Les Nouveaux Modèles du Risque de Financement : L’Approche de Portefeuille et les nouvelles pistes de réflexion
Section 1 les nouveaux modèles : les apports de la théorie moderne du portefeuille
Les années 1990 ont connus le développement par les académiciens et par les praticiens de la modélisation du risque de portefeuille de crédit. Cette modélisation repose généralement sur quatre types de modèles : les modèles empiriques, les modèles actuariels, les modèles structurels et les modèles d’intensité.
Les modèles empiriques sont fondés sur des estimations économétriques à partir de données historiques nécessitant la disponibilité d’une base de données sur une période longue. Selon Wilson329 (1997), CreditPortfolio View de McKinsey est le principal modèle qui utilise cette méthodologie.
Les modèles actuariels utilisent les techniques mathématiques spécifiques à la modélisation des pertes dans le domaine de l’assurance. La distribution des pertes repose sur une approche analytique. C’est principalement CreditRisque+ qui utilise cette méthodologie.
Les modèles structurels reposent sur l’idée de Merton (1974) telle qu’elle a été développée au niveau du premier chapitre de ce travail. Le défaut de l’emprunteur est tributaire de la valeur faciale de ses dettes à maturité et la distribution des pertes est obtenue de la relation entre le défaut et la situation financière des emprunteurs en recourant à des simulations de Monte-Carlo. Les principaux modèles reposant sur cette approche sont CreditMetrics de JP Morgan, Portfolio Manager de Moody’s KMV, le modèle de Standard and Poor’s, et le modèle asymptotique à un facteur de risque de Vasicek330 (1989) et celui de Gordy331 (2000)
Enfin, les modèles d’intensité reposent sur les idées selon lesquelles le défaut est un évènement imprévisible, aucune cause économique du défaut n’est supposée et le risque est déterminé par un processus stochastique, là ou un processus à intensité de défaut détermine les probabilités de défaut (PD) instantanées et modélise les corrélations. Ces modèles sont relativement peu répandus dans les banques en raison de la nature des données utilisées qui conduisent à écarter la clientèle de détail.
Parallèlement à ces approches qui reposent dans leurs modélisations sur l’estimation des paramètres de la distribution des pertes, d’autres modèles non paramétriques existent. Il s’agit de modèles utilisant la volatilité des pertes par segment de risque servant à déterminer une distribution complète dont on dérive une mesure des pertes inattendues. Le besoin en capital économique est déterminé dans cette approche à partir de l’historique des pertes sur chaque
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Wilson, T., Credit risk modelling : Anew approch, Working Paper, McKinsey Inc, 1997.
330Vasicek, O., Probability of loss on loan portfolio, KMV Corporation, 1989.
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segment. Cela suppose que ces historiques soient disponibles couvrant une période représentative, ce qui n’est pas toujours le cas. Le problème se pose également dans cette approche pour les nouveaux produits bancaires pour lesquels aucun historique n’existe. Cette méthode qui a été appliquée à des portefeuilles de prêts immobiliers et revolving présente l’avantage selon Dietsch et Petey332 (2008) de ne pas nécessiter d’expliciter les corrélations, celles-ci étant en fait intégrées implicitement dans le calcul des pertes.
Devant la multitude des modèles, nous avons choisi de présenter dans cette première section cinq des principaux modèles de portefeuille proposés par l’industrie financière : CerditMetrics, PortfolioManager, Portfolio Risk Tracker, CreditPortfolio View et Creditrisk+. Arnaud de Servigny et Ivan Zelenko333(2010) affirment que ces modèles sont aujourd’hui les plus présents au sein des institutions financières. Selon une étude menée par Brannan, Mengle, Smithson et Zmiewski334 (2002), 80% des banques utilisent au moins l’un de ces modèles. Si ces modèles sont proches au plan des concepts, ils diffèrent principalement dans le choix des méthodes utilisées pour le calcul des probabilités de défaut(Dietsch et Petey 2008)335 ; ainsi, les quatre premiers modèles reposent sur une approche calculatoire basée sur des simulations de Monte-Carlo et le dernier, repose sur une approche analytique. Il s’agit en fait de modèles de gestion de portefeuilles de crédit commercialisés par ces organismes aux différentes banques dans le cadre d’une vraie industrie financière sous l’ombrelle de la réglementation.
1. Le modèle CerditMetrics de la firme JP Morgan :
Le modèle CerditMetrics développé par JP Morganen 1997 est considéré comme étant le précurseur et aussi la référence en matière de modèle interne d’évaluation de risque de crédit. Il s’inscrit dans l’approche de Merton, et il apprécie le risque de crédit d’un portefeuille à travers deux facteurs : le risque de défaut de la contrepartie et le risque de dégradation de la qualité de la créance. Le premier facteur nécessite le calcul du rating et le deuxième est caractérisé par la mise en œuvre d’une matrice de transition qui donne les probabilités de transitions d’un rating à un autre pour un horizon donné. Ce modèle cherche à calculer une VaR (Value-At-Risk)336 de crédit, c'est-à-dire la perte potentielle maximale sur un portefeuille de créances pour un horizon et un intervalle de confiance donnés. Les deux horizons généralement retenus par le modèle sont soit une année soit un horizon égal à la maturité du portefeuille (date à laquelle le portefeuille de crédit sera totalement échu). C’est en fait l’une
332
Michel Dietch et Jöel Pety, Mesure et Gestion du Risque de Crédit dans les Institutions Financières. Revue Banque Edition, 2008, p 187.
333
Arnaud de Servigny et Ivan Zelenco, Le risque de crédit face à la crise, Ed Dunod, 2010, p 183. 334
Brannan, Mengle, Smithson et Zmiewski (2002) In, Arnaud de Servigny et Ivan Zelenco, Le risque de crédit face à la crise, Ed Dunod, 2010, p 183.
335Michel Dietch et Jöel Pety, Mesure et Gestion du Risque de Crédit dans les Institutions Financières. Revue Banque Edition, 2008, p 187.
336Value at Risk (VaR) est un terme anglais qui signifie « Valeur en risque » qui est la perte maximale sur un crédit à un horizon donné avec un certain degré de confiance. Cette notion repose sur trois paramètres fondamentaux :
- La distribution des résultats des portefeuilles, souvent supposée normale,
- Un niveau de confiance choisi (95 % ou en général 99 %)
- Un horizon temporel donné.
La VaR repose sur le principe selon lequel la relation entre une valeur possible est ses chances de survenir est une distribution de probabilité. Il s’agit donc de déterminer le niveau de pertes potentielles à ne dépasser que dans une fraction faible de cas, appelé seuil de tolérance pour le risque.
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des limites du modèle puisque le portefeuille peut être constitué de créances à maturités différentes.
Il s’agit d’un modèle basé donc sur les informations contenues dans le rating pour englober toutes les transitions possibles d’un crédit possédant un certain rating, appelés probabilité de transition337. C’est l’un des premiers modèles qui applique la théorie du portefeuille et la méthodologie Var. L’estimation de la distribution temporelle du changement de la valeur du portefeuille nécessite le calcul des corrélations et donc des avantages tirés de la diversification. Cette technique est fondée sur l’analyse des changements de notation d’une entreprise sur une période donnée à travers les matrices de transition. Le calcule d’une VaR à un an pour un portefeuille d’obligations implique le recours à des simulations de Monte-Carlo des transitions des notations pour ces obligations sur une période d’un an.
En partant du rating initial (interne ou externe) qui conditionne le rendement ultérieur de chaque actif, la distribution des rendements à un an (supposée normale standard) est découpée de sorte que chaque tranche reflète le passage de ce rating initial à une nouvelle catégorie de rating. Les valeurs de l’actif correspondant aux changements de rating sont considérées comme étant des valeurs seuils. Ces seuils sont supposés dans ce modèle connues à partir de l’observation des fréquences empiriques de migration (vers d’autres tranches de rating) calculées sur des bases historiques. Le modèle n’a besoins dans ce cas de ne modéliser que le changement de la valeur des actifs d’une entreprise pour décrire l’évolution de son rating.
Appelé aussi approche par migration de crédit, CreditMetrics suppose dans son modèle une distribution normale de la valeur de l’actif, de rendement R, de moyenne et de variance . Pour simplifier la relation avec les seuils dans cet exemple, la moyenne est supposée égale à Zéro. L’entreprise appartenant à une classe de risque donnée fait défaut lorsque son rendement est inferieur au seuil noté Zdef. Si la distribution des valeurs de R suit une loi normale, la probabilité de défaut est ainsi définie :
PrD = Pr {R< Zdef}=Φ(Zdef / ), oùΦest la fonction de loi normale et la volatilité de l’actif.De même, la probabilité de franchissement d’une notation BB à CCC, est noté Zccc :
Pr(CCC) = Pr { Zdef<R <Zccc} = Φ (Zccc / ) – Φ(Zdef / )
Une fois déterminé pour chaque entreprise, la notation par le rating individuel et le taux de recouvrement qui est aussi fonction du degré de sécurisation du titre, une matrice de transition comprenant les probabilités de migration d’une notation à une autre pour chaque élément du portefeuille est établie. Cette matrice de transition indique les probabilités (en pourcentage) de changement de notation sur une période d’un an.
Ainsi comme le montre la matrice ci-après, une obligation notée initialement A, a 91, 83 % de chances de conserver cette notation à la fin de l’année, elle a 2, 39 % de chance de
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Probabilité de transition : c’est la probabilité pour un crédit (un actif) de passer d’une certaine qualité ou d’une classe de rating vers une autre meilleur ou pire en supposant le défaut et le non défaut.
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s’améliorer à la note A, 0,13 % de chance de baisser à la note B, 0,02 % de chances de faire défaut, et ainsi de suite :
Tableau N° 3.1 : Matrice de transition à un an des notations(les probabilités sont en pourcentages).
Tiré des rapports Moody's (2004)
Source : John Hull, P 261
Le calcul d’une VaR à un an pour un portefeuille, nécessite le recours par CreditMetrics à des simulations de Monte-Carlo des transitions des notations sur une période d’un an. A chaque simulation, la notation finale de crédit de toutes les obligations est calculée et les titres sont réévalués pour déterminer la perte totale de crédit pour l’année. Le pire résultat a 99 % de chances de se réaliser correspondant à la VaR de 99 % à un an pour le portefeuille.
En plus, les changements de notations individuelles servant de base à la détermination des pertes de crédit, ne sont pas supposées indépendantes dans ce modèle. Ainsi, un modèle de copule gaussienne est souvent utilisé pour construire la distribution de probabilité jointe des changements de notation. La corrélation entre les transitions de notation pour deux entreprises est généralement égale à la corrélation entre les rentabilités des actions en utilisant un modèle à facteur.
Pour illustrer cette idée, nous supposons que la corrélation des rentabilités de deux actions (prises sur la matrice ci-dessous) notées initialement A et BBB est de 0,3, et nous considérons la simulation des changements de notation des deux entreprises respectives. A chaque simulation, on tire deux variables, notées XA et XB à partir de distributions normales standard, telles que le coefficient de corrélation soit égal à 0,3. La variable XA détermine la nouvelle notation pourl’entreprise initialement notée A, et la variableXB détermine la nouvelle notation pourl’entreprise initialement notée BBB.
La matrice de CreditMetrics ci-après, montre les probabilités individuelles de migration et les probabilités de migration jointes à horizon d’un an pour les deux crédits notés respectivement A et BBB. La première ligne et la première colonne présentent les probabilités individuelles (ou martingales). En supposant un coefficient de corrélation égale à 0, la probabilité que les
Notation initiale
Notation à la fin de l'année
Aaa Aa A Baa Ba B Caa Défaut
Aaa 92,18 7,06 0,73 0 0,02 0 0 0 Aa 1,17 90,85 7,63 0,26 0,07 0,01 0 0,02 A 0,05 2,39 91,83 5,07 0,5 0,13 0,01 0,02 Baa 0,05 0,24 5,2 88,48 4,88 0,8 0,16 0,18 Ba 0,01 0,05 0,5 5,45 85,13 7,05 0,55 1,27 B 0,01 0,03 0,013 0,43 6,52 83,2 3,04 6,64 Caa 0 0 0 0,58 1,74 4,18 67,99 25,5 Défaut 0 0 0 0 0 0 0 100
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deux crédits ne changent pas de note serait égal à 0,8693 x 0,9105 = 0,7915. Mais en supposant un coefficient de corrélation égale à 0,3 cette probabilité serait égale à 0,7969.
Tableau N°3.2 : Probabilités jointes de migration à 1 an en pourcentage (Corrélation égale à 0.3) Emprunteur noté BBB Emprunteur noté A AAA AA A BBB BB B CCC Défaut 0.09 2.27 91.05 5.52 0.74 0.26 0.01 0.06 AAA 0.02 0.00 0.00 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 AA 0.33 0.00 0.04 0.29 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 A 5.95 0.02 0.39 5.44 0.08 0.01 0.00 0.00 0.00 BBB 86.93 0.07 1.81 79.69 4.55 0.57 0.19 0.01 0.04 BB 5.30 0.00 0.02 4.83 0.64 0.11 0.04 0.00 0.01 B 1.17 0.00 0.00 0.92 0.18 0.04 0.02 0.00 0.00 CCC 0.12 0.00 0.00 0.09 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 Défaut 0.18 0.00 0.00 0.13 0.04 0.01 0.00 0.00 0.00
Source : CreditMetrics. Technical Document, 1997, p.38.
La dernière étape de ce modèle réside dans le calcul de la valeur des profits et pertes du portefeuille. Pour chaque actif, la connaissance de son rating final permet de savoir si cet actif est en défaut ou pas. Dans l’affirmative, une valeur de recouvrement est simulée depuis une loi bêta permettant de déterminer la valeur LGD (Loss Given Default :la perte en cas de défaut) associée à cet actif.
Pour traiter le risque spécifique du portefeuille de marché, la plus part des grandes banques utilisent le modèle CreditMetrics proposé par JP Morgan. Cette approche implique la simulation des changements de notations des entreprises et la corrélation est modélisée via un modèle de copules gaussienne pour les changements de notation. Cette approche a l’avantage de pouvoir s’étendre à un nombre quelconque de titres ou de crédits pour considérer l’ensemble des éléments d’un portefeuille appartenant à une même classe de rating en se contentant de décrire des groupes homogènes en matière de risque. Mais l’inconvénient principal est celui d’ignorer les spécificités sectorielles ou géographiques des emprunteurs. L’autre limite réside dans l’incapacité à détailler le risque dû à la surconcentration sur un secteur déterminé. L’idéal serait de produire la totalité des corrélations entre actifs, actif par actif, mais le peu de sources et surtout l’impossibilité de dresser une matrice de corrélation de cette taille rend cette solution infaisable.
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2. Le Modèle Portfolio Manager de Moody’s KMV338 : MKMV
Il s’agit d’un modèle assez similaire dans sa structure au modèle précédent. C’est un modèle à facteur unique se focalisant plus spécifiquement sur les pertes. Son objet est de mesurer le risque d’un crédit à l’intérieur d’un portefeuille. Contrairement à CreditMetrics qui estime les probabilités de défaut à partir des ratings et des matrices de transitions, MKMV estime les fréquences de défaut (Expected Default Frequency ou EDF) de chaque crédit en particulier à partir du modèle de Merton (1974) selon lequel un défaut apparait lorsque la valeur des actifs d’un emprunteur devient inférieure à celle de ses dettes. Les EDF sont simplement des estimateurs des probabilités de défaut dérivés d’un modèle type de Merton. A partir de ces probabilités, il est possible de calculer les pertes attendues et inattendues des crédits individuels ou d’un portefeuille et leur distribution.
Dans sa modélisation du risque de crédit individuel, MKMV considère que, pour un titre donné, le risque de défaut résulte de trois facteurs combinés :
– la probabilité de défaut,
– l’ampleur de la perte en cas de défaut, fonction inverse du taux de recouvrement,
– le risque de transition (migration), c’est-à-dire le risque d’une variation de la probabilité de défaut d’une classe risquée à une classe plus risquée ou l’inverse.
Mais dans le cadre d’un portefeuille, il devient nécessaire de prendre en compte la corrélation entre les risques de défaut des différents émetteurs, dont les titres composent le portefeuille, et l’exposition du portefeuille (c’est-à-dire la proportion du portefeuille exposée au risque de défaut de chaque émetteur). Dans ce cas, la probabilité de défaut, qui provient dans ce modèle de la volatilité des actifs, est plus délicate à estimer et dépend de trois facteurs essentiels :
– la valeur de marché des actifs de la firme, définie comme la valeur présente des cash flows futurs produits par ces actifs, et déduite du modèle d’options de la valeur boursière de la firme,
– le risque supporté par ces actifs (risque afférent au domaine d’activité de la firme et à son mode d’organisation), mesuré par la volatilité de la valeur des actifs (dérivée de la volatilité du cours de l’action de la firme),
– le levier d’endettement utilisé par la firme (le ratio : endettement net / capitaux propres) Pour déterminer la contribution marginale d’un nouveau prêt au risque de portefeuille, l’approche proposée par MKMV utilise les éléments suivants : le rendement espéré sur les crédits, le risque y afférent (pertes attendus et non attendus) et enfin les corrélations.
En ce qui concerne l’évaluation de la valeur future des crédits, la méthodologie de MKMV utilise un modèle d’évaluation risque neutre, aussi appelé « approche Martingale ». En l’absence de données historiques, les rendements espérés sur les crédits sont déterminés selon la formule suivante : Rit = [Spreadi + Commissionsi] – [ELi] où Rit est le rendement espéré du
338KMV sont les initiales des fondateurs de la société KMV : Stephen Kealhofer, John McQuown et Oldritch Vasicek,fondée en 1989 est acquise en 2002 par Moody’s
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crédit i à la date t et où ELi représente les pertes attendues sur le crédit. Du moment où les pertes attendues Eli = EDFi x LGDi l’équation peut être reformulée ainsi : Rit = [Spreadi + Commissionsi] – [ EDFi x LGDi ] où EDF (Expected Default Frequency) signifie les fréquences de défaut et LGD (Loss Given Default) est la perte en cas de défaut. EDF peut être mesurée comme la probabilité que la valeur des actifs d’une société, approchée par la valeur de ses fonds propres, devienne inférieure à celle de ses dettes et LGDi est estimée à partir des données internes à la banque.
En ce qui concerne la mesure du risque de crédit à partir du taux de pertes non attendues ou non anticipées ULi (unexpected Loss), MKMV suppose que ce risque correspond à la volatilité du taux de perte autour de la valeur moyenne de la perte attendue Eli qui n’est rien queEDFi x LGDi.En supposant que le taux de perte en cas de défaut LGDi est fixé,
= ( )(1 − ) × où ( )(1 − ) traduit la volatilité de la défaillance. Dans une version plus élaborée de ce modèle, LGDi n’est pas fixée mais prise dans l’équation comme étant aussi aléatoire. Ceci conduit à reformuler l’équation de la manière suivante : = ( )(1 − ) + × Où EDFi est l’écart type de la perte en cas de défaut de l’entrepreneur i
.
La corrélation comme troisième élément du modèle est mesurée entre les divers facteurs de risque affectant une société cotée appartenant à un secteur d’activité déterminé. Supposons une société A appartenant à un secteur X et une société B appartenant à un secteur Y dont on connait les rendements boursiers. Ces rendements sont déterminés, d’un côté, par l’évolution de l’indice Rx pour A et Ry pour B et de l’autre côté par un facteur spécifique (diversifiable) à ces sociétés respectivement
e
A ete
B.L’élasticité du rendement RA et RB de ces sociétés par rapport aux indices sectoriels respectifs est donnée par l’estimation sur données chronologiques des équations suivantes : RA= a . Rx +e
Aet RB= b . Ry +e
BLa corrélation entre les rendements de ces deux sociétés dépendra donc de la corrélation entre les rendements des deux indices sectoriels et ce sont les données du marché des actions qui permettent de déterminer cette corrélation : p(A,B) = a . b . p x, yoù p x, y représente le coefficient de corrélation entre les deux indices sectoriels. Dans ce modèle, ce principe peut être étendu et le rendement d’une entreprise multiproduits, dépendra de l’évolution de plusieurs indices sectoriels à la fois.
Enfin, pour déterminer la contribution marginale au risque du portefeuille à partir de ces trois éléments, une contrainte de financent est supposée s’appliquer par le modèle par rapport aux ressources totales de la banque. Elle traduit le fait qu’aucun prêt à un nouvel emprunteur ne peut être accepté sans que la proportion des fonds affectés aux autres emprunteurs ne soit réduite : ∑ = 1. Dans ces conditions, la contribution marginale au risque d’un prêt i (RCi) est mesurée par = Où ULpreprésente les pertes non anticipées, c’est à dire le risque du portefeuille dans son ensemble, et Xi est la proportion investie dans le crédit i. le risque du portefeuille dans son ensemble est défini comme suit :
138 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ + ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⁄
Cette approche permet aussi de déterminer le montant du capital économique alloué pour couvrir le risque de crédit. Le capital économique alloué à un prêt est égal à sa contribution marginale au risque (RCi) multipliée par un facteur multiplicateur qui traduit le rapport du capital au risque total ULp. Le risque du portefeuille ULp est égal à la somme des contributions marginales.