com n = 24 e ∆t = 5 minutos, que é exatamente igual a 140 km.
No limite dum número infinito de subintervalos, o gráfico da velocidade média aproxima-se do gráfico da velocidade instantânea e o somatório é o integral da velocidade instantânea. Conclui-se então que o integral da velocidade instantânea, entre tie tf (deslocamento ao longo da trajetória)
é igual à área sob o gráfico de v(t), entre ti e tf.
Como o deslocamento sf− sié igual à velocidade média vezes o intervalo
de tempo, tf− ti, e também é igual ao integral da velocidade instantânea
nesse intervalo (equação1.11), a velocidade média pode ser calculada a partir da expressão v(t) da velocidade, da forma seguinte (teorema do valor médio): ¯ v = 1 tf− ti tf w ti v(t)d t (1.17)
1.4. Aceleração
Seguindo o mesmo raciocínio usado no caso da posição s(t), o aumento da velocidade num intervalo de tempo entre t e t + ∆t é igual a:
∆v = v(t + ∆t) − v(t) (1.18) Define-se a aceleração tangencial média, nesse intervalo, igual ao au- mento da velocidade por unidade de tempo:
¯ at=∆v
∆t (1.19)
A aceleração tangencial instantânea, no instante t, obtém-se no limite ∆t → 0 at(t) = lim ∆t→0 ∆v ∆t = lim∆t→0 v(t + ∆t) − v(t) ∆t (1.20)
Como tal, a aceleração tangencial até uma função do tempo, igual à de- rivada da velocidade em ordem ao tempo, e, consequentemente, igual à segunda derivada da posição em ordem ao tempo.
at= ˙v = ¨s (1.21)
Essas derivadas deverão existir, para qualquer valor de t, já que s(t) e v(t) são ambas contínuas. A aceleração tem unidades de distância sobre tempo
ao quadrado. Por exemplo, metros por segundo ao quadrado, m/s2ou m·s−2.
Se a aceleração tangencial de um objeto é negativa, a sua velocidade está a diminuir: pode estar a abrandar se a velocidade é no sentido positivo ou pode estar a andar cada vez mais rápido, se a velocidade é no sentido nega- tivo. Aceleração tangencial positiva indica que o objeto está a andar cada vez mais rápido, se a velocidade é positiva, ou mais devagar se a velocidade é negativa. Aceleração tangencial nula implica velocidade constante. O uso do termo “aceleração tangencial”, e não apenas aceleração, é porque como será explicado no capítulo3, a aceleração tem outra componente, perpendicular à trajetória, que não está relacionada com a variação da velocidade mas sim com a curvatura da trajetória. A velocidade não tem componente perpendicular à trajetória e, por isso, não é necessário o índice t, porque v é sempre tangencial.
Tal como a posição e a velocidade, a aceleração tangencial também é uma função do tempo. No entanto, não tem de ser uma função contínua. A po- sição e a velocidade são propriedades que definem o estado de um objeto e esse estado não pode mudar bruscamente, enquanto que a aceleração está associada a fatores externos que podem aparecer ou desaparecer em qual- quer instante. Como tal, não costuma definir-se nenhuma outra grandeza física associada à derivada da aceleração.
Se a expressão da aceleração tangencial em função do tempo, at(t), for conhecida, é possível determinar a expressão da velocidade em função do tempo; o procedimento é o mesmo que foi usado para obter a equação1.8, e neste caso o resultado é:
v(t) = vi+ t w ti
at(t0)d t0 (1.22)
A figura1.9mostra a relação entre os gráficos da posição, a velocidade e a aceleração tangencial no mesmo intervalo de tempo, que inclui dois instantes t1e t2. No gráfico da posição, s(t), o declive da reta tangente em t1é igual à velocidade v1, que é negativa, e o declive da reta tangente em t2 é igual à velocidade v2, que é positiva.
No gráfico da velocidade, v(t), o declive da reta tangente em t1é igual à aceleração tangencial at1, que é negativa, e o declive da reta tangente em t2 é igual à aceleração tangencial em t2, que é positiva. A área entre a curva e o eixo das abcissas, desde t1até t2, é formada por duas partes, Ane Ap; An
1.4 Aceleração 19 t1 t2 t1 t2 t1 t2 declive = v1 declive = at1 s(t) v(t) at(t) An Ap An Ap
Figura 1.9.: Relação entre a posição, a velocidade e a aceleração tangencial.
corresponde a um deslocamento ∆ sn= −Annegativo, porque a velocidade
é negativa nesse intervalo, e Ap= ∆ spé um deslocamento positivo, porque
a velocidade é positiva nesse intervalo. O deslocamento total desde s1até s2é a soma desses dois deslocamentos. Como tal, a partir do gráfico de v(t) conclui-se que s2= s1− An+ Ap.
No gráfico da aceleração tangencial, at(t), a área entre a curva e o eixo das abcissas, desde t1até t2, é formada por duas partes, Ane Ap; Ancorres-
ponde a uma diminuição da velocidade ∆ vn= −An, porque a aceleração
tangencial é negativa nesse intervalo, e Ap= ∆ vpé um aumento da veloci-
dade, porque a aceleração tangencial é positiva nesse intervalo. O aumento total da velocidade, desde v1até v2é a soma desses dois aumentos. Como tal, a partir do gráfico de at(t) conclui-se que v2= v1− An+ Ap.
Exemplo 1.2
Liga-se o motor de um barco no instante t = 0, em que o barco está parado. Após 5 minutos desliga-se o motor, deixando que o barco abrande, pela resistência da água, até parar novamente. Em unidades SI, a expressão da velocidade em função do tempo t é:
v =(12 ³ 1 − e−3 t50 ´ , 0 ≤ t ≤ 300 12 ¡e18− 1¢ e−3 t50, t ≥ 300
Encontre as expressões da aceleração tangencial e da posição na tra- jetória, em função do tempo. Represente os gráficos da velocidade, aceleração e posição em função do tempo. Calcule as distâncias per- corridas enquanto o motor esteve ligado e enquanto esteve desligado até o barco parar.
Resolução. A função dada para a velocidade é contínua, a pesar de ser
definida por duas expressões diferentes. A aceleração tangencial calcula-se derivando a expressão da velocidade. No Maxima, podemos associar as duas expressões da velocidade a duas variáveis diferentes
(%i5) v1: 12*(1-exp(-3*t/50))$
(%i6) v2: 12*(exp(18)-1)*exp(-3*t/50)$
A derivação é feita usando a funçãodiff (%i7) a1: diff (v1, t); (%o7) 18e −3 t 50 25 (%i8) a2: diff (v2, t); (%o8) −18 ¡e 18− 1¢ e−3 t50 25
Observe-se que a aceleração tangencial neste caso é descontínua. Em t = 300, a expressãoa1aproxima-se de 18e−18/25, que é um valor positivo, enquantoa2aproxima-se de −18(1 − e−18)/25, que é negativo. A desconti- nuidade da aceleração em t = 300 s é devida a que o motor foi desligado subitamente nesse instante.
Para obter a expressão da posição em qualquer instante t, usa-se a equa- ção1.8, com ti= 0 e arbitrando si= 0. Se t for menor ou igual a 300, a
expressão para a velocidade é a primeira expressão dada: s1(t) =
t w 0
12³1 − e−3 t0/50´dt0
Se t for maior que 300, pode substituir-se ti = 300 e si = s1(300) (já cal- culado) na equação1.8(a posição inicial si(ti) já não pode ser arbitrada
porque deve ser consistente com a expressão s1(t)). Como tal, os limites do integral serão entre 300 e t, ambos maiores ou iguais a 300 e, assim sendo, usa-se a segunda expressão da velocidade no integrando:
s2(t) = s1(300) + t w 300 12 ¡e18− 1¢ e−3 t050 dt0
1.4 Aceleração 21
(%i9) s1: expand(integrate(v1, t, 0, t)); (%o9) 200e−3 t50 + 12 t − 200
(%i10) s2: subst(t=300, s1) + expand(integrate(v2, t, 300, t)); (%o10) 200e−3 t50 − 200e18−3 t50 + 3600
Ou seja, a expressão para a posição (arbitrando a origem no ponto inicial) é: s =(200e− 3 t 50+ 12 t − 200, 0 ≤ t ≤ 300 200¡1 − e18¢ e−3 t50+ 3600, t ≥ 300 O gráfico da velocidade obtém-se com o seguinte comando:
(%i11) plot2d (if t<300 then v1 else v2,[t,0,400], [ylabel,"v"], [y,0,14])$ v t 0 2 4 6 8 10 12 14 0 50 100 150 200 250 300 350 400
Figura 1.10.: Gráfico da velocidade.
E o resultado mostra-se na figura1.10. O gráfico da aceleração é obtido com:
(%i12) plot2d (if t<300 then a1 else a2, [t,0,400], [ylabel,"a"])$
a t -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 50 100 150 200 250 300 350 400
Figura 1.11.: Gráfico da aceleração.
Finalmente, para criar o gráfico da posição usa-se o seguinte comando:
(%i13) plot2d (if t<300 then s1 else s2, [t,0,400], [ylabel,"s"])$
E o resultado pode ver-se na figura1.12.
s t 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 50 100 150 200 250 300 350 400
1.4 Aceleração 23
Os gráficos fornecem muita informação útil, menos evidente nas expres- sões algébricas. O gráfico da velocidade mostra que o barco atinge rapida- mente, no primeiro minuto, uma velocidade máxima de 12 m/s e perma- nece com velocidade quase constante até o instante em que é desligado o motor; a partir desse instante, a velocidade diminui rapidamente e em t = 360 s (6 minutos) já é praticamente nula. A expressão exponencial da velocidade implica que, em teoria, nunca chega a ser completamente nula. Na prática, a expressão dada no enunciado para a velocidade não pode ser válida quando o valor obtido for muito pequeno; por exemplo, em t = 400 s a velocidade obtida com essa expressão é
(%i14) float (subst (t=400, v2)); (%o14) 0.02975
quase 3 centímetros por segundo. Existem outros fenómenos como corren- tes na água ventos e ondas na superfície da água, que produzem variações da velocidade maiores do que esse valor. A expressão dada para a velo- cidade é o resultado de um modelo matemático, que só pode ser válido quando os valores obtidos ultrapassem os efeitos de outras flutuações que não são tidas em conta no modelo.
No gráfico da aceleração, a descontinuidade em t = 300 s aparece como uma risca contínua, devido a que o comandoplot2ddo Maxima não deteta a descontinuidade nesse ponto, mas considera as duas partes do gráfico como uma única função contínua. O gráfico da posição mostra um au- mento linear em quase todo o intervalo dos primeiros 5 minutos e a para- gem rápida após esses primeiros minutos. A distância percorrida enquanto o motor esteve ligado é o deslocamento desde t = 0 até t = 300; como arbitrou-se s(0) = 0, essa distância é,
s(300) = 4 ¡850 + 50e−18¢ ≈ 3400m
Em teoria, o barco demora um tempo infinito até parar; na prática, demora apenas um pouco mais de 6 minutos, como vimos. Como tal, a distância percorrida enquanto o motor esteve desligado é s(∞)−s(300). O valor s(∞) é o limite de s(t) quando t é infinito. No Maxima, o limite calcula-se assim:
(%i15) limit (s2, t, inf); (%o15) 3600