Définition 1 : On appelle équation différentielle du premier ordre une équation de la forme : (E) y’=f(x,y)
où x est une variable réelle, f une application d’un ouvert O de R2 dans R, y une fonction numérique réelle (inconnue) de la variable x et y’ la dérivée de y.
Une solution de l’équation (E) est la donnée d’un intervalle ouvert I⊂R, et d’une application y : I → R telles que ∀x∈I y’(x)=f(x, y(x))
Résoudre l’équation (E) c’est trouver l’ensemble des solutions S(E) de (E). On dit aussi intégrer l’équation (E).
Définition 2 : Une solution (I, y) de (E) est dite maximale si pour tout intervalle J⊃I J≠I, il n’existe pas de fonction y : I → R telle que y’(x)=f(x, y(x)) ∀x∈J.
Remarque 1 : Pour une même équation on peut avoir plusieurs solutions maximales.
Théorème 5 : (existence et unicité)
Soit O un ouvert de R2 et soit : une application continue telle que
IV-2. Equations différentielles linéaires du premier ordre
Définition 3 : Ce sont les équations de la forme : (E) y’=f(x,y)=a(x)y+b(x) où a et b sont des applications définies et continues sur un intervalle I⊂R. a(x) et b(x) s’appellent les
coefficients de l’équation (E).
Définition 4 : Une équation linéaire (E) y’=a(x)y+b(x) est dite homogène si b=0 pour tout x de I.
L’équation homogène associée à une équation linéaire (E) y’=a(x)y+b(x) est (EH) y’=a(x)y.
Lemme 1 : Si y1 et y2 sont deux solutions de (E) alors y1-y2 est une solution de (EH).
Corollaire 1 : La solution générale de l’équation (E) s’obtient en ajoutant à la solution générale de (EH) une solution (particulière) de l’équation (E).
Proposition 1 : Les solutions maximales de (EH) y’=a(x)y sur I sont les fonctions y(x)=keA(x) où k est une constante quelconque et A est une primitive de a sur I.
Théorème 6 :
La solution générale de l’équation (E) y’=a(x)y+b(x) sur I est de la forme y(x)=keA(x)+l(x)eA(x) où k est une constante quelconque et l est une primitive fixée de b(x)e-A(x).
Cas de seconds membres particuliers :
Si b(x)=esx
On cherche une solution particulière sous la forme : i. y=λesx si s ≠ a
ii. y=λxesx si s = a
Si b(x) est un polynôme de degré n, b(x)=P(x)
On cherche une solution particulière sous la forme y=Q(x), où Q(x) est un polynôme de degré :
i. n si a≠0 ii. n+1 si a=0
Si b(x)=esxP(x) où P(x) est un polynôme de degré n On cherche une solution particulière sous la forme :
i. y=esxQ(x), où Q(x) est un polynôme de degré n si s ≠ a ii. y=esxQ(x), où Q(x) est un polynôme de degré n+1 si s = a
Si b(x)= b1(x) + b2(x)
Soit y1 une solution particulière de (E1) : y’=a(x)y+b1(x) et y2 une solution particulière de (E2) : y’=a(x)y+b2(x) alors y1 + y2 est une solution particulière de (E) : y’=a(x)y+b(x) V-3. Equations différentielles linéaires du second ordre
Définition 5 : Ce sont les équations de la forme : (E) y’’+a(x)y’+b(x)y=c(x) où a , b et c sont des fonctions données définies et continues sur un intervalle I⊂R et y est une fonction (inconnue) de la variable x, définie sur I.
Proposition 2 : Pour tout x de I, il existe une et une seule solution maximale y telle que y(x0)=y0 et y’(x0)=y’0 où y0 et y’0 sont deux réels fixés (conditions initiales)
Corollaire 2 : Si c(x)=0 pour tout x de I, l’ensemble des solutions de l’équation (E) est un espace vectoriel de dimension 2.
Définition 6 : Une équation linéaire du second ordre (E) : y’’+a(x)y’+b(x)y=c(x) est dite homogène si c=0 pour tout x de I. L’équation homogène associée à une équation linéaire (E) est (EH) : y’’+a(x)y’+b(x)y=0.
Lemme 2 : Si y1 et y2 sont deux solutions de (E) alors y1-y2 est une solution de (EH).
Conséquence : Pour avoir toutes les solutions de (E) il suffit de connaître toutes les solutions de (EH) et une solution (particulière) de (E).
Définition 7 : Une équation différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants est une équation de la forme : (E) y’’+ay’+by=c(x) où a, b sont des constantes et c est une fonction donnée définie et continue sur un intervalle I⊂R et y est une fonction (inconnue) de la variable x, définie sur I. On appelle équation caractéristique de (E) l’équation r2+ar+b=0 Théorème 7 : Soit ∆ le discriminant de l’équation caractéristique de (E).
Si ∆>0 (2 racines réelles distinctes r1 et r2) alors la solution générale de l’équation homogène (EH) est donnée par : y=α1er x1 +α2er x2 α1 et α2 sont deux réels quelconques.
Si ∆=0 (1 racines réelles double r1) alors la solution générale de l’équation homogène (EH) est donnée par : y=α1er x1 +α2xer x1 α1 et α2 sont deux réels quelconques.
Si ∆<0 (2 racines complexes conjuguées r1=u+iv et r2=u-iv) alors si v≠0 la solution générale de l’équation homogène (EH) est donnée par : y=eux(α1cosvx+α2sinvx)α1 et α2 sont deux réels quelconques.
Cas de seconds membres particuliers :
Si c(x)=esx
On cherche une solution particulière sous la forme : y=λe
iv. y=λxesx si s est racine simple de l’équation caractéristique v. y=λx²esx si s est racine double de l’équation caractéristique
Si c(x) est un polynôme de degré n, c(x)=P(x)
On cherche une solution particulière sous la forme y=Q(x), où Q(x) est un polynôme de degré :
iii. n si b≠0
iv. n+1 si b=0 et a≠0 v. n+2 si b=0 et a=0
Si c(x)=esxP(x) où P(x) est un polynôme de degré n On cherche une solution particulière sous la forme :
iii. y=esxQ(x), où Q(x) est un polynôme de degré n si s n’est pas une racine de l’équation caractéristique
iv. y=esxQ(x), où Q(x) est un polynôme de degré n+1 si s est racine simple de l’équation caractéristique
v. y=esxQ(x), où Q(x) est un polynôme de degré n+2 si s est racine double de l’équation caractéristique
Si c(x)=c1(x) + c2(x)
Soit y1 une solution particulière de (E1) : y’’+a(x)y’+b(x)y = c1(x) et y2 une solution particulière de (E2) : y’’+a(x)y’+b(x)y = c2(x) alors y1 + y2 est une solution particulière de (E) : y’’+a(x)y’+b(x)y=c(x)
VI. Formulaire VI-1. Trigonométrie (euclidienne)
Formule fondamentale : Pour tout réel a : cos2a + sin2a =1 Equations fondamentales :
cosx = cosa ⇔∃k∈Z x=a+2kπ ou x=-a+2kπ sinx = sina ⇔∃k∈Z x=a+2kπ ou x=π-a+2kπ Formules d’addition : Pour tout couple (a,b) de réels
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
Formules de linéarisation : Pour tout couple (a,b) de réels
[ ] [ ]
Formules de factorisation : Pour tout couple (p,q) de réels
2 2 Formules de duplication : Pour tout réel a
2 2 2 2
Fonctions circulaires réciproques :
[ ] [ ] ] [
] [
Arc sin sin Arccos cos
1 1 1 1 0
Dérivées :
Arc sin' Arccos ' Arctan '
1 1 1 Formules d’addition : Pour tout couple (a,b) de réels
ch( ) ch ch h h ch( ) ch ch h h
Formules de linéarisation : Pour tout couple (a,b) de réels
[ ] [ ]
Formules de factorisation : Pour tout couple (p,q) de réels
ch ch 2 ch ch ch ch 2 sh sh
Formules de duplication : Pour tout réel a
2 2 2 2 Fonctions hyperboliques réciproques :
Argch ch Argth
Arc sin' Argchs ' Argth'
1 1 1
TABLE des MATIERES
I. Primitives et intégrales ...1
I-1. Primitives d’une fonction continue...1
I-2. Intégrale sur un segment ...1
II. Calcul des Primitives ...3
II-1. Primitives des fonctions usuelles...3
II-2 Changement de variable ...4
II-3 Intégration par parties...4
III. Intégration des fonctions rationnelles ...5
III-1. Généralités sur les fonctions rationnelles...5
III-2. Méthode d’intégration des fonctions rationnelles ...5
IV. Intégrales se ramenant à des intégrations de fonctions rationnelles ...6
IV-1. Fonctions rationnelles en sinx et cosx...6
IV-2. Fonctions rationnelles en shx et chx...6
IV-3. Fonctions rationnelles en x et ax2+bx+c (Intégrales abéliennes) ...6
IV-4. Fonctions rationnelles en x et n ax b cx d + + avec ad-bc≠0 et n≥2...7
V. Notions sur les équations différentielles...8
V-1. Equations différentielles du premier ordre...8
IV-2. Equations différentielles linéaires du premier ordre ...8
V-3. Equations différentielles linéaires du second ordre...9
VI. Formulaire ...11
VI-1. Trigonométrie (euclidienne) ...11
VI-2. Trigonométrie (hyperbolique)...12