En ce qui concerne l’arithmétique à virgule flottante, nous renvoyons à [37] pour une présentation plus complète, notamment des détails de la norme IEEE 754. Des exemples d’implantation de cette norme figurent dans les thèses de Brunie [6], Lauter [29] et Revy [48], pour différents contextes.
Concernant l’analyse inverse, une référence reste le livre de Hi- gham [16] ; le lien entre erreur inverse et erreur directe via la notion de conditionnement est présenté dans [16, §1] et [28].
Dans les sections5.2et5.3, l’accent a été mis sur l’arrondi « au plus proche ». Il existe cependant quelques résultats récents visant à étendre ces résultats aux arrondis dirigés [4,43]. De même, nous avons supposé que tous les calculs se font en l’absence de dépassement de capacité, c’est-a-dire qu’ils ne génèrent ni underflow, ni overflow. La prise en compte de ces excep- tions, souvent délicate, a néanmoins fait l’objet de travaux récents, comme par exemple [3]. Dans tous les cas, la vérification formelle de l’ensemble de ces analyses, telle que présentée dans [5], est toujours d’actualité.
En ce qui concerne l’arithmétique par intervalles, une lecture complé- mentaire qui s’impose est celle de la récente norme IEEE 1788-2015 [19]. Les implantations de cette norme sont en cours, avec la bibliothèque
libieee1788 [39] en C++, qui repose sur une arithmétique flottante à précision arbitraire, ou la bibliothèque en Octave [15].
Il existe aussi une branche entière de l’analyse numérique dévolue au calcul avec des intervalles, qui permet d’obtenir des résultats inacces- sibles lorsque l’on calcule avec des réels. Citons notamment la méthode de Newton pour encadrer tous les zéros d’une fonction f sur un intervalle donné x0, et ce souvent avec une preuve de leur existence et de leur unicité, ou a contrario qui fournit une preuve de l’absence de zéros. L’arithmétique par intervalles permet également, grâce à son caractère ensembliste, de développer des algorithmes d’optimisation globale, on trouvera une in- troduction dans [14]. Enfin, elle est utilisée avec succès pour l’intégration garantie d’équations différentielles ordinaires, par exemple pour prouver que le système de Lorenz admet un attracteur [63]. Les variantes (arithmé- tique affine, modèles polynomiaux) de l’arithmétique par intervalles sont employées dans ce cas, comme par exemple l’arithmétique affine dans [1]. Remerciements.Ce travail a été financé en partie par l’Agence Nationale de la Recherche (projet ANR-13-INSE-0007 MetaLibm).
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