Notation et formulation du problème

3.1.1 Notation

La notation suivante sera utilisée tout au long de ce chapitre.

: Niveau d’inventaire de la matière première

: Niveau d’inventaire (ou de pénurie) du produit fini : Stock de sécurité de la matière première

: Quantité économique à commander : Seuil critique de production (HPP)

: Seuil de choix de politique de contrôle à 100 % ou de retour au fournisseur : Taux de la demande

: Taux de la demande réelle : Taux de production

: Taux maximum de production

: Temps moyen de fonctionnement du système : Temps moyen de réparation

: Instant de lancement de commande du lot i de matière première : Délai de livraison du fournisseur

: Temps d’arrivée du lot i de matière première en inventaire : Coût unitaire de la matière première

: Coût de passation de commande

: Coût unitaire d’inventaire de la matière première : Coût unitaire d’inventaire du produit fini

: Coût unitaire de la pénurie : Coût unitaire de production

: Coût unitaire de contrôle de la qualité : Coût unitaire de rejet

: Probabilité d’acceptation du lot i : Taille de l’échantillon

: Critère d’acceptation

: Nombre d’items non conformes dans l’échantillon : Durée de contrôle de la qualité

3.1.2 Formulation du problème

Le système manufacturier étudié (figure 3.1) est composé d’une installation qui produit un seul type de produit fini pour faire face à une demande constante. Cette installation est sujette à des pannes et des réparations aléatoires qui peuvent occasionner des ruptures de stock. L’approvisionnement en matière première se fait par un fournisseur non-fiable avec un délai de livraison unités de temps.

Figure 3. 1 Structure du système étudié avec la politique hybride

À la réception d’un lot commandé, une technique statistique de contrôle de la qualité par un plan d’échantillonnage simple (1.2.1) est appliquée pour statuer sur l’acceptation ou le rejet du lot. Chaque item de l’échantillon est contrôlé pour vérifier l’acceptabilité du lot en considérant le critère ≤ . Si le lot est rejeté, un contrôle à 100 % ou un retour au

fournisseur est effectué suivant les positions des inventaires de la matière première et du produit fini. Si le niveau du stock des produits finis est inférieur ou égal à et que le niveau du stock de la matière première soit inférieur ou égal au seuil de sécurité , nous effectuons un contrôle à 100 %, sinon nous procédons à un retour au fournisseur. En sachant que :

= × ; avec : ∈ 0,1 .

L’état du système à l’instant est modélisé par trois composantes : ① Le niveau de surplus cumulatif (inventaire si positif et pénurie si négatif) mesuré par ( ) , ayant une nature continue dans le temps. ② Le niveau d’inventaire continu à l’instant de la matière première mesuré par ( ). Ce dernier, fait face en aval à une demande continue suivant un taux de production , et en amont à un fournisseur, ou est la quantité du lot i de matière première reçu à l’instant + . Même si le système manufacturier est disponible, la production ne pourra se faire si ( ) est égal à zéro, avec 0 ≤ ( ) ≤ la contrainte maximale de la capacité de stockage de la matière première. ③ La composante discrète ( ), décrit l’état du système de production tel que :

( ) = 1: Le système de production disponible _{2: Le système de production non disponible}

Pour le système considéré l’espace d’état est donnée par ( , , ) avec : ( )∈ 0, ; ( ) ∈ ; ( ) ∈ = 1, 2}

La dynamique des niveaux d’inventaires ( ) ( ) est donnée par les équations différentielles suivantes : ( ) = ( , ) − , (0) = , ∀ ≥ 0 ( ) = − ( , ), (0) = , ∀ ∈ , ( ) = ( ) _{+ . ( ), = 1, … ,} (3.1)

Avec, = 1 − si le ié lot est accepté 1 − si le ié _{lot est accepté aprés un contrôlé à 100%} Et, = 1 si le ié lot est accepté 1 − si le ié _{lot est accepté aprés un contrôlé à 100%} Où désignent respectivement le niveau initial de l’inventaire de la matière première et du produit fini, et les limites positive et négative de l’instant de réception en inventaire du lot i de la matière première. N est le nombre de commandes reçues sur l'ensemble de l'horizon.

Le taux de production et la quantité de matière première à commander doivent satisfaire les contraintes de capacité de production et d’approvisionnement données par :

0 ≤ ( , ) ≤ × ( )= 1}

0 ≤ ( ) ≤ , = 1, … , (3.2)

Nos variables de décision sont le taux de production (. ) et la séquence de commande de l’approvisionnement que nous notons : Ω = ( , ), … .. } , = 1, … , . En tenant compte de (3.2) et pour chaque mode ∈ = 1,2} , l’ensemble des décisions admissibles est présenté par :

( ) = Ω, u(. ) : 0 ≤ ( , ) ≤ × ( ) = 1}

0 ≤ ( ) ≤ , = 1, … , (3.3)

La fonction du coût instantané qui pénalise le maintien en stock de la matière première, de l’inventaire du produit fini (pénurie) et le taux de production est définie par (. ) tel que :

( ( ), ( ), ( , )) = . + . + . + . (. ) + . (3.4)

La fonction instantanée des coûts d’approvisionnement (commande et prix unitaire) et de contrôle de la qualité des lots de la matière première est donnée par :

( , ) = = } + . + = + } .

+ = + + . = 1 − (

− ) + ( − ( , ), + ( , )

− , ( , )) .

(3.5)

En utilisant (3.4) et (3.5), le coût total (. ) est défini par :

(. ) = ( , , ) + + . + .

+ . . . ( − )

⁄

(3.6)

Le problème de la planification de production considérée consiste à établir une politique de commande admissible Ω, u(. ) qui minimisera le coût moyen total (. ) actualisé donné par l’équation (3.6), tout en respectant les contraintes des équations et les inégalités (3.1)-(3.4). Cette politique est une rétroaction qui détermine le taux de production et la politique d’approvisionnement en fonction de l’état du système. La fonction valeur du problème d’optimisation est décrite par la fonction suivante :

( , , ) = min ( , , , , Ω, Q , α) (3.7)

(Ω, u) ∈

La détermination des propriétés de la fonction valeur (3.7) conduit à des conditions d'optimalité décrites par les équations de Hamilton-Jacobi Bellman (HJB). La nature

stochastique du problème à l’étude, rend impossible de trouver une solution analytique pour ces équations. Donc nous nous sommes basés sur la littérature scientifique, et sur les deux politiques que nous avons étudiés dans le chapitre précédent, afin de proposer une structure de politique de commande combinant simultanément la planification de la production, le contrôle de la qualité et l’approvisionnement.

• Politique hybride

Selon les niveaux d’inventaires des matières premières et des produits finis, un choix est fait entre la politique de retour au fournisseur ou de contrôle à 100 % des lots qui ne dépassent pas l’étape de contrôle de la qualité par un plan d’échantillonnage simple.

Politique hybride = ( ) ≤ ( ) > Retour au fournisseur

( ) ≤ ( ) ≤ Contrôle à 100% (3.8)

• Contrôle du taux de production :

(. ) =

( ) < ( ) = 0 ( ) >

(3.9)

• Taux de la demande réelle:

=

ô à 100% (3.10)

• Contrôle de l’approvisionnement :

(. ) = _{0 si x(t) > S} Q si x(t) ≤ S (3.11) Avec : Z1 ≥ 0 ; S < Q < L ; S ≥ 0