Notions de m´ ecanique des milieux continus

La M´ecanique des Milieux Continus (MMC) est un outil permettant en parti- culier une analyse quantitative de la d´eformation des solides. Elle offre plusieurs mod`eles de tiges ´elastiques. Elle est fond´ee sur l’hypoth`ese que, au niveau de l’œil humain, la mati`ere pr´esente des caract´eristiques continues et cette hypoth`ese reste valable tant que l’on reste dans le domaine des petites d´eformations. En effet, les ph´enom`enes de plasticit´e et de rupture s’expliquent en consid´erant l’´echelle atomique o`u la mati`ere est constitu´ee d’un ensemble discret de particules. Grˆace `a la MMC, il est alors possible de caract´eriser la mati`ere grˆace `a des fonctions continues au sens math´ematique du terme. Nous pr´esentons ici un tr`es bref rappel des notions de m´ecanique des milieux continus qui seront utilis´ees dans cette th`ese. Le lecteur pourra se r´ef´erer `a [Salen¸con 05a, Salen¸con 05b, Forest 10] pour une pr´esentation plus compl`ete et rigoureuse.

1.2.1.1 Description du milieu

Consid´erons un solide d´eformable occupant un volume V0`a l’instant initial t = 0. Apr`es une d´eformation Φ appliqu´ee pendant un temps t, le volume V₀ est d´eform´e

1.2. M ´ECANIQUE DES CORPS D ´EFORMABLES UNIDIMENSIONNELS 19

en un volume Vtet chaque point mat´eriel occupe une nouvelle position dans l’espace.

Il est clair que chaque point mat´eriel ne peut occuper qu’une seule position spatiale et que inversement, chaque point spatial ne peut ˆetre occup´e que par un seul point mat´eriel. La d´eformation Φ, qui d´ecrit l’´evolution de chaque point mat´eriel, est donc une bijection. Intuitivement, elle est aussi diff´erentiable ainsi que sa r´eciproque. For- mellement, chaque point mat´eriel ayant pour coordonn´ees initiales P est susceptible de se d´eplacer et l’´evolution de sa position spatiale p `a l’instant t est donn´ee par le diff´eomorphisme

p(P, t) = Φ (P, t) .

Comme l’application Φ entre les coordonn´ees mat´erielles et spatiales est bijective, il est possible de d´ecrire le mouvement par les variables spatiales p, dites variables d’Euler, ou par les variables mat´erielles P, dites variables de Lagrange. Intuitive- ment, la description Lagrangienne consiste `a suivre l’´evolution d’un point mat´eriel dans le temps, tandis que la description Eul´erienne consiste `a suivre l’´evolution d’un point spatial dans le temps. Chaque repr´esentation trouve son application dans chacune des branches de la MMC. Le point de vue lagrangien sera g´en´eralement plus adapt´e pour la m´ecanique des solides tandis que l’on pr´ef´erera le point de vue eul´erien pour la m´ecanique des fluides.

1.2.1.2 D´eplacements, d´eformations et contraintes

D´eplacements Le vecteur d´eplacement u(P, t) du point mat´eriel P `a l’instant t est d´efini par

u(P, t) = p(P, t) − P.

On peut ainsi d´efinir la vitesse et l’acc´el´eration de chaque particule par ~v = ˙~u et ~a = ˙~v respectivement.

Le tenseur des d´eformations Le champ de vecteurs d´eplacements traduit le mouvement de chacune des particules ind´ependamment. Par cons´equent, il ne permet pas `a priori de distinguer une d´eformation d’une transformation rigide comme une rotation du corps. Pour cela, on introduit la notion de d´eformation qui traduit l’al- longement ou la variation angulaire relative. Du point de vue lagrangien, l’ensemble des d´eformations dans les trois directions en translation et orientation, exprim´ees par 6 coefficients ind´ependants, d´efinit le tenseur sym´etrique des d´eformations de Green-Lagrange E d’ordre 2 par

E(P, t) = 1 2 ∂Φ(P, t) ∂P T_{∂Φ(P, t)} ∂P − I ! = 1 2 ∂p(P, t) ∂P T_{∂p(P, t)} ∂P − I ! . (1.10) Comme ∂p ∂P = ∂u ∂P + I

le tenseur des d´eformations de Green-Lagrange peut ˆetre r´e´ecrit en fonction des d´eplacements par E = 1 2 ∂u ∂P + ∂u ∂P T + ∂u ∂P T _∂u ∂P ! . (1.11)

Du fait de l’hypoth`ese de petites d´eformations, il est courant de n´egliger les termes du second ordre dans l’expression du tenseur des d´eformations en (1.11). Cette lin´earisation simplifie les calculs par la suite. On obtient alors le tenseur des d´eformations lin´earis´e

ε = 1 2 ∂u ∂P + ∂u ∂P T! . (1.12)

Notons aussi l’existence du tenseur des d´eformations d’Euler-Almansi, correspon- dant au point de vue eul´erien. En consid´erant l’hypoth`ese des petites d´eformations, sa forme lin´earis´e est ´egale `a celle retrouv´ee en (1.12). Pour cette raison, le point de vue consid´er´e n’importe pas et nous parlerons simplement du tenseur des d´eformations lin´earis´e ε.

Le tenseur des contraintes La notion de contrainte correspond aux forces ex- prim´ees relativement `a une unit´e de surface, c’est `a dire aux efforts int´erieurs entre les surfaces du milieu. L’ensemble des contraintes exprim´ees dans les six directions en un point spatial p d´efinit alors le tenseur sym´etrique des contraintes σ d’ordre 2. ´Etant donn´e une surface de normale unitaire n, le tenseur des contraintes σ(p) nous donne le vecteur contrainte agissant sur cette surface par

T = σ : n

o`u : repr´esente le produit tensoriel contract´e.

Figure 1.6 – Illustration du vecteur contrainte T agissant sur une surface au point spatial

p et de ses composantes normale σn et tangentielle τ t.

Comme illustr´e en Figure 1.6, ce vecteur donne une interpr´etation des efforts int´erieurs appliqu´es sur cette surface grˆace `a la d´ecomposition

1.2. M ´ECANIQUE DES CORPS D ´EFORMABLES UNIDIMENSIONNELS 21

o`u σ est le module de la composante normale et τ le module de la composante tangentielle, i.e. le cisaillement. On peut alors distinguer les cas suivants :

— lorsque σ > 0 ou σ < 0, la surface est respectivement en traction ou compres- sion ;

— lorsque τ = 0 et σ 6= 0, la surface est en traction ou compression pure ; — lorsque σ = 0 et τ 6= 0 , la surface est en cisaillement pur.

Les lois r´egissant les liens entre contraintes et d´eformations `a l’´echelle globale sont complexes et se r´epartissent selon diff´erents domaines de d´eformations.