3.3 Le cas non linéaire
3.3.1 Observabilité et condition de rang
˙x(t) = f (x(t), u(t))
y(t) = h(x(t)) (3.5)
oùx(t)∈ Rn représente l’état,u(t)∈ Rm l’entrée et y(t)∈ Rp la sortie.f (·, ·) et h(·) sont des fonctions analytiques.
Contrairement au cas linéaire, le problème d’observabilité des systèmes non linéaires se complique, dans la mesure où l’observabilité dans ce cas dépend de l’entrée appliquée. L’observabilité des systèmes non linéaire est définit à partir de la notion d’indiscernabi-lité (ou d’indistingabid’indiscernabi-lité) (Hermann1977). Une synthèse sur la question est donnée dans (Bornard1993).
3.3.1 Observabilité et condition de rang
Définition 4 Indiscernabilité : Deux états initiaux x(t0) = x1 et x(t0) = x2 sont dit indiscernables pour le système (3.5) si ∀t ∈ [t0, t1], les sorties correspondantes y1(t) et y2(t) sont identiques quelle que soit l’entrée admissible u(t) du système.
Définition 5 Observabilité Le système non linéaire (3.5) est dit observable s’il n’admet pas de paire indiscernable.
En d’autres termes, un système est observable s’il n’existe pas d’états initiaux distincts qui ne puissent être départagés par un choix des entrées et un examen de la sortie du système.
Contrairement au cas linéaire, il n’existe pas de condition géométrique globale garantis-sant l’observabilité d’un système non linéaire. Cependant en localigarantis-sant la relation d’in-discernabilité, Herman et Krener introduisent une notion d’observabilité locale faible, ga-rantissant que tout point est instantanément discernable de son voisin, et caractérisable par une condition de rang analogue au cas linéaire, ceci dans le cas des systèmes non linéaires autonomes, une version non autonome peut être donnée en fonction des dérivées de Lie-Backlünd.
Définition 6 Soit IU(x0), pour un ouvert U ⊂ Rn et x0 ∈ U, l’ensemble des points indiscernables de x0. Considérons deux états initiaux x(t0) = x0 et x(t0) = x1 ⊂ U. On dit que x1 est U -discernable de x0 si, ∀t ≥ t0, les sorties correspondantes y1(t) et y0(t) sont identiques quelle que soit l’entrée admissible u(t) du système et les trajectoires x1(t) et x0(t) appartiennent à U .
Définition 7 Observabilité locale faible L’état x0 est dit localement faiblement obser-vable s’il existe un voisinage ouvert V de x0 tel que pour tout voisinage ouvert U de x0 contenu dans V (x0), IU(x0) = x0. Le système (3.5) est dit localement faiblement obser-vable si pour tout x∈ U de Rn, IU(x)∩ V (x) = x.
42 Synthèse d’observateurs pour les systèmes interconnectés et en cascade
La notion d’observabilité locale assure que les trajectoires du système n’ont pas besoin de s’éloigner beaucoup des conditions initiales pour distinguer deux points. Cette notion d’observabilité devient localement faible lorsque l’on s’intéresse uniquement à la discernabilité des états initiaux proches l’un de l’autre.
La caractérisation formelle de la propriété d’observabilité locale faible s’appuie sur la notion d’espace d’observabilité.
Définition 8 Espace d’observabilité (Conte1999) On définit la notion d’espace d’ob-servabilité générique noté dO et définit par dO = X ∩ (Y + U), avec
X = SpanKdx
U = SpanKdu(v), v ≥ 0 Y = SpanKdy(w), w ≥ 0 où K est l’ensemble des fonctions méromorphes.
Définition 9 L’espace dO(x0) (c’est à dire évalué en x0) caractérise l’observabilité faible locale en x0 du système (3.5). Le système (3.5) est dit satisfaisant la condition de rang d’observabilité en x0 si
dimdO(x0) = dimX = n (3.6) Le système (3.5) satisfait la condition de rang d’observabilité si , pour tout x∈ Rn
dimdO(x) = dimX = n (3.7) Remarque 1 Dans le cas du système linéaire (3.1), on considère alors l’ensemble des fonctions de sorties de Rn à valeurs dans Rp engendré par Cx, CAx, . . . , CAn−1x et l’es-pace dO = Y, l’espace des différentielles de chacune de ces fonctions dans le cas auto-nome. En chaque point x, l’évaluation de dO est alors donné par [C, CA, . . . , CAn−1]. On retrouve ainsi la condition de rang donnée précédemment (3.2).
Condition de rang forte
On suppose que la condition de rang d’observabilité forte soit satisfaite. On peut alors vérifier rangK dh dLfh .. . dLn−1f h = n (3.8)
ou avec une définition algébrique équivalente
rangK ∂(y, ˙y, . . . , y(n−1)) ∂(x1, x2, . . . , xn) = n (3.9) où l’ensemble {h, Lfh, . . . , Ln−1
f h} représente l’ensemble des sorties mesurées de l’algébre commutative (Barbot2009) et de leur dérivées de Lie successives jusqu’à l’ordre (n− 1).
3.3 Le cas non linéaire 43
Cela implique que l’état x peut être déduit de la connaissance de la sortie et d’un nombre fini de ses dérivées.
La condition de rang forte permet d’assurer la régularité1 dans la synthèse de l’observa-teur.
Il n’est toujours pas aisé dans le cas non linéaire de caractériser l’observabilité du système, car contrairement à ce qui se passe dans le cas linéaire, l’étude des (n-1) premières dérivées des sorties ne suffit pas à priori, ce qui ne garantit pas la régularité dans la synthèse des observateurs.
Condition de rang faible
On définit alors un ensemble des sorties mesurées de l’algèbre commutative (Barbot2009) et de leur dérivées de Lie successives jusqu’à l’ordre i pour i > (n− 1)
£(x) = h(x) Lfh(x) .. . L(n−1)f h(x) .. . L(i)f h(x) (3.10)
ou bien avec une définition algébrique équivalente :
£(x) = y ˙y .. . y(n−1) .. . y(i) (3.11)
où y(i) représente la dérivée à l’ordrei de y.
Soit le jacobien de la fonction £(x)
J£= ∂(£(x))
∂(x) (3.12)
Un critère seulement suffisant est que le jacobien (3.12) de la fonction £(x) soit de rang plein, i.e., le nombre de colonnes et/ou de lignes linéairement indépendantes de (3.12) soit égal à l’ordre du système.
44 Synthèse d’observateurs pour les systèmes interconnectés et en cascade
Remarque 2 Si la condition de rang faible du jacobien de (3.12) est vérifiée mais pas la condition de rang forte (3.9), cela signifie que les états du système à observer sont situés dans les termes dérivatifs d’ordre supérieur à la dimension du système ce qui pose des problèmes d’observation par des observateurs classiques (copie du système + terme de correction en fonction de l’erreur de sortie).
Exemple 1 Soit le système suivant : ˙x1 = x2− x21 2 ˙x2 = x2 1 y = x1 (3.13)
Dans ce système y = x1 et ˙y = x2 − x2
1. La fonction £(x) est générée comme suit : £(x) =y
˙y
.
Le jacobien de £(x) par rapport à l’état x est donné par : J£ = 1 0 x1 1
. Le rang du Jacobien est égal à l’ordre du système (3.13), qui est une condition suffisante d’observabilité. Ce qui ne nécessite pas l’utilisation des dérivées d’ordre supérieur à 1 dey.
On prend maintenant l’exemple suivant : Exemple 2 ˙x1 =−x1+ x22 2 ˙x2 =−x2 1− 1 y = x1 (3.14)
On applique le critère du rang (3.12) au système (3.14) :
∂(y, ˙y) ∂(x1, x2) =
1 0 −1 x2
Le rang de ce jacobien chute de 1 enx2 = 0. Il existe donc une singularité d’observation du système (3.14) en x2 = 0 et la condition (3.9) n’est pas vérifiée. On ne peut pas retrouver x2 à partir dey et de sa dérivée à l’ordre 1 sur la droite d’inobservabilité D ={x/x2 = 0}. Ceci peut être montré en dérivant une fois y :
˙y = ˙x1 =−x1+ x 2 2 2 =−y + x 2 2 2 =⇒ x2 =±p2( ˙y + y)
Le système (3.14) n’est pas observable car on ne peut pas déterminer le signe de x2.
Mais ce constat ne permet pas d’affirmer que le système (3.14) est inobservable enx2 = 0. Pour savoir si le système (3.14) est observable ou pas en x2 = 0, on fait appel aux dérivées d’ordre supérieur de la sortie y. Soit alors ¨y = − ˙x1 + 2x2˙x2 = x1 − x22
2 − 2x2(x2
1+ 1). Le jacobien (3.12) s’écrit alors
∂(y, ˙y, ¨y) ∂(x1, x2) = 1 0 −1 x2 1− 2x1x2 −x2− 2(x2 1+ 1) (3.15)
3.3 Le cas non linéaire 45
On peut remarquer qu’en x2 = 0 le rang de (3.15) est égal à l’ordre du système. Cette fois-ci, l’étatx2 peut être déduit par la sortie mesuréey et de ses dérivées aux ordres 1 et 2 comme suit :
¨
y =− ˙y − 2x2(y2+ 1) =⇒ x2 =− y + ˙y¨ 2(y2+ 1)
Le système (3.13) est donc localement observable. Cet exemple montre bien que le critère du rang (3.9) lié à l’étude des (n− 1) premières dérivées de y ne suffit pas pour observer les états du système (3.14) (n = 2).