Notions d'algèbre tensorielle - Les équations de Maxwell covariantes pour le calcul rapide des

On se limitera ici au cas des espaces vectoriels euclidiens et l'on se placera directement dans un R-espace vectoriel euclidien de dimension n.

A.6.1 Dénition

Un tenseur T d'ordre p est une application p-linéaire de Ep _{dans R.}

s'applique :

∀xp∈ Ep et x0k∈ E,

T (x1, . . . , xk+ x0k, . . . , xp) = T (x1, . . . , xk, . . . , xp) + T (x1, . . . , x0k, . . . , xp)

∀λ ∈ R, T (x1, . . . , λxk, . . . , xp) = λT (x1, . . . , xk, . . . , xp). (A.7)

A.6.2 Composantes d'un tenseur

Comme nous allons le voir, un tenseur peut être représenté par diérentes composantes traduisant l'action de cette forme p-linéaire sur les vecteurs de l'espace de E. An d'illustrer ceci, prenons le cas d'un tenseur T d'ordre 3. Considérons ensuite trois vecteurs quelconques de E que l'on notera x, y et z. On a vu que ces vecteurs pouvaient s'écrire dans une base covariante {ei}_i=1,...,n de E de la façon suivante :

x = xiei, y = yjej, et z = zkek, i, j, k = 1, . . . , n.

Comme T est trilinéaire, on a :

T (x, y, z) = T (ei, ej, ek)xiyjzk.

On dénit alors les nombres Tijk= T (ei, ej, ek)qui sont appelés les composantes

123-covariantes du tenseur T et qui sont au nombre de n3_.

Si on est capable de calculer ces composantes, on peut alors calculer l'image de tout triplet de vecteurs de E par T , puisque l'on a :

∀ x, y, z ∈ E, T (x, y, z) = Tijkxiyjzk.

De plus, on peut par exemple dénir les composantes 12-covariantes et 3-contravariantes de T qui sont dénies par T k

ij = T (ei, ej, ek). On voit qu'il existe alors 23 types de

composantes pour un tenseur d'ordre 3 et pour une base de E (associée à sa base duale). De façon générale, un tenseur d'ordre p possède 2p _{types de composantes}

diérentes pour une seule base de E.

A.6.3 Produit contracté simple de tenseurs

On se limite ici à une présentation du produit contracté simple (un produit contracté double peut aussi être déni) puisque nous l'utiliserons de façon intensive dans la suite an de parvenir à un formalisme compact des équations de Maxwell covariantes.

Le produit contracté simple de deux tenseurs P et Q d'ordres p et q se note R = P .Q de même que le produit scalaire sur les vecteurs. Ses composantes sont dénies en sommant sur les composantes de premier indice de Q et sur les composantes de premier indice de P :

Ri1...ip−1j2...jq = Pi1...ip−1kQ

Le résultat est donc un tenseur d'ordre p + q − 2.

Voyons maintenant le cas particulier qui nous intéresse. Notons tout d'abord qu'un vecteur v de E constitue un tenseur d'ordre 1. En eet, on peut dénir l'application linéaire qui à tout vecteur u de E associe sont produit scalaire avec v :

v : x ∈ E → v(x) = v.x. (A.9)

Considérons maintenant un tenseur S d'ordre 2. Par dénition, le produit contracté de S et v est un tenseur d'ordre 1 (donc un vecteur) déni comme ceci :

S.v : ∀x ∈ E, (S.v)(x) = Sijvjxi. (A.10)

Il apparaît alors clair que le produit contracté simple de tenseurs est une géné- ralisation du produit matriciel.

A.6.4 Le tenseur métrique

Le tenseur métrique est le tenseur G d'ordre deux déni par :

G : x, y ∈ E × E, → G(x, y) = x.y, (A.11) où . désigne le produit scalaire sur les éléments de E déni dans la sectionA.5.3

qui est bien une forme bilinéaire sur R.

Ce tenseur étant d'ordre 2, il possède 4 types de composantes : gij = G(ei, ej) gij = G(ei, ej) = δij,

gij = G(ei, ej) gi_j = G(ei, ej) = δji.

(A.12) Puisque le produit scalaire est commutatif, on voit directement que ce tenseur est symétrique.

De plus, on peut montrer directement que le tenseur métrique est l'élément neutre du produit tensoriel contracté simple. En eet, on a :

∀ x ∈ E, (G.x) : ∀y ∈ E → (G.x)(y) = gixjyi = δixjyi = xiyi = x.y. (A.13)

Ceci peut être facilement généralisé à tout tenseur T d'ordre >1 : G.T = T .G = T . Cette propriété du tenseur métrique nous permet d'exprimer les composantes covariantes d'un vecteur quelconque en fonction de ses coordonnées contravariantes. En eet, si l'on considère un vecteur x = xi_e

i = xiei, on a :

G.x = gijxjei = x = xiei et G.x = gijxjei = x = xiei, (A.14)

d'où l'on tire par identication xi _{= g}ij_x

j et inversement, xi= gijxj. En particulier,

on peut donc exprimer les vecteurs de la base contravariante en fonction de ceux de la base covariante et l'on a :

A.6.5 Changement de coordonnées : repère naturel

On se place ici dans R3_{, muni de sa base canonique (que l'on notera E}

1, E2 et

E3), d'une origine O et du produit scalaire canonique.

Nous nous intéressons ici à un système de coordonnées (xi₎ _{associées à un}

point M de E et décrivant le vecteur position de M par rapport à l'origine O, i.e. OM = x = Xi_E

Considérons la transformation qui associe au système de coordonnées (X1_{, X}2_{, X}3₎

un nouveau système de coordonnées (x1_{, x}2_{, x}3₎_{de l'espace tel que l'on ait :}

   X1 _{= f}1_(x1_{, x}2_{, x}3₎ X2 = f2(x1, x2, x3) X3 = f3(x1, x2, x3),

où les fi _{sont des fonctions continûment dérivables et inversibles.}

On appelle base naturelle du changement de base déni par les fonctions fi_{, les}

trois vecteurs (e1, e2 et e3) dénis par

dOM = dxiei, (A.16)

c'est-à-dire qu'une variation innitésimale du vecteur position de M doit être égale à la somme des variations innitésimale de ses nouvelles coordonnées portées par les vecteurs de base que l'on recherche. Il vient alors immédiatement que l'on a :

ei =

∂OM

∂xi . (A.17)

Les ei ne formant pas une base orthonormée dans le cas général, on peut donc

dénir une base duale diérente ei _{et un tenseur métrique G non trivial. Comme le}

stipule la dénition des vecteurs de la base covariante, celle-ci dépend de la position du point M. Donc le tenseur métrique dépend lui aussi du point M : il s'agit alors d'un champ de tenseurs, noté G(M). An de calculer ses composantes covariantes, exprimons les vecteurs de base.

Pour ce faire, on exprime la matrice jacobienne du changement de base, dénie par : J (M ) =        ∂X1 ∂x1 ∂X1 ∂x2 ∂X1 ∂x3 ∂X2 ∂x1 ∂X2 ∂x2 ∂X2 ∂x3 ∂X3 ∂x1 ∂X3 ∂x2 ∂X3 ∂x3        . (A.18)

Par commodité, la dérivée partielle par rapport à la composante contravariante xi du vecteur OM sera écrite ∂i et les dépendances en xi n'apparaîtront plus ex-

plicitement si il n'y a pas de risque d'ambiguité. On obtient donc : J (M ) =   ∂1f1 ∂2f1 ∂3f1 ∂1f2 ∂2f2 ∂3f2 ∂1f3 ∂2f3 ∂3f3  . (A.19)

Dans le document Les équations de Maxwell covariantes pour le calcul rapide des champs diffractés par des conducteurs complexes. Application au Contrôle Non Destructif par courants de Foucault (Page 181-185)