MAFFT : FFTNS
3.2 Notions de base de l’Optimisation Multi-Objectif
Ceci est également connu comme l'approche a posteriori parce que les diverses solutions vont être tout d’abord trouvées puis alors le décideur choisit la plus appropriée. Toutes les solutions sont présentées alors au décideur si elles représentent un compromis entre les divers objectifs.
c. Recherche et prise de décision interactive (progressive):
Dans cette approche le décideur intervient pendant la recherche pour la guider vers les solutions prometteuses en ajustant les préférences dans le processus.
Ce chapitre présente une introduction aux concepts fondamentaux de l’optimisation combinatoire multi-objectif, la modélisation d’un problème, la dominance de Pareto et surface de compromis, puis donne une vue d'ensemble sur un certain nombre de métaheuristiques multi-objectif récemment développées.
3.2 Notions de base de l’Optimisation Multi-Objectif
L’optimisation multi-objectif (MultiObjective Optimization: MOO) ou multicritère est un domaine dont l’importance est justifiée par la nature multi-objectif des problèmes d’optimisation à résoudre dans la réalité. Elle se propose de traiter les problèmes qui nécessitent la satisfaction de plusieurs critères en même temps. Ces critères sont parfois conflictuels et parfois complémentaires. Un des aspects caractérisant l’optimisation multi-objectif est qu’elle fournit un ensemble de solutions réalisant le meilleur compromis entre les critères considérés. Cet ensemble de solution est appelé dans la littérature l’ensemble optimal de Pareto.
En général un problème d’optimisation multi-objectif est caractérisé par un espace de recherche de solutions, de deux ou plusieurs fonctions objectif et un ensemble de contraintes.
L’espace de recherche est défini comme un espace d’état et il constitue l’ensemble des domaines de définitions des variables du problème. Cet espace est généralement un espace fini.
Les variables peuvent être réelles, entières ou booléennes. Les problèmes qui utilisent des variables de type différents sont assez complexes à résoudre.
La fonction objectif représente le but à atteindre. Elle permet de définir un espace de solutions potentielles au problème.
L’ensemble des contraintes définit des conditions sur l’espace de recherche que les variables doivent satisfaire.
Une méthode d’optimisation est alors la recherche d’un point ou l’ensemble des points dans l’espace de recherche qui minimisent (ou maximisent) les fonctions objectif sous l’ensemble des contraintes.
3.2.1 Formulation Mathématique
Dans ce qui suit, quelques définitions nécessaires à la compréhension de certains concepts de base que nous utiliserons dans la suite.
On considère un problème multi-objectif ayant n paramètres (variables de décisions) et k objectifs à optimiser (critères) [Collette et Siarry, 02], [Barichard, 03]:
Définition 3.1 :
Vecteur de décision : C’est le nom donné au vecteur xr
= (x1, x2, x3….. xn). Il correspond à l’ensemble des variables du problème.
Définition 3.2 :
Vecteur objectif ou vecteur de critères fr( xr) = f1(xr ), f2(xr ),…… fk (xr ).fr regroupe les k ≥
Une optimisation multi-objectif revient alors à : Minimiser fr( xr)
(fonctions objectif à optimiser). avec gr(xr)≤0 (m contraintes d’inégalité). et hr(xr)=0 (p contraintes d’égalité). (3.1) On a rx∈ℜn, vf(xr)∈ℜk,gr(xr)∈ℜmethr(rx)∈ℜp. xr
est appelé vecteur de variables de décision.
n
ℜ est considéré l’ensemble des solutions réalisables ou faisables
Figure 3.2: L’espace de décision et l’espace objectif (trois fonctions objectif)
En effet, pour un problème à deux objectifs (bi-objectif), la solution optimale cherchée est un ensemble de points correspondant aux meilleurs compromis possibles pour résoudre un problème.
Un problème de maximisation peut être aisément transformé en problème de minimisation (et vice versa) en considérant l'équivalence suivante :
maximiser fr(xr)
ó minimiser (-fr(xr)
). (3.2)
3.2.2 La Convexité d’un Espace de Recherche
Un problème MOO admet un ensemble de solutions réalisables S. S est dit convexe (figure 3.3) si et seulement si : étant donnés deux point A et B quelconques de cette ensemble S, l’ensemble des points reliant A à B appartient à S autrement :
. ) , ( , segment AB S S B et A ∈ ⊂ ∀
La convexité est le premier indicateur de la difficulté du problème. En effet, certaines méthodes MOO trouvent une difficulté de résoudre des problèmes non convexes de manière optimale [Barichard, 03].
3.2.3 La Dominance au sens Pareto
Contrairement à l’optimisation mono-objectif, la solution d’un problème multi-objectif n’est pas unique, mais est un ensemble de solutions non dominées, connu comme l’ensemble des solutions Pareto Optimales (P.O).
Le concept de Dominance fut introduit pour la première fois en 1896 par Vilfredo Pareto dans le domaine de l’économie.
Définition 3.3:
Dans le cas d’un problème de minimisation, on dit qu’un vecteur de décision xr∈ℜn domine vecteur de décision yr∈ ℜn (on note : (x yr)
p r si et seulement si : ∀ i ∈{1,…,k} : fi(xr ) ≤ fi(yr ) ∧ ∃ j ∈{1,…,k} tel que fj(xr ) < fj(yr ) (3.3) Définition 3.4 :
§ P est dit ensemble optimal de Pareto si et seulement si : § P est un sous ensemble de ℜn : P ⊆ ℜn
∀ xr∈ P, il n’y a pas un vecteur yr ∈ ℜn tel que xr
est dominé par yr
Ainsi, toute solution de l’ensemble Pareto peut être considérée comme optimale puisque aucune amélioration ne peut être faite sur un objectif sans dégrader la valeur relative à un autre objectif. Définition 3.5 :
Un point A ‘domine faiblement’ un point B si et seulement si :
{
1,....k}
f(A) f(B)i∈ i ≤ i
∀ (3.4)
L’ensemble correspondant à l’ensemble optimal de Pareto dans l’espace des objectifs est appelé l’ensemble des solutions non dominées ou le Fr ont Par eto (Figures 3.5 et 3.6) (ou encore la frontière de Pareto).
Figure 3.5: Cas de Minimisation bi-objectif Figure 3.6 : Cas de Maximisation bi-objectif
3.2.4 Propriétés de la Relation de Dominance
La relation binaire de dominance, telle qu’elle est définie ci- dessous : § Elle n’est pas réflexive, car une(x yr)
p r
solution ne se domine pas elle-même. § Elle n’est pas symétrique car on a jamais (x yr)
p r
et (y xr) p r
§ Elle est transitive, car (x yr) p r
et (y zr) p r
ceci implique que(x zr) p r
.
La relation de dominance est donc une relation d’ordre partiel strict sur l’espace des décisions. 3.2.5 Les Points particuliers ‘Idéal’ et ‘Nadir’
Le point Idéal (figure 3.7) est un point optimal et comme son nom l’indique possède comme valeur pour chaque objectif considéré la valeur optimale. C’est un point non réalisable car si c’était le cas, le problème admettrait alors une seule solution optimale qui optimise tous les objectifs à la fois. Dans ce cas les fonctions objectif sont considérées non contradictoires mais complémentaires. Le point Idéal est utilisé dans certaines approches comme point de référence pour orienter la recherche vers le front de Pareto
Le point Nadir est un point qui possède comme coordonnées, les pires valeurs possibles pour les objectifs considérés dans l’espace des solutions réalisables. Ce point peut servir pour délimiter l’espace de recherches dans certaines méthodes de MOO.
Figure 3.7 : Point Idéal et point Nadir pour un problème bi-objectif
3.2.6 Front Pareto Optimal
Le front Pareto est aussi appelé l’ensemble des solutions efficaces ou la surface de compromis. Quand un ensemble de solutions de compromis (non dominées) est visé (recherche et puis prise de décision), ces solutions représentent une bonne approximation du front Pareto optimal. Le front de Pareto optimal est donc l’ensemble de toutes les solutions non dominées dans l’espace multi-objectif. Cependant, quand les solutions dans l’ensemble obtenu ne se trouvent pas sur le front optimal de Pareto, on devrait se rapporter à cet ensemble comme le front non dominé obtenu ou le front Pareto connu.
Puisque dans l'optimisation basée Pareto les résultats finals doivent être un ensemble de solutions non dominées, d’autres aspects importants sont à considérer pour évaluer la qualité du front non dominé obtenu. Parmi ces aspects il y a:
§ Le nombre de solutions non dominées obtenu.
§ La proximité entre le front obtenu (connu) et le front Pareto optimal (si connu) (Figure3.8).
Figure 3.8 : le front Pareto optimal et le front Pareto obtenu
3.2.7 La Structure du Front Pareto
Plusieurs méthodes pour évaluer la qualité du front Pareto obtenu ont été proposées [Knowles et Corne, 02]. En fait, quand les chercheurs parlent de la qualité de l’ensemble des solutions non dominées obtenu, des informations sont très rarement fournies concernant la diversité des solutions dans l’espace de décision. Ceci est extrêmement important parce que bien que les solutions non dominées obtenues puissent être bonnes et distribués sur le front dans l’espace objectif, il se peut que l'une ou l'autre soient également structurellement différentes ou très semblable. Le décideur peut exiger avoir des solutions :
§ Semblables en structure et en valeurs objectives. Par exemple des solutions qui sont très semblables et bien que chacune d’elles est non dominée, peut-être les décideurs sont intéressés par uniquement une certaine partie de la surface de compromis.
§ Semblables en structure mais très différentes en valeurs objectives. Comme précédemment, les solutions sont très semblables mais les décideurs veulent des solutions de toute la surface de compromis.
§ Différentes en structure et en valeurs objectives. Comme dans le cas précédent, des solutions de toute la surface de compromis sont exigées mais ces solutions doivent être très différentes structurellement.
§ Différentes en structure mais semblables en valeurs objectives. Dans ce cas-ci, peut-être les décideurs exigent des solutions de certaine qualité semblable en ce qui concerne le compromis des objectifs mais veulent voir des solutions qui sont réellement très différentes. En conclusion, il est à remarquer que deux aspects importants sont à prendre en considération. Tout d’abord, la méthode de résolution doit converger le plus possible vers la frontière de Pareto, de façon à s’en approcher au maximum mais elle doit également proposer des solutions diversifiées et bien distribuées sur le front afin d’avoir un bon échantillon représentatif et ne pas se concentrer sur une zone de l’espace objectif.