Ondulations de couple par l’adéquation des sources du champ

La séquence de bobinage étant fixée, afin de mettre en application la méthode développée au paragraphe

(3.3.4.4), nous entreprenons une étude de la répartition optimale de la couche d’aimants de manière à trouver une

adéquation entre les sources du champ. Nous avons mené des essais comparatifs entre la machine originale de Zodiac et une machine dont le rotor de forme légèrement différente comprend des aimants cylindriques, découpés en plusieurs blocs élémentaires, avec une aimantation orientée. La largeur et l’épaisseur des aimants, l’orientation ainsi que l’ouverture relative de l’arc polaire constituent les variables d’optimisation du problème considéré. Nous avons cherché à réduire les ondulations de couple en modifiant les pôles du rotor par rapport à une séquence de bobinage figée. Pour le point de départ, nous nous basons sur la même structure de machine dimensionnée chez Zodiac, utilisée également comme le point de départ au précédent paragraphe. Nous modifions uniquement la structure du rotor pour pouvoir intégrer des aimants cylindriques. L’épaisseur d’entrefer reste constante. Le principe de formulation de la fonction objectif reste identique au paragraphe précédent. Elle est donnée par :

𝑓𝑜𝑏𝑗= 𝑂𝑛𝑑𝛾𝑒𝑚 |𝑀𝑖𝑛𝑂𝑛𝑑_𝛾𝑒𝑚| 𝛾_{𝑒𝑚𝑚𝑖𝑛}≤𝛾𝑒𝑚≤𝛾𝑒𝑚𝑚𝑎𝑥 + ∑ 𝛼𝑖𝐶𝑖(𝑥) 3 𝑖=1 3-87 De la même manière que précédemment, afin d’économiser du temps de calcul sur chaque itération, nous ajoutons des conditions d’exécution de la résolution numérique du modèle, directement dans le programme de la fonction objectif. L’algorithme conditionnel d’exécution simplifié est donné par la Figure 3-9. Nous ajoutons également des contraintes principales 𝐶1 à 𝐶3, Tableau 55, directement dans la fonction objectif, avec 𝛼𝑖 un coefficient de

pondération dont la valeur est comprise dans l’intervalle [102 _{. . 10}5_]. L’épaisseur d’aimant, la largeur des blocs

élémentaires et l’ouverture de l’arc polaire constituent les variables de décision du problème d’optimisation. Nous fixons également les valeurs d’un certain nombre de paramètres d’entrée et nous reprenons à nouveau les entrées du processus d’initialisation de l’algorithme, détaillé en Annexe C. Nous définissons les variables d’optimisation

Tableau 53 ainsi que les contraintes Tableau 55, de manière à formaliser correctement le problème d’optimisation

de répartition optimale de la couche d’aimants et son domaine de validité.

Tableau 53 : Variables d’optimisation

Paramètre Description Type

𝑙𝑖 Largeur relative d’un bloc élémentaire réel

ℎ𝑎[𝑚𝑚] Epaisseur d’aimant réel

𝛽 Ouverture relative de l’arc polaire réel

Paramètre Borne inférieure Borne supérieure

𝑙𝑖 0 1

ℎ𝑎[𝑚𝑚] 𝐶𝑜𝑛𝑓𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙

𝛽 0.5 1

En comparaison du problème résolu au paragraphe précédent, nous retirons les contraintes relatives à la géométrie du stator et aux bobinages. Nous ajoutons simplement la contrainte sur la largeur totale des blocs élémentaires au rotor. Afin de proposer une solution techniquement réalisable, nous fixons deux orientations d’aimantation possibles 0° et ±90°. Pour la validation de la méthode proposée, nous prenons le cas de 3 blocs

élémentaires. Les solutions recherchées par l’algorithme appartiennent à un domaine de validité de dimension ℝ2+2𝑁_{𝑏𝑙𝑜𝑐 délimité par les six contraintes suivantes. L’ensemble des contraintes et le point de départ choisi}

permettent de rechercher une solution valide pour la machine originale de Zodiac.

Tableau 55 : Contraintes linéaires et non linéaires d’égalité et d’inégalité

Contraintes Relation 𝐶1 𝛾𝑒𝑚𝑚𝑖𝑛≤ 𝛾𝑒𝑚≤ 𝛾𝑒𝑚𝑚𝑎𝑥 𝐶2 𝜂𝑚𝑖𝑛≤ 𝜂 𝐶3 𝑂𝑛𝑑𝛾𝑒𝑚≤ 𝑂𝑛𝑑𝑚𝑎𝑥𝛾𝑒𝑚 𝐶4 𝑀𝑡≤ 𝑀𝑡𝑚𝑎𝑥 𝐶5 𝛽 𝜋𝑅𝑟 𝑝 ≤ 𝑅𝑟− ℎ𝑎 √3 2 𝑒𝑡 𝛽 ≠ 0 𝐶6 0 < ∑ 𝑙𝑖 𝑁𝑏𝑙𝑜𝑐 𝑖=1 ≤ 1

Tableau 56 : Résultats d’optimisation

Paramètres de sortie Valeurs _{machine originale [%]} Ecart par rapport à la

𝑂𝑛𝑑𝛾𝑒𝑚 [%] 2.37 −𝟓𝟎. 𝟒 𝛾𝑒𝑚 [𝑁𝑚] 5.2 +𝟏. 𝟗 𝜂𝑒𝑙𝑒𝑐 [%] 96.38 −𝟎. 𝟐𝟒 𝐽𝑚 [𝐴/𝑚²] 12.56 𝑖𝑑𝑒𝑚 𝑘𝑟 0.407 𝑖𝑑𝑒𝑚 𝑀𝑡𝑜𝑡 [𝑘𝑔] 1.69 −𝟔. 𝟏

Nous constatons que l’algorithme a convergé vers une solution locale représentée sur la Figure 3-18, respectant les contraintes. Cette convergence a permis de conclure que le problème a été correctement posé. Nous constatons que le niveau d’ondulation a diminué de manière significative, tout en renforçant le niveau de couple moyen. La masse a également diminué. L’épaisseur d’aimant a diminué de 17.2%. D’un point de vue économique,

la solution présente un gain de 2.7% en surface d’aimants, car en parallèle, l’ouverture angulaire des aimants a augmenté de 16.6%. On note, par ailleurs, que l’induction monte jusqu’à 1.75T à certains endroits des dents. La

méthode semble concluante au vu des résultats. Ainsi, nous proposons et mettons en avant les avantages d’un rotor de forme cylindrique avec des aimants déposés en surface qui présentent une répartition progressive d’aimantation. Cela permet de réduire encore les ondulations de couple, tout en augmentant la valeur moyenne du couple grâce à un resserrement des lignes de flux. La comparaison a permis de mettre en évidence les avantages entre les deux versions de rotor de la machine optimisée, ainsi que le gain de masse supplémentaire offert par la nouvelle couche d’aimants. Nous retrouvons une conclusion classique sur les avantages de la distribution de Halbach. Néanmoins, cette distribution d’aimants fonctionne pour une couche d’aimants relativement épaisse et pour un nombre de blocs d’aimants par pôle différent de un, ce qui reste en pratique limité par la complexité et le coût des techniques de fabrication, ainsi que pour les applications haute vitesse où un risque de destruction existe.

Figure 3-18 : Tracé de l’induction et des lignes de champ correspondant à la solution locale optimale du problème général monocritère d’ondulation obtenue pour la structure de machine Zodiac avec une aimantation

3.5 Conclusion

Au cours de ce chapitre, nous avons mis en évidence les conditions d’optimalité du couple électromagnétique de la MSAP. Nous avons également développé une relation analytique simplifiée du couple utilisée dans un processus d’adaptation des sources du champ, puis dans des problèmes d’optimisation locaux, pour ensuite aboutir à deux problèmes d’optimisation globaux. Le premier problème est un problème structurel paramétrique qui utilise un modèle analytique et permet de déterminer de manière systématique un couple optimal, pour une structure et un rayon donnés, grâce à une méthode d’adéquation des sources du champ de la machine, en vue de son intégration avec un convertisseur dédié. Nous avons également généralisé les expressions du modèle analytique de la couche des aimants, de manière à prendre en compte une distribution quelconque de la couche d’aimants. La méthode développée permet au choix, séparément, ou conjointement, d’adapter le bobinage au stator et les aimants au rotor, en fonction d’un courant donné. Le deuxième problème est un problème de dimensionnement-conception optimale paramétrique utilisant un modèle numérique, couplé à un algorithme de type « black box ». Nous évitons ainsi l’utilisation des algorithmes de type « Génétiques », présentent des temps de résolution souvent prohibitifs. La méthode développée est générale, elle peut s’appliquer à différents types de machine et permet de déterminer un optimum local « pseudo multicritères » de conception, c'est-à-dire, la densité et les ondulations de couple, la masse et le rendement attendus pour une application donnée. La résolution du problème général d’optimisation sur la base d’une machine existante chez Zodiac a permis de valider la méthode développée et de déterminer une solution locale optimale qui présente des gains de 8% sur la masse totale, 3.6%

surl’épaisseur des aimants et 33% sur l’ondulation de couple. La dernière proposition est un problème général

permettant de trouver une adéquation des sources du champ pour cette même machine qui a permis de trouver également une solution locale optimale présentant des gains de 50% d’ondulation, 2% de valeur moyenne de

couple, 6% de masse totale et 17% surl’épaisseur des aimants. A travers cette partie, nous avons exposé notre

raisonnement d’analyse et présenté les méthodes développées afin d’atteindre les objectifs. Deux outils supplémentaires par rapport au premier chapitre ont été développés permettant de créer une bibliothèque d’applications destinée aux concepteurs à chaque étape de la réalisation d’une MSAP.

Remarque : l’optimisation structurelle des bobinages reste difficile et représente un problème

d’optimisation complexe fortement contraint. En effet, les contraintes sur les paramètres d’inductance, l’objectif de couple, les coefficients de bobinage et la position discrétisée des conducteurs restent délicats à concilier puisque antagonistes. Comme nous l’avons précisé en début de partie, contrairement aux règles de bobinage classique, plusieurs possibilités pourraient toutefois assouplir certaines contraintes conceptuelles, ce qui amènerait à proposer de nouvelles solutions de bobinage. Une largeur de dent et un nombre de conducteurs par encoche variables permettraient d’augmenter les fuites et de disposer d’un degré de liberté supplémentaire sur la répartition même des conducteurs élémentaires. D’autre part, le triplet 𝑁𝑒, 𝑝, 𝑞 est imposé dans la méthode développée. Rendre ce

triplet variable amène à reconsidérer le problème comme un problème de conception inverse mais permettrait de trouver des solutions optimales supplémentaires.