Notion d'ordre d'un élément d'un groupe

Lemme 3.9.1 Soit (G, ⋆) un groupe et g un élément deG. Alors il existe une application exp_g:Z→G

et une seule telle que

exp_g(1) =g

exp_g(k+l) = exp_g(k)⋆exp_g(l) quels que soient k, l∈Z.

Exemple 3.9.1 La seconde condition de la dénition signie que exp_g est un homomorphisme de groupes de Zvers G. Supposons que(G,·) est un groupe dont la loi est notée multiplicativement. Alors pour toutn entier positif, nous avons

exp_g(n) =gg . . . g| {z }

n

exp_g(−n) = exp_g(n)⁻¹ = (g⁻¹)ⁿ.

Nous écrirons gⁿpour exp_g(n) pour toutnentier. Supposons que (A,+)est un groupe dont la loi est notée additivement. Alors pour tout nentier positif, nous avons

exp_a(n) =a|+a+{z. . .+a}

n

exp_a(−n) =−exp_a(n) =−na.

Nous écrirons na pour exp_a(n) pour tout nentier.

Corollaire 3.9.1

1. Soit (G,) un groupe dont la loi est notée multiplicativement et g un élément de G. Pourk, l∈Z, on a les égalités suivantes

g¹ =g g^k+l=g^k⋆ g^l

g⁰ =e_G (g^k)^l=g^kl

2. Soient (A,+) un groupe commutatif dont la loi est notée additivement et a un élément de A. Pour k, l∈Z on a les égalités suivantes

1a=a (k+l)a=ka+la

0a= 0A

k(la) = (kl)a

Preuve : Les deux parties sont des traductions dans la nouvelle notation de certaines propriétés de la fonction exp. Montrons-les à l'aide des notations de 1. Les deux premières égalités ne font que traduire dans la nouvelle notation les propriétés de la dénition de exp_g. La troisième propriété résulte du fait que exp_g est un homomorphisme. Pour la dernière propriété, xonsk∈Z et considérons l'application

f :Z → G l 7→ g^kl.

Nous avons clairement f(1) = g^k et f(l+l^′) = g^k(l+l′) = g^kl+kl′ =g^kl⋆ g^kl′ = f(l)⋆ f(l^′). Par unicité de l'applicationexp_g^k nous pouvons conclure quef(l) = exp_g^k(l) pour toutl∈Zet donc quef(l) = (g^k)^l pour tout l∈Z.

Dénition 3.9.1 Soit (G, ⋆) un groupe et gun élément de G. L'ordre de g est le plus petit entiern≥1 tel que exp_g(n) =e_G s'il existe un tel entier. Sinon, l'ordre de g est inni. On note ord_G(g) ou ord(g) l'ordre de g dans G.

Exemple 3.9.2

Supposons que(G,·) est un groupe dont la loi est notée multiplicativement et soit g ∈G. Alors nous avons ord_G(g) = inf{n∈N/n≥1 etgⁿ=e}.

Supposons que(A,+)est un groupe commutatif dont la loi est notée additivement et soita∈A. Alors nous avons ordG(a) = inf{n∈N/n≥1etna= 0A}.

Soit(G,)un groupe dont la loi est notée multiplicativement (pour alléger les notations). Supposons que g∈G est d'ordre ni n. Alors nous avons g^k+n=g^kgⁿ =g^ke=g^k pour tout entier ket nest le plus petit entier≥1avec cette propriété. Autrement dit, la suite des puissances deg:g⁰ =e, g, g², . . . , g^k, . . . est périodique de période n. Nous avons aussi g^a+kn=g^ag^kn =g^a(gⁿ)^k=g^ae^k=g^a pour tout entier a∈Zet tout entierk∈Z. Autrement dit la valeur de g^a ne dépend que de la classe de congruence de amodulo n.

Lemme 3.9.2 Soit n un entier ≥ 2 et soit a une classe modulo n considérée comme élément du groupe (A,+) = (Z/nZ,+). Alors

ord_Z/nZ(a) = PPCM(a, n)

a = n

PGCD(a, n).

Preuve : Nous avons ka= 0 ssi kaest un multiple de n, c'est-à-dire un multiple commun à aetn. Doncka doit être un multiple de PPCM(a, n) etk un multiple de PPCM(a, n)/a. Compte tenu de l'égalité

PPCM(a, n) = an PGCD(a, n) nous obtenons aussi la seconde égalité.

Remarque 3.9.1 Il n'existe pas de formule analogue pour l'ordre d'un élémentxdans le groupe multiplicatif (Z/nZ)^⋆. Cependant nous verrons que cet ordre est toujours un diviseur deϕ(n), l'ordre du groupe(Z/nZ)^⋆. Lemme 3.9.3 Soit (G, ⋆) un groupe et g élément de G. Alors g est d'ordre inni si et seulement si l'appli-cation exp_g :Z→G est injective. En particulier, tous les éléments d'un groupe ni sont d'ordre ni.

Preuve : Si l'application exp_g est injective nous avons exp_g(n) ̸= exp_g(0) pour tout n > 0. Puisque exp_g(0) =e, nous avons donc exp_g(n)̸=epour tout n >0etg est d'ordre inni.

Réciproquement supposons g d'ordre inni. Soient k≤l des entiers tels que exp_g(k) = exp_g(l). Alors nous avons exp_g(l−k) =e. Puisquel−k≥0et queg est d'ordre inni, il s'ensuit quek=l et donc queexp_g est injective.

Lemme 3.9.4 Soit (G, ⋆) un groupe et g∈G un élément d'ordre ni n. Alors l'application Z/nZ → G

a 7→ exp_g(a)

est bien dénie et injective. En particulier, l'ensemble des éléments de la formeexp_g(a),a∈Z, est de cardinal n.

Preuve : Supposons pour alléger les notations que la loi deGest notée multiplicativement. Nous avons donc exp_g(a) = g^a et gⁿ = e pour tout a ∈ Z. Donc exp_g(a+kn) = g^a+kn = g^ag^kn = g^a(gⁿ)^k = g^ae^k = g^a. L'application est donc bien dénie. Supposons que a≤b sont deux entiers dont les classes ont même image.

Alors nous avonsg^a=g^b et doncg^b−a=e. Pour montrer quendiviseb−a, eectuons la division euclidienne b−a = qn+r de b−a par n. Par dénition, nous avons 0 ≤ r ≤ (n−1). De l'autre côté, nous avons e=gb−a=gr. Puisqueg est d'ordre n, il s'ensuit que ndivise b−aet donc quea=b.

Théorème 3.9.1 (Lagrange)

Soit(G, ⋆) un groupe ni. L'ordre de tout élément de G divise l'ordre de G.

Exemple 3.9.3 Considérons le groupeG= (Z/11Z)^⋆. L'ordre deGest de 10. Voici les ordres des éléments de G:

g 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ord(g) 1 10 5 5 5 10 10 10 5 2

Notons que le nombre d'éléments d'ordre 10est de4 =ϕ(10), le nombre d'éléments d'ordre5est de4 =ϕ(5) et le nombre d'éléments d'ordre 2 est de1 =ϕ(2).

Preuve du théorème : Pour alléger les notations, supposons que la loi deGest notée multiplicativement. Soit g∈G. La démonstration se fait en plusieurs étapes :

Première étape : la relation dénie par x ≡ x^′(g) ⇔ x = x^′g^k pour un k ∈ Z, est une relation d'équivalence. Notonsxla classe d'équivalence d'un élémentx. Par dénition, la classe dex est formée de tous les éléments de la forme xg^k,k∈Z.

Seconde étape : le cardinal de la classe deeest l'ordre deg. En eet, la classe deeest formée de tous les éléments de la forme g^k, k∈Z. C'est donc l'image de l'application exp_g :Z→ G. Nous avons vu au lemme 3.9.4 qu'elle est en bijection avec Z/nZ oùn est l'ordre deg.

Troisième étape : toutes les classes d'équivalence ont même cardinal que la classe de e. En eet, si x est un élément de G, nous avons des bijections inverses l'une de l'autre entre e et x données par les applications y7→xy respectivementz7→x⁻¹z.

Quatrième étape : le cardinal de la classe de edivise l'ordre de G. En eet, nous savons que Gest la réunion disjointe des classes d'équivalence. L'ordre de Gest donc la somme des cardinaux des classes.

Or toutes les classes ont même cardinal quee. L'ordre deGest donc égal au cardinal de la classe dee multiplié par le nombre de classes d'équivalence.

Conclusion : l'ordre de g, qui est égal au cardinal de la classe de e (seconde étape), divise l'ordre de G (troisième étape).

Corollaire 3.9.2 (Théorème d'Euler)

Soitn un entier ≥2 eta un entier premier avec n. Alors on a a^ϕ(n)≡1(n), oùϕ est l'indicatrice d'Euler.

Preuve : Comme a est premier avec n, la classe g = a appartient au groupe G = (Z/nZ)^⋆. L'armation résulte du théorème de Lagrange car ϕ(n)est l'ordre du groupe (Z/nZ)^⋆ par dénition.

Corollaire 3.9.3 (Petit Théorème de Fermat)

Sip est un nombre premier et aun entier qui n'est pas divisible par p, on a a^p−1 ≡1(p).

Preuve : On applique le théorème d'Euler en utilisant que ϕ(p) =p−1 pour un nombre premier.

Remarque 3.9.2 Les théorèmes de Fermat (petit) et d'Euler permettent de calculer très rapidement certains restes de puissances. Dans les exemples suivants, on cherche le reste r de la division euclidienne de aparb. Exemple 3.9.4

• a = 67¹⁰⁰, b = 101 : le nombre 101 est premier et 67 n'est pas divisible par 101. D'après le petit théorème de Fermat, on a67¹⁰⁰≡1(101) et donc r= 1.

• a= 1995⁵⁴⁰, b= 541 : le nombre 541est premier et 1995 n'est pas divisible par 541. D'après le petit théorème de Fermat, on a1995⁵⁴⁰≡1(541) et doncr = 1.

• a= 25²⁴,b = 72 : nous avons ϕ(72) =ϕ(8×9) =ϕ(8)ϕ(9) = 4×6 = 24. Les nombres 72 et25 sont premiers entre eux. Nous pouvons donc appliquer le théorème d'Euler pour conclure que25²⁴≡1(72). Doncr = 1.

• a = 51²⁴, b = 72 : nous avons ϕ(72) = 24. Or, les nombres 51 et 72 ne sont pas premiers entre eux et nous ne pouvons pas appliquer le théorème d'Euler. Cependant, soit x = 51²⁴. D'après le lemme chinois, pour connaître la classe de x modulo 72, il sut de connaître les restes de x modulo 8 et modulo 9. Or

x≡51²⁴≡3²⁴≡1(8) x≡51²⁴≡6²⁴≡0(9).

Ici, nous avons appliqué le théorème d'Euler à 3 et 8 (ϕ(8) = 4) et nous avons utilisé le fait que 62 ≡ 0(9). Le lemme chinois nous permet de conclure que x ≡ 9(72) et le reste recherché est donc r = 9.