourne l'ensemble des objets ayant toutes les propriétés dansB. De plus,R^∆(A1∪A2) =R^∆(A1)∩R^∆(A2).

Mesure de certitude

A^∇ = {m∈M|R⁻¹(m)∪A6=G} = ∪_g6∈AR(g) (2.16)

B^∇ = {g∈G|R(g)∪B 6=G} = ∪_g6∈BR(g) (2.17) Notons que R^∇(A) = (A)∆ =M \(A)^∆. Autrement dit, dans le contexte R, pour toute propriété dans A^∇, il existe au moins un objet qui n'est pas dans A et qui n'a pas cette propriété. De plus, on a(A1∩A2)^∇=A^∇₁ ∪A^∇₂.

Exemple illustratif

Considérons la Table 2.9 (exemple utilisé par Dubois et al. dans [84]) où on a huit objets et neuf propriétés. La Table 2.10 montre un exemple de plusieurs sous-ensembles d'objets avec les quatre opérateurs de dérivation et la Table 2.11 montre les quatre opérateurs duaux appliqués à des sous-ensembles de propriétés.

R a b c d e f g h i g1 × g₂ × × g₃ × × g4 × × × g₅ × × × × g₆ × × × × × g7 × × × × g8 × × × ×

Table 2.9 Le contexte formel donné dans [84]

10. Pour garder la cohérence avec la mesure de susance de la théorie des possibilités ∆, nous gardons le

symbole ∆ pour les opérateurs de dérivation A^∆ et B^∆ sachant que ces opérateurs sont à la base de l'AFC

2.5. Diérentes extensions oues de l'AFC A (.)3 _(.)2 _(.)∆ (.)^∇

{g₁, g₂} {g, h} {g} {g} M

{g1, g2, g3, g4} {g, h, i} {g, h, i} {g} {b, c, e, f, g, h, i} {g5, g6, g7, g8} {a, b, c, d, e, f} {a, b, c, d, e, f} {a, d} {a, b, c, d, e, f, h, i}

Table 2.10 Exemple des sous-ensembles d'objets avec les quatre opérateurs de dérivation B (.)3 _(.)2 _(.)∆ (.)^∇

{g} {g1, g2, g3, g4} {g1} {g1, g2, g3, g4} G

{g, h, i} {g1, g2, g3, g4} {g1, g2, g3, g4} ∅ G

{a, b, c, d, e, f} {g₅, g₆, g₇, g₈} {g₅, g₆, g₇, g₈} ∅ G

Table 2.11 Exemple des sous-ensembles de propriétés avec les quatre opérateurs de dérivation Connexion de Galois

Dans l'AFC classique, les opérateurs utilisant la mesure de susance forment une connexion de Galois [96]. Une paire (A, B) telle que A^∆ = B et B^∆ = A est un concept formel dont l'extension est A et l'intension est représentée dans B. Ainsi, la paire (A, B) est un concept formel pour ∇ si et seulement si la paire (A, B) est un concept formel pour ∆, on note ainsi A^∇ = B et B^∇ = A si A^∆ = B et B^∆ = A [67, 84]. D'autre part, (A, B) est un concept formel pour 3 si et seulement si la paire (A, B) est un concept formel pour 2, on note ainsi A3 _=B et B3 _{= A} si A2 _=B et B2 _=A [67, 84, 62]. Revenons à l'exemple de la Table 2.9, la paire ({g1, g2, g3, g4},{g}) est un concept formel pour l'opérateur de susance ∆. Ainsi, les paires ({g₁, g₂, g₃, g₄},{g, h, i}) et ({g₅, g₆, g₇, g₈},{a, b, c, d, e, f}) sont des paires (A, B) telles que A2 _{= B} et B2 _{= A}, ainsi que A2 _{= B} et B2 _{= A}. D'où la connexion de Galois formée à partir des deux opérateurs de possibilité et de nécessité. Dans ce cas, le contexte peut être décomposé en plusieurs sous-contextes dont les objets respectivement les attributs, sont des ensembles disjoints.

Si les paires (A, B) telles que A2 _=B etB2 _=A n'existent plus dans le contexte, alors le contexte n'est plus décomposable. Par exemple, si on modie la relationR en R⁰ (donnée dans la Table 2.12), les paires mentionnées n'existent plus puisque R⁰2_{({g1, g2, g3, g4}) = {g, h}} et R⁰2_{({g, h}) ={g1, g2, g3}}. R a b c d e f g h i g1 × g₂ × × g₃ × × g4 × × × × g₅ × × × × g₆ × × × × × g7 × × × × g₈ × × × ×

Cas de contextes hétérogènes

Dans le cas des contextes complexes et hétérogènes, les données ne sont plus binaires. Elles peuvent être numériques ou symboliques. La théorie des possibilités ore un cadre intéressant pour la représentation des données hétérogènes à l'aide des distributions de possibilités. D'autre part, nous avons vu dans la section 2.4.1 une méthode pour construire le treillis de concepts sans transformer les données. Récemment, dans [11] les auteurs ont mis en évidence une lecture possibiliste des structures de patrons en utilisant les mesures de possibilité, de nécessité, de susance et de certitude potentielle de la théorie des possibilités, dont l'opérateur utilisant la mesure de susance et son dual sont les opérateurs de dérivation proposés par Ganter et al. [94]. Ce point de vue est analogue à celui proposé dans le cadre des données binaires. Son intérêt est de représenter l'incertitude en utilisant la théorie des possibilités, et de décomposer le contexte en sous-contextes indépendants grâce à la dualité des mesures de la théorie des possibilités. La relation R n'est plus binaire, les cases du contexte contiennent des valeurs, des intervalles, des symboles, etc. Dans [11], les auteurs ont déni les quatre opérateurs de dérivation en s'inspirant de la formule donnée pour une structure de patrons (G,(D,u), δ). Ils ont étudié deux cas : numérique et qualitatif.

Dans le cas des données numériques, la description d'un objet pour une propriété est un intervalle ou un intervalle ou (informations modélisées respectivement par des distributions de possibilités dans {0,1} et [0,1]). Par exemple, si on considère le cas des intervalles : u repré-sente l'intersection et la relation d'ordre vdésigne l'inclusion classique des intervalles (⊆). Par conséquent, l'opérateur de dérivation utilisant la mesure de susance retourne pour tout sous-ensemble d'objets leur description commune. D'une manière analogue au cadre des contextes binaires, les opérateurs de dérivation se dénissent en remplaçant les opérations t par ∪ et w

par⊇. L'opérateur de dérivation utilisant la mesure de possibilité appliqué à un sous-ensemble d'objets est similaire à l'opérateur de dérivation proposé dans [126]. Mais ce dernier utilise la plus petite enveloppe convexe de l'union des descriptions. D'autre part, l'opérateur de dériva-tion d'une descripdériva-tion, dans un contexte numérique avec des intervalles, utilisant la mesure de nécessité retourne le même sous-ensemble d'objets que celui calculé à partir de l'opérateur de dérivation d'une description dans [126].

Dans le cas des données qualitatives, les informations sont représentées en utilisant la logique. Pour chaque objet, une base de connaissances est utilisée. La construction des quatre opérateurs de dérivation et de leurs duaux est presque similaire à celle des données binaires.