D.2 Analyse position-fréquence et modélisation
D.2.1 Ondelettes continues
Définition
Une transformation ondelette correspond à l’analyse d’un signal par des variantes d’une fonction ψ oscillante, de moyenne nulle, d’énergie finie et vérifiant la condition d’admissibilité
Cψ =
Z +∞
0
| ˆψ(ν)|2
ν dν < +∞, (D.7)
avec ˆψ la transformée de Fourier de la fonction ψ. L’analyse d’un signal f correspond à des produits scalaires de ce signal, avec des versions dilatées et translatées de la fonction ψ. La dilatation permet d’analyser le signal en spectre pour une localisation spatiale donnée. La trans- lation permet d’étudier les variations géographiques du signal.
Ainsi, la fonction translatée-dilatée de coefficient de translation u et de coefficient de di- latation s est donnée par ψs,u(x) = √1sψ x−us . s désigne l’information d’échelle et u celle
de position. Cette fonction s’écrit également ψs,u(x) = ψs(x − u) avec ψs(x) = √1sψ xs, la
fonction dilatée de la fonction ψ. L’analyse d’un signal par une telle fonction n’est autre que l’analyse dans le plan temps-fréquence telle que représentée sur la figureD.1.
Dans cette définition des fonctions ψs,u, le groupe des homothéties-translations a été intro-
duit implicitement. Il existe en effet un lien intime entre les groupes de transformations et les ondelettes.
Le coefficient ondelette, pour le signal f , associé à cette fonction est donné par fs,u =<
ψs,u|f >. Il s’agit d’une "corrélation" entre le signal analysant ψs,uet le signal analysé f . Une
autre interprétation est celle d’une moyenne locale de poids ψs,u. Ainsi, la transformée ondelette
d’un signal f 1D est un signal 2D. Les coefficients ondelettes caractérisent deux informations : l’une locale et l’autre spectrale. La transformée ondelette développe l’information 1D du signal en une information 2D.
Une autre manière d’écrire cette décomposition est d’introduire la fonction symétrique ¯ψs,u
de ψs,u, telle que ¯ψs,u(x) = ¯ψs,u(−x). On a alors f (s, u) = ( ¯ψs∗f )(u), ce qui définit la fonction
fs = ¯ψs∗ f. (D.8)
A ce stade, plusieurs angles d’approche de cette transformation ondelette se complètent. Le premier est l’aspect de moyenne spatiale locale. En effet, La fonction fs correspond à
une version moyennée du signal initial f par le noyau ¯ψs de la convolution, dont le support
spatial est caractérisé par l’extension spatiale de la boîte de Heisenberg associée à ¯ψs. Il s’agit
(a)
(b)
(c)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 0.25 0.5 0.75 1.0 3 4 5 6 7 8 9 0.0 0.25 0.5 0.75 1.0 3 4 5 6 7 8 9FIG. D.4 – Analyse ondelette d’un signal structuré avec une ondelette complexe de Morlet. (a) signal d’origine, (b) module de la transformée ondelette et (c) phase de la transformée ondelette : les zones en blanc correspondent aux zones dont le module est nul ou inférieur à un seuil très petit. L’axe des ordonnées caractérise l’échelle ; les grandes échelles sont en bas et les petites échelles en haut. Ainsi cet axe est associé à la représentation de l’information de fréquence avec les basses fréquences en bas et les hautes fréquences en haut.
Le deuxième correspond aux aspects de filtrage. En effet, ce formalisme basé sur la convolu- tion permet de faire le lien entre l’analyse ondelette et le filtrage linéaire associé au formalisme des produits de convolution. En particulier, ¯ψs s’interprète comme un filtre passe-bande : il
permet d’extraire les informations spectrales contenues dans la bande spectrale spécifiée par la boîte de Heisenberg associée à ¯ψs.
De même que la transformation de Fourier, la transformation ondelettes est inversible : à partir de l’ensemble des versions fs de f vues à des échelles différentes s, il est possible
de reconstituer le signal initial f en le synthétisant à partir des informations aux différentes échelles tel que
f (u) = 1 Cψ Z +∞ 0 (ψs∗ fs)(u) ds s2. (D.9) Illustration
La figureD.4représente l’analyse ondelette du signal structuré représenté sur la figureD.2- (c). L’ondelette utilisée ici correspond à l’ondelette complexe de Morlet
ψ(x) = exp(−x
2
2 + 5ιx), avec ι2 = −1.
Ainsi, le signal 1D initial est transformé en un signal 2D. Sur cette représentation du signal, le module (Fig.D.4-(b)) permet de localiser les structures en donnant leur localisation spatiale (axe des abscisses) et leur localisation spectrale (axe des ordonnées, représentant l’échelle ou la fréquence locale). Le carré de l’amplitude du module est lié à l’énergie de la structure locale. L’information de phase (Fig.D.4-(c)) permet de déterminer la fréquence locale du signal.
Les structures localisées au voisinage de 0.1 et de 0.35 apparaissent clairement sur la repré- sentation du module. Le première structure est de plus petite échelle spatiale mais ses oscilla- tions sont de plus basses fréquences par rapport à la seconde structure. La structure finale dont l’oscillation augmente au voisinage de l’abscisse 1 est également très remarquable sur la repré- sentation du module : les échelles excitées sont de plus en plus petites. Cependant, étant près du bord, cette portion du signal provient des conditions aux bords périodiques. C’est également ce qui se passe au voisinage de 0 : il apparaît que le module présente de l’énergie alors qu’il n’y a pas de structure apparente. Il s’agit d’un artefact associé à la structure localisée en 1 (cône d’influence).
L’utilisation d’ondelettes complexes permet de séparer l’information d’amplitude et de phase. C’est ce type d’ondelette qui est habituellement utilisé pour l’analyse de signaux. En revanche pour le traitement numérique, ce sont plutôt les ondelettes réelles qui sont utilisées et en parti- culier les ondelettes orthogonales.
Utilisation des ondelettes continues dans la modélisation des corrélations
Les ondelettes continues (peut maniables) ne sont pas adaptées à la modélisation des corré- lations par l’hypothèse diagonale. Cependant, dans le cas où l’ondelette est à spectre fini (nul au delà d’un certain nombre d’onde), alors une version discrète des ondelettes continues peut être construite. Cette approche est celle utilisée sur le cercle et présentée dans le chapitre 4
(Pannekoucke et al. , 2007). Dans ce contexte, les ondelettes sont dites à bande limitée. Cette approche est similaire à la décomposition ondelette sur la sphère.