5. Formalismes pour la modélisation simultanée
6.2. Gestion de la dynamique
6.2.1. Notion de succession d’états stationnaires
La dynamique est intégrée dans les mbc en considérant que le système passe par une succession d’états stationnaires. Cette démarche implique (i ) de « discrétiser » l’écoulement du temps en périodes de temps, et (ii ) de considérer que les flux restent stables pendant chaque période. En consé- quence, les changements de vitesse ont lieu au moment de la transition entre une période pi et une période suivante pi+1 (figure 6.10).
Il n’y a pas de consensus quant à la durée, c’est-à-dire l’intervalle de temps, pendant lequel un unique état stationnaire est représentatif de l’état réel du système. D’un point de vue biologique, la stabilité du métabolisme dé- pend grandement des conditions expérimentales et environnementales. Par exemple, une culture bactérienne cultivée dans un chemostat avec renouvel- lement du milieu peut maintenir « indéfiniment » une phase de croissance exponentielle, phase pendant laquelle la répartition et la vitesse des flux restent stables. À l’inverse, une culture en milieu non renouvelé induira diverses phases de croissance, et potentiellement différents états métabo- liques, dont les durées dépendront par exemple des concentrations initiales en substrats et du déclenchement de phénomènes de régulation. D’un point de vue technique, l’espace des solutions est souvent contraint au niveau des flux d’entrées/sorties du système. Ces contraintes étant déterminées à l’aide de mesures expérimentales des concentrations extracellulaires, la durée de chaque période pi d’un mbc dynamique peut dépendre de la fréquence à
laquelle ces mesures ont été réalisées.
Bien que cette démarche « succession d’états stationnaires » simplifie for- tement la réalité biologique, elle permet d’obtenir des résultats pertinents dans de nombreuses études, dont certaines seront citées au fil de cette sec- tion.
6.2. Gestion de la dynamique
Figure 6.10. – Discrétisation du temps et dynamique des flux dans un mbc. Le gra- phique représente la vitesse d’un flux v1 au fil du temps. L’écoulement du temps est
discrétisé en périodes : l’intervalle de temps entre tiet ti+1 est par exemple modélisé
par la période pi. La courbe grise représente la vitesse réelle du flux. Les droites de
6. Gestion de la multitude de solutions et de la dynamique dans les MBC
6.2.2. Dynamique par succession de périodes
indépendantes
L’utilisation de contraintes sur les flux d’entrées/sorties (flux e/s) est un moyen simple de contraindre le potentiel métabolique d’un mbc. Dans le cadre d’un mbc dynamique, ces contraintes sont le plus souvent déduites à partir des concentrations en métabolites extracellulaires et en biomasse, mesurées expérimentalement à différents temps de la culture.
La modélisation de la dynamique d’un mbc par succession de cartes indé- pendantes se fait en deux grandes étapes :
1. Estimation des contraintes sur les flux e/s à différentes périodes de temps. Pour chaque période de la culture, il s’agit d’estimer les vi- tesses de consommation (ou de production) des métabolites extracel- lulaires et de la biomasse. Ces vitesses permettent de déduire des jeux de contraintes sur les flux e/s qui seront spécifiques de chaque période.
2. Analyse indépendante de chaque période. Pour chaque période : le jeu de contraintes approprié est appliqué sur le mbc et l’état du système est étudié par des techniques classiques (par exemple en utilisant la méthode fba).
Estimation des contraintes sur les flux E/S. Afin de calculer les con- traintes à chaque période de temps, différentes méthodes sont possibles (figure 6.11).
Une première méthode consiste à diviser l’ensemble de la culture en quelques phases distinctes. Pour chaque phase de culture, les flux e/s moyens sont estimés (figure 6.11, partie a). On obtient ainsi un jeu de contraintes spé- cifiques pour chacune des phases de culture.
Dans une deuxième méthode, la culture n’est pas divisée en phases. Au contraire, on souhaite ici être capable de calculer les flux e/s à tout instant de la culture. Pour cela, l’évolution continue de la concentration de chaque métabolite et de la biomasse est approximée à partir des points de mesure (figure 6.11, partie b). Les approximations les plus rencontrées sont les in- terpolations linéaires (segment entre deux points successifs), les régressions polynomiales (fonction polynomiale unique, sur l’ensemble des points), ou les régressions par courbes splines (fonction polynomiale par morceaux). À partir de ces courbes de concentrations en métabolites extracellulaires et
6.2. Gestion de la dynamique
Figure 6.11. – Méthodes pour estimer les contraintes sur les flux e/s à partir des concentrations en métabolites extracellulaires mesurées expérimentalement. a) Cal- cul des flux spécifiques moyens par phase de culture. (1) Le temps de culture est partitionné en quelques phases (délimitées par des pointillées). Pour chaque phase, les concentrations du métabolite extracellulaire cex (représentées par des points) sont
utilisées pour estimer une variation moyenne de concentration (droites). (2) Pour chaque période, la variation de concentration est utilisée pour calculer la vitesse du flux spécifique vc (droites horizontales). b) Calcul des flux au cours du temps. (1)
Les mesures de concentrations du métabolite extracellulaire cex (représentées par des
points) sont utilisées pour estimer la variation continue du métabolite au cours du temps (segments de droite). (2) Le temps de culture est discrétisé en périodes (déli- mité par des pointillés), et le flux spécifique est estimé pour chaque période (segments de droites).
6. Gestion de la multitude de solutions et de la dynamique dans les MBC
en biomasse, les dérivées des concentrations sont utilisées pour calculer les flux e/s pour différents intervalles de temps de la culture.
Ces deux méthodes ont par exemple été utilisées par Niklas et coll. pour étudier la culture d’une lignée cellulaire humaine [Niklas 2011]. Avec la première méthode, les auteurs divisent les 230 heures de culture en trois phases caractéristiques. Avec la deuxième méthode, ils estiment l’évolution continue des concentrations extracellulaires à l’aide de courbes spline, puis ils calculent les flux e/s pour des intervalles de temps d’environ 2,5h. Du fait du nombre de périodes de temps plus important, la seconde méthode permet d’obtenir une modélisation de la dynamique plus complète. De plus, elle ne nécessite pas de diviser a priori la culture en phases.
Analyse de chaque période. Quelle que soit la méthode utilisée pour calculer les contraintes, à chaque période de culture correspond un espace des solutions qui est contraint de manière « période spécifique ».
Je qualifie cette approche de « succession de périodes indépendantes » car le résultat d’une analyse (la ou les répartitions de cartes calculées pour une période de temps donnée) pour une période donnée n’a pas d’influence sur les contraintes appliquées aux autres périodes.
En conséquence, chaque espace des solutions peut être analysé indépendam- ment par des techniques classiques comme la méthode fba [Calik 2011], la méthode fsa [Llaneras 2007b], ou encore par la méthode mfa lorsque le
système est (sur-)déterminé [Niklas 2011].
6.2. Gestion de la dynamique