Une nouvelle formulation hybride

Durant cette thèse, nous avons développé de nouveaux modèles, permettant de réduire da- vantage le coût de l'alimentation. Nous les présentons dans cette section.

Une façon de réduire davantage le coût de l'alimentation est de combiner l'alimentation par phase (pPF) et l'alimentation par mélanges (1MF). Cette alimentation consiste à diviser la période de croissance des animaux en p phases et pour chacune d'elle, les animaux sont nourris suivant une alimentation par mélanges.

Le modèle représentant cette alimentation est

{ _min X,Q ∑ k∈{1,...,p} ∑ j∈Jk ct_(q kj1xk·1+ qkj2xk·2) s.à qkj1xk·1+ qkj2xk·2 ∈ Sj, ∀j ∈ Jk,∀k ∈ {1, ..., p}. (1.17)

Cette alimentation, notée pMF, présente toutefois un défaut qui nous empêche de l'utiliser en industrie. En eet, on peut constater sur les résultats numériques de l'alimentation 1MF, que la répartition d'utilisation des mélanges est d'environ 70% pour un et 30% pour l'autre. Pour des raisons pratiques et économiques, il est préférable que les silos soient remplis avec des quantités similaires.

Une manière d'y parvenir est que deux phases consécutives aient un mélange en commun. Nous proposons donc une nouvelle formulation de l'alimentation : la méthode hybride. Nous notons cette alimentation XX-pHF-EL, où XX est MC ou T C en fonction du nombre de critères considérés. Le fonctionnement de cette alimentation est le suivant :

• la période de croissance est divisée en p phases, • pour chaque phase, deux prémélanges sont utilisés,

• les deux prémélanges sont combinés diéremment quotidiennement, • deux phases consécutives ont un mélange en commun,

• un total de p + 1 prémélanges est utilisé.

Le cas p = 3, sera régulièrement considéré comme exemple tout au long de cette section, c'est pourquoi nous le détaillons davantage. Ainsi, lorsque nous considérons la méthode hybride à trois phases, le fonctionnement est le suivant :

• les mélanges 1 et 2 sont combinés dans la phase 1, • les mélanges 2 et 3 sont combinés dans la phase 2, • les mélanges 3 et 4 sont combinés dans la phase 3.

Figure 1.9  Illustration de l'alimentation hybride.

La gure 1.9 illustre schématiquement cette alimentation.

1.4.1 Modélisation mathématique

De manière générale, l'alimentation hybride à p phases considère p+1 mélanges. En utilisant les notations dénies précédemment, on considère A = {1, 2, ..., p, p + 1}. Les variables du modèle sont donc x·1, x·2, ...x·p, x·p+1 pour les p+1 mélanges utilisés et q·1, q·2, ...q·p, q·p+1pour les quantités données de chaque mélange. Ainsi, l'aliment donné à un animal le jour j est donné par la formule

∑ a∈A

qjax·a. (1.18)

Le coût de l'alimentation est alors modélisé par la fonction ∑

j∈J ∑ a∈A

qjactx·a. (1.19)

Notons J1, J2, ..., Jp, les ensembles de jours des phases 1, 2, ..., p, respectivement.

An que les mélanges soient utilisés de la manière dont on le souhaite, nous devons forcer les quantités utilisées à être nulles lorsque le mélange n'est pas utilisé. Un mélange k est utilisé

uniquement pendant les phases k − 1 et k. Les contraintes que nous devons considérer sont donc dénies par

qj1 = 0, ∀j ̸∈ J1, (1.20)

qjk = 0, ∀j ̸∈ Jk−1∪ Jk,∀k ∈ {2, ..., p}, (1.21)

qj,p+1 = 0, ∀j ̸∈ Jp. (1.22)

La réalisabilité des contraintes nutritionnelles est quant à elle, donnée par la formule ∑

a∈A

qjax·a ∈ Sj. (1.23)

Finalement, le modèle général de l'alimentation hybride monocritère (MC-pHF-EL) est donné par ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ min X,Q ∑ j∈J ∑ a∈A qjactx·a s.à ∑ a∈A qjax·a ∈ Sj, ∀j ∈ J, qj1 = 0, ∀j ̸∈ J1, qjk = 0, ∀j ̸∈ Jk−1∪ Jk,∀k ∈ {2, ..., p}, qj,p+1 = 0, ∀j ̸∈ Jp. (PHybride)

Le problème (PHybride) reste un problème d'optimisation très dicile : la fonction objectif et les contraintes sont bilinéaires. Dans l'étude mathématique présentée plus loin dans le chapitre 2, nous décrivons les diérentes propriétés, les avantages et inconvénients associées à ce type de problème.

Nous avons présenté cette nouvelle formulation hybride, le modèle et les résultats numérique associés lors des 49e Journées de la Recherche Porcine et ont fait l'objet d'un article de conférence (annexe B)

1.4.2 Résultats numériques

Nous avons appliqué le modèle MC-pHF-EL (PHybride) pour les données de 2011 et 2016. An d'évaluer l'impact de cette méthode d'alimentation, nous faisons varier p pour des valeurs

Données Méthode Coût ($/porc) P excrété (kg) N excrété (kg) 2011 MC-1MF-EL 100.33 1.203 4.062 MC-1HF-EL 96.23 1.163 3.463 MC-2HF-EL 95.29 1.191 3.347 MC-3HF-EL 95.12 1.177 3.339 MC-4HF-EL 95.10 1.170 3.324 MC-IF-EL 94.84 1.172 3.293 2016 MC-1MF-EL 73.94 1.298 4.112 MC-1HF-EL 68.99 1.302 3.855 MC-2HF-EL 68.37 1.298 3.879 MC-3HF-EL 67.66 1.279 3.843 MC-4HF-EL 67.50 1.277 3.896 MC-IF-EL 67.23 1.274 3.862

Tableau 1.2  Comparaison des méthodes d'alimentation MC-pHF-EL, pour p=1 à p=4, avec l'alimentation traditionnelle et l'alimentation idéale, appliquée aux données de 2011 et 2016.

de 1 à 4 et nous comparons les résultats à l'alimentation traditionnelle MC-3PF-EF et à l'alimentation idéale MC-IF-EL.

Notons que l'alimentation par mélanges MC-1MF-EL peut aussi être notée MC-1HF-EL. En eet, la période de croissance est considérée comme une seule phase et deux aliments sont combinés chaque jour de façon diérente.

Le tableau 1.2 regroupe le coût de l'alimentation, et les rejets de phosphore et d'azote pour les diérentes méthodes d'alimentation monocritère. On note qu'augmenter le nombre de phases permet de réduire le coût de l'alimentation de 5.0%, 5.19% et 5.21% respectivement pour p = 2, 3 et 4, en utilisant les données de 2011. Parallèlement, les rejets de phosphore sont réduits entre 1.0% et 3.3% et les rejets d'azote entre 14.8% et 18.2%.

Lorsque ce modèle est appliqué aux données de 2016, les résultats numériques sont sem- blables. Pour p = 2, 3 et 4, on observe une réduction du coût de l'alimentation de 7.53%, 8.49% et 8.70% respectivement. Les rejets de phosphore sont, quant à eux, réduits jusqu'à 1.7% et ceux d'azote entre 5.25% et 6.5%.

remarquer, dans le tableau 1.2, que le coût d'une alimentation hybride à 4 phases est situé à seulement 0.29% de l'alimentation idéale lorsque nous utilisons les données de 2011, et à 0.37% lorsque nous utilisons les données de 2016. L'amélioration que nous réalisons en augmentant p est très faible pour des valeurs de p ≥ 5. Toutefois, augmenter le nombre de phases considérées diminuera le coût de l'alimentation.