Une nouvelle approche du p-MP par le traitement du signal : premier aperçu d'un nouvel algorithme rapide de multilocalisation d'activités

Nous avons abordé le problème de recherche de localisations optimales par une approche modélisatrice. L’approche modélisatrice passe par une attention portée à ce qui est représenté, mais aussi à la symbolisation de ce qui est représenté, donc aux fondements et aux propriétés même de la projection556. "Le système de modélisation est récursif, s’établissant dans

l’interaction entre le système modélisé (le phénomène perçu comme complexe) et le système modélisant. […] Le système de modélisation (le modélisateur concevant et interprétant le modèle d’un système complexe) se comprend comme s’auto-finalisant : il élabore ses projets, il est projectif "⁵⁵⁷. Ainsi, le premier niveau de notre réflexion est global et peut nous conduire à retenir une méthodologie. Ensuite, les idées vont se transformer en variables au niveau du système, "cet ensemble d'unités en interrelations mutuelles⁵⁵⁸" qui seront alors analysées et organisées pour parvenir à des conclusions en effectuant un retour vers le niveau initial (processus récursif).

Ceci nous a conduit à élaborer un algorithme du type poupées russes. Son organigramme sera d'ores et déjà présenté étant donné que certaines de ses fonctionnalités, comme la délimitation de zones de chalandise, mériterons d'être améliorées vis-à-vis de l'état de l'art existant (cf. chapitre II). La modélisation des données a été faite par une analyse systémique de la zone de chalandise composée de la demande 'les clients). Il s'agit de définir un modèle de données de la zone de chalandise composée d'objets c'est-à-dire les aires de la zone de chalandise denses en clientèle (voir pages suivantes). Cette approche correspond à l'idée de modélisation

556 MABILLOT V. (2000) Mises en Scène de l’Interactivité : Représentations des Utilisateurs dans les Dispositifs de Médiations Interactives, Thèse soutenue le 7 janvier 2000, Université de Lyon II, p.6

557 LE MOIGNE J.L. (1990) La modélisation des Systèmes Complexes, Bordas, Paris, 178p.

projective avancée par Le Moigne où le territoire géographique est analysée à différentes échelles ⁵⁵⁹.

Rappelons et résumons tout d'abord à nouveau la problématique à résoudre.

Problématique:

Trouver les localisations optimales pour un ensemble de p activités destinées chacune à servir un ensemble de clients, de telle manière que la somme totale des distances de l'ensemble des activités à ses clients soit minimale, avec la contrainte que le nombre n de clients est élevé. Les données disponibles sont au minimum la localisation spatiale des clients représentée par exemple par leurs adresses, le nombre p d'activités à localiser et éventuellement le niveau de demande de chaque client quant aux services ou aux produits offerts par lesdites activités.

L'algorithme recherchera une solution globale avant de s'attaquer à la recherche d'une solution locale ce qui permettra de simplifier le problème. Voici l'organigramme de l'algorithme proposé :

559 CRAUSAZ P.A., MUSY A., MATTEI A. (1999) GESREAU : GESREAU: Ein Konzept für ein Integriertes Management der Fliessgewässer, Rapport de l'Hydram, Suisse, p.6

Nous proposons dans ce cadre l'algorithme global suivant qui prendra en compte les données disponibles pour les traiter dans l'optique de résoudre la problématique exposée :

Fig. 3.1 - Organigramme du nouvel algorithme proposé

Explicitons le fonctionnement de cet algorithme avant d'étudier plus précisément ses différentes fonctions: notre procédure de recherche de localisations optimales comprend donc quatre phases suivies d'une boucle de rétroaction. Elle fonctionne en quelque sorte par effet

La résolution est-elle suffisante ?

Fin

Géocodage: Repérer les

clients à l'aide de leurs coordonnées spatiales.

Oui

Non Délimitation: Délimiter des

zones homogènes de localisation de clients à l'aide de filtres et/ou d'un algorithme morphologique.

Identification des centres de gravité: les centres de

gravité constitueront les nœuds d'un réseau.

Résolution du p-MP: les

algorithmes du p-médian sont utilisés pour trouver les p localisations d'activités.

Changement d'échelle:

Echelle plus fin e, locale

Initialisation: Echelle Globale

1

2

3

4

1

loupe en s'attachant dans un premier temps à déterminer les meilleurs emplacements au niveau global, par exemple au niveau national, puis à faire une boucle pour réitérer le même processus mais au niveau local. Les nœuds du modèle p-médian sont constitués dans un premier temps des zones géographiques (zones de chalandise) dans lesquelles la densité de clients est homogène et plus importante qu'ailleurs. Les frontières de ces zones de chalandise seront déterminées, comme nous le verrons plus loin, par les méthodes classiques utilisées en traitement du signal qui rassemble en fait un ensemble d'outils mathématiques destinés à extraire de manière rapide des informations précises d'une source.

Dans un second temps, on se concentrera sur les p nœuds calculés par l'algorithme de résolution et on déterminera au sein de chacun de ces p zones géographiques à nouveau un certain nombre de nœuds constitués de la même manière de zones de clientèle homogènes mais au niveau local cette fois. Le modèle p-médian (ou un autre modèle incorporant des paramètres de coût, de concurrence ou des critères socio-économiques) sera ré-appliqué dans chacune de ces p zones locales de manière à améliorer la précision de localisation des activités.

Les dessins suivants résument le fonctionnement de ce nouvel algorithme fondé sur la délimitation de zones de chalandise.

La phase 1 consiste à codifier les adresses de clients potentiels ou réels

en termes de coordonnées géographiques, adresses tirées d'une base de données. On pourra alors obtenir une représentation cartographique des différentes localisations de la clientèle, chaque client étant représenté par un point.

2

3

4

La phase 2 correspond à la délimitation des "paquets" de clients ou

aires appartenant à la zone de chalandise. Nous utiliserons dans cette optique les techniques de traitement du signal qui font aussi l'originalité de notre démarche.

On calculera dans la phase 3 les coordonnées des centres de gravité

de chaque aire délimitée dans la phase précédente de manière à modéliser un réseau: les nœuds du réseau seront représentés par les centres de gravité et les segments par les distances routières ou par un indicateur d'éloignement (temporel, kilométrique, généralisé...). Des localisations potentielles supplémentaires pourront d'autre part être introduites comme nœud même si elles ne comptent pas de clients. Ce réseau peut être, si nécessaire, pondéré et dans ce cas, à chaque nœud sera affecté un poids représentatif de l'importance de la clientèle ou de son potentiel.

Dans la phase 4, le réseau sera résolu sur la base du modèle p-médian

grâce aux algorithmes classiques de résolution et d'amélioration. On aboutira donc au choix de certains nœuds comme localisations optimales.

Rétroaction et changement d'échelle: après avoir identifié les p

nœuds optimaux par l'algorithme du p-médian, on pourra, si un degré de précision supplémentaire s'avère nécessaire, réitérer le processus en se concentrant cette fois au niveau de chaque nœud. L'examen d'aires de plus en plus petites pour améliorer la finesse du choix de localisation pourra se faire autant de fois que souhaité sous réserve de l'existence d'un nombre suffisant de clients ou d'emplacements potentiels à cette échelle.

Ainsi, la partie centrale et novatrice de cette méthode est constituée par la délimitation des aires de chalandise (zones denses de clientèle appartenant à la zone de chalandise) au niveau

desquelles il sera possible de définir un centre de gravité caractérisant la localisation spatiale de ladite aire. Ces centres de gravité constitueront les nœuds d'un modèle p-médian. Il est donc fondamental de définir avec précision les contours de ces aires de chalandise: une évaluation grossière des frontières induira nécessairement un repérage des centres de gravité entachés d'erreurs ce qui ne manquera pas de se répercuter sur le résultat final de localisation des p centres au niveau global et plus encore au niveau local. La deuxième innovation découle du fait que l'on simplifie le problème en l'appréhendant de manière globale grâce à l'identification de "paquets" de clients, et qu'ensuite seulement, on pousse l'analyse dans le détail en recherchant dans les zones intéressantes des emplacements plus précis toujours en utilisant la délimitation d'aires de chalandise caractérisées par leurs centres de gravité et le modèle p-médian. Cette technique utilise à la fois des principes de la localisation discrète (à travers le modèle p-médian) et celles du modèle planaire (à travers le calcul de centres de gravité).

Le prochain paragraphe donnera tout d'abord l'occasion de récapituler les techniques existantes de traitement du signal, puis de montrer leur capacité à s'intégrer dans une problématique de multilocalisation d'activités du type p-médian.

3.2 Méthodes de délimitation fondées sur le traitement du signal et l'analyse