s1 t r s t2 r2 s′ 2 s2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Pour conclure, on pose D = ∀x : E.D′ et on a bien Γ ⊢ D : s, C D D , s 4∗s1 et s 4∗s2. ,
1.2.6 Autres notions de stabilité
Nous présentons ici les autres notions de stabilité. Elles sont moins intéressantes que la stabilité vers le bas (à cause des règles de cumulativité qui orientent le système), mais elles pourront se révéler utiles.
1.2.33 Définition (Faible stabilité vers le haut et vers le bas, stabilité vers le haut) 1. On dira qu’un WCTS est faiblement stable vers le bas s’il vérifie
(s, r) ∈ A s′ 4∗ s
)
⇒ ∃r′, (s′, r′) ∈ A Et on notera cette propriété WEAK-DOWNSTABLE.
2. On dira qu’un WCTS est stable vers le haut pour les axiomes s’il vérifie (s, r) ∈ A
s 4∗ s′
)
⇒ ∃r′<∗ r, (s′, r′) ∈ A Et on notera cette propriété UPSTABLE-AXIOMS.
3. On dira qu’un WCTS est stable vers le haut pour les règles s’il vérifie (s1, s2, s3) ∈ R s1 4∗ s′1 s2 4∗ s′2 ⇒ ∃s′3 <∗ s3, (s′1, s′2, s′3) ∈ R
Et on notera cette propriété UPSTABLE-RULES.
4. On dira qu’un WCTS est stable vers le haut s’il vérifieUPSTABLE-AXIOMSetUPSTABLE-RULES. On noteraUPSTABLE la conjonction de ces deux propriétés.
5. On dira qu’un WCTS est faiblement stable vers le haut pour les axiomes s’il vérifie (s, r) ∈ A
s 4∗ s′
)
⇒ ∃r′, (s′, r′) ∈ A Et on notera cette propriété WEAK-UPSTABLE-AXIOMS.
6. On dira qu’un WCTS est faiblement stable vers le haut pour les règles s’il vérifie (s1, s2, s3) ∈ R s1 4∗ s′1 s2 4∗ s′ 2 ⇒ ∃s′3, (s′1, s′2, s′3) ∈ R
Et on notera cette propriété WEAK-UPSTABLE-RULES.
7. On dira qu’un WCTS est faiblement stable vers le haut s’il vérifieWEAK-UPSTABLE-AXIOMS
etWEAK-UPSTABLE-RULES. On notera WEAK-UPSTABLEla conjonction de ces deux
pro-priétés.
On dispose des implications ci-dessous. 1.2.34 Lemme |= DOWNSTABLE ⇒ |= WEAK-DOWNSTABLE (1) |= UPSTABLE ⇒ |= WEAK-UPSTABLE (2) |= DOWNSTABLE∧SRβ ⇒ |= SR< (3) |= UPSTABLE∧SRβ ⇒ |= SR4 (4) |= WEAK-DOWNSTABLE 6⇒ |= WEAK-SR< (5) |= WEAK-UPSTABLE 6⇒ |= WEAK-SR4 (6) Démonstration 1. Immédiat. 2. Immédiat. 3. Lemme1.2.21.
4. Supposons |= UPSTABLE∧SRβ. Il suffit de montrer que si Γ ⊢ A : r et A 4 B alors il existe C et r′ tel que B D C, Γ ⊢ C : r′ et r 4∗ r′.
Le cas A ≡ B étant trivial, on montre par induction sur n que si A ≺nB alors il existe r′ et C tel que B D C, Γ ⊢ C : r′ et r 4∗r′.
– Si A ≺0 B, cela signifie qu’il existe deux sortes sA et sB telles que (sA, sB) ∈ C, A D sA, et B D sB. D’après la préservation du typage |= SRβ, Γ ⊢ sA : r. Donc d’après le lemme d’inversion (lemme 1.1.32), (sA, r) ∈ A. La conditionUPSTABLE-AXIOMSnous prouve qu’il existe r′ <∗r telle que (sB, r′) ∈ A. Il suffit alors de prendre C = sB pour conclure.
– Supposons la propriété vraie à un rang n et supposons que Γ ⊢ A : r et A ≺n+1 B. Alors, d’après le lemme 1.2.1,
– Soit A D ∀x : D.A′, B D ∀x : D.B′ et A′ ≺n B′. D’après la préservation du typage, Γ ⊢ ∀x : D.A′ : r et donc par inversion (lemme 1.1.32), on obtient qu’il existe sD et sA′ telles que (sD, sA′, r) ∈ R, Γ ⊢ D : sD et que Γ, x : D ⊢ A′ : sA′. Par hypothèse de récurrence, il existe C′ et sC′ tels que B′ DC′, Γ, x : D ⊢ C′ : sC′ et sA′ 4∗ sC′. Donc la propriété
UPSTABLE-RULES, prouve qu’il existe r′ <∗ r telle que (sD, sC′, r′) ∈ R. Donc d’après le lemme1.2.16, on a Γ ⊢ ∀x : D.C′ : r′. On conclut donc en prenant C = ∀x : D.C′. , 5. Soit P le CTS égal à
({⋆1, 1, ⋆2, 2, ◦, △}, {(⋆1, 1), (⋆2, 2), (◦, △)}, {(△, 2, 2)}, {(⋆1, ⋆2)})
On peut vérifier facilement que P |= WEAK-DOWNSTABLE, or on a ⊢P ◦ → ⋆2 : 2 et ◦ → ⋆14◦ → ⋆2 et pourtant il n’existe pas de sorte s telle que ⊢P ◦ → ⋆1: s.
6. Symétriquement, soit P le CTS égal à
({⋆1, 1, ⋆2, 2, ◦, △}, {(⋆1, 1), (⋆2, 2), (◦, △)}, {(△, 1, 1)}, {(⋆1, ⋆2)})
On peut vérifier facilement que P |= WEAK-UPSTABLE, or on a ⊢P ◦ → ⋆1 : 2 et ◦ → ⋆1 4 ◦ → ⋆2 et pourtant il n’existe pas de sorte s telle que ⊢P ◦ → ⋆2 : s.
Les implications (5) et (6) nous montrent qu’on ne peut pas déduire la préservation de la typabilité en la vérifiant simplement sur les paramètres. On dispose néanmoins du lemme suivant qui se révélera utile dans la sous-section1.2.8:
1.2.35 Lemme
|= SRβ∧MINLOC∧WEAK-UPSTABLE ⇒ |= WEAK-SR4
Démonstration SupposonsSRβ∧MINLOC∧WEAK-UPSTABLEet Γ ⊢ A : s. Montrons que si A 4 B alors il existe C tel que B D C et WFΓ(C).
– Si A ≡ B, alors d’après le lemme1.1.3, il existe C tel que A D C et B D C. D’après la préservation du typage (|= SRβ), Γ ⊢ C : s et donc WFΓ(C).
– Montrons par induction sur n que si A ≺nB, alors il existe C tel que B D C et WFΓ(C). – Si A 40 B, alors par définition, il existe sAet sB telle que sA4sB, A D sA et B D sB. D’après
la préservation du typage, on a Γ ⊢ sA : s et comme on a WEAK-UPSTABLE on sait qu’il existe r tel que Γ ⊢ sB : r. Donc on peut conclure en prenant C = sB et on a bien B D C et WFΓ(C).
– Si A 4n+1B, alors d’après le lemme1.2.1, alors
– Soit A 4nB et on conclut par hypothèse de récurrence,
– Soit il existe A′, B′ et D tel que A D ∀x : D.A′, B D ∀x : D.B′ et A′ 4nB′. Par préservation du typage, on a Γ ⊢ ∀x : D.A′ : s et par inversion (lemme 1.1.32), on en déduit qu’il existe (s1, s2, s3) ∈ R telle que s3 4∗ s, Γ ⊢ D : s1 (1) et Γ, x : D ⊢ A′ : s2. On a donc WFΓ,x:D(A′) et par hypothèse de récurrence, on sait qu’il existe C′ tel que B′DC′ et WFΓ,x:D(C′). Montrons maintenant qu’il existe r2 telle que Γ, x : D ⊢ C′ : r2 (2). Comme WFΓ,x:D(C′), deux cas sont possibles :
– Soit C′ est une sorte sC′, et comme A′ 4n C′, on en déduit qu’il existe une sorte sA′
telle que A′ DsA′. Et par préservation du typage, on a Γ, x : D ⊢ sA′ : s2, et d’après
WEAK-UPSTABLE-AXIOMS, on en déduit qu’il existe une sorte r2 telle que Γ, x : D ⊢ sC′ : r2.
Comme on a |= DOWNSTABLE(car on a la propriété plus forte |= MINLOC), le lemme1.2.21
et A′ 4∗ C′, montrent qu’il existe s′
2 4∗r2et A′′tels que A′DA′′et Γ, x : D ⊢ A′′: s′
2. Or par préservation du typage, on a également Γ, x : D ⊢ A′′: s2 et |= MINLOCet le lemme1.2.31, prouvent qu’il existe t2 tel que Γ, x : D ⊢ A′′ : t2 et t2 4∗ s′
2 et t2 4∗ s2. On a donc bien (s1, t2, s3) ∈ R et t24∗ r2. On peut donc appliquer la propriétéWEAK-UPSTABLE-RULES
pour prouver qu’il existe r telle que (s1, r2, r) ∈ R (3). Et donc le lemme 1.2.16, (1), (2) et (3) prouve que Γ ⊢ ∀x : D.C′ : r. On conclut donc en prenant en C = ∀x : D.C′. , On en déduit le critère suivant pour prouver WEAK-SR4∧WEAK-SR< :
1.2.36 Lemme
|= SRβ∧MINLOC∧WEAK-UPSTABLE ⇒ |= WEAK-SR4∧WEAK-SR<
Démonstration On a |= MINLOC⇒|= DOWNSTABLE ⇒|= SR< ⇒|= WEAK-SR< et le lemme
précédent prouve WEAK-SR4. ,
On peut donc utiliser ce critère et le théorème1.1.56pour obtenir un critère de renforcement : 1.2.37 Lemme
Si |= NICE-TOPSORT, alors
|= CTS∧MINLOC∧WEAK-UPSTABLE ⇒ |= STRENGTHENING