14. Rappels sur les nombres de Stirling 198
14.4 Nombres de Stirling non signés et cardinaux
(S(i, j)i,j>1)−1 = (s(i, j)i,j>1)
(S (i, j)i,j>1)−1 = (s(i, j)i,j>1)
14.4. Nombres de Stirling non signés et cardinaux Pour tous i, j> 0 ∈ N, on définit :
• hi
j
i
:=cardinal de l’ensemble des permutations d’un ensemble à i élé-ments qui sont produits d’exactement j cycles.
•ni
j
o
:=cardinal de l’ensemble Pj(E) de partitions d’un ensemble E à i éléments en j parties non vides.
On remarquera l’égalitén0
0
o
= 1 qui dit qu’il y a une unique partition de l’ensemble vide en 0 parties non vides, et l’égalité h0
0
i
= 1 qui dit qu’il y a une unique permutation qui soit produit de 0 cycles.
14.4.1. Proposition. Pour tous i> j > 0 ∈ N, on a a) ni j o = S(i, j). Lorsque i> 1, on anjio= j!1 j X k=0 (−1)j−kj k ki. b) hi j i
= s(i, j) = (−1)i−js(i, j).
Démonstration.On a bien 1 =h0 0 i =n0 0 o et 0 =ni 0 o =hi 0 i =n0 j o =h0 j i pour tous i, j 6= 0. Les familles des nombres en question ont donc bien les même valeurs initiales que les nombres de Stirling.
Pour i> j > 1, on trie les partitions de Pj([[1,i]])en deux parties suivant qu’elles contiennent ou non le singleton {i}. Les cardinaux de ces parties sont respectivement ni−1 j−1 o et jni−1 j o . On a donc ni j o =ni−1 j−1 o + jni−1 j o , ce qui correspond à la récurrence 14.3.2-(d) pour les nombres S(i, j).
De même, en triant les permutations de [[1,i]], suivant que {i} est fixé ou non, on obtient deux classes de cardinaux hi−1
j−1 i et (i − 1)hi−1 j i , on a donc :
hi j i =hi−1 j−1 i + (i− 1)hi−1 j i
,ce qui correspond à la récurrence 14.2.2-(d) pour les nombres s(i, j).
Enfin, on rappelle que la formule dans (a) provient du dénombrement des surjections de [[1,i]] →→ [[1,j]] (modulo les permutations de [[1,j]]). Cet en-semble est le complémentaire F∗ dans l’ensemble F de toutes les applica-tions de [[1,i]] → [[1,j]] de l’ensemble des applicaapplica-tions qui ne sont pas surjec-tives. Notons Ft le sous-ensemble ses applications de F qui n’atteignent pas la valeur t ∈ [[1,j]]. Notons Ft1,...tk := Ft1 ∩ · · · ∩ Ftk. On a alors
|F∗| = j X k=1 (−1)k−1X 16t1<···<tk6j |Ft1,...tk| = j X k=1 (−1)k−1j k (j− k)i,
et la formule découle aussitôt.
Références bibliographiques
[1] V.I. Arnold. The cohomology ring of the colored braid group. Mat. Zametki 5 No 2 (1969), 227–231 (Russian). English transl. Mathematical Notes 5, no. 2, 138–140 (1969).
[2] V.I. Arnold. On some topological invariants of algebraic functions. Trans. Moscow Math. Soc. Vol. 21, 30–52 (1970).
[3] G.E. Andrews. “The theory of partitions”. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 2. Addison-Wesley, (1976).
[4] A. Borel et al. “Intersection cohomology”. Progress in Mathematics, vol. 50, Birkhäuser, (1984).
[5] R. Bott, L.W. Tu “Differential forms in algebraic topology” Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin (1982)/
[6] G.E. Bredon. “Sheaf theory”. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 170. Springer-Verlag, New York, (1997).
[7] T. Church. Homological stability for configuration spaces of manifolds. Invent. Math. 188, no. 2, 465–504 (2012).
[8] T. Church, B. Farb. Representation theory and homological stability. Adv. Math. 245, 250–314 (2013).
[9] T. Church, J.S. Ellenberg, B. Farb, R. Nagpal FI-modules over Noetherian rings. Geom. Topol. 18, no. 5, 2951–2984, (2014).
[10] T. Church, J.S. Ellenberg, B. Farb. FI-modules and stability for representa-tions of symmetric groups. Duke Math. J. 164, no. 9, 1833–1910
(2015).
[11] A. Dimca. “Singularities and topology of hypersurfaces”. Universitext. Springer-Verlag, New York, 1992.
[12] S. Eilenberg, J.C. Moore. Limits and spectral sequences. Topology 1, 1–23, (1962).
[13] E. Fadel, L. Neuwirth. Configuration spaces. Mathematica Scandinavica 10, pp. 111-118 (1962).
[14] B. Farb. Representation Stability. Contribution to Proceedings of the ICM 2014, Seoul. arXiv :1404.4065 (2014).
[15] Y. Félix, J.-C. Thomas. Rational Betti numbers of configuration spaces. Topology Appl. 102, no. 2, 139–149 (2000).
[16] R. Fox, L. Neuwirth. The braid groups. Math. Scand. 10, 119–126 (1962). [17] W. Fulton. “Introduction to toric varieties”. Annals of Mathematical Studies
131, Princeton University Press (1993).
[18] W. Fulton, J. Harris. “Representation theory. A first course”. Graduate Texts in Mathematics, 129. Readings in Mathematics. Springer-Verlag, New York, (1991)
[19] W. Fulton, R. MacPherson. A Compactification of Configuration Spaces. Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 139, No. 1, pp. 183-225 (1994). [20] R. Godement. “Topologie algébrique et théorie des faisceaux”. Troisième
édi-tion revue et corrigée. Actualités Scientifiques et Industrielles, No. 1252. Hermann, Paris, (1973).
[21] A. Grothendieck. Sur quelques points d’algèbre homologique. Tôhoku Math. J. (2) 9, 119–221 (1957).
[22] Graham-Knuth-Patashnik. Concrete mathematics. A foundation for compu-ter science. Second edition. Addison-Wesley Publishing Company, Reading, MA, (1994).
[23] D.J. Hemmer. Stable decompositions for some symmetric group characters arising in braid group cohomology. J. Combin. Theory Ser. A 118, no. 3, 1136–1139 (2011).
[24] M. Kashiwara, P. Schapira. “Sheaves on manifolds”. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 292. Springer-Verlag, Berlin, (1994).
[25] G.I. Lehrer. On the Poincaré series associated with Coxeter group actions on complements of hyperplanes. J. London Math. Soc. (2) 36, no. 2, 275–294, (1987).
[26] G.I. Lehrer, L. Solomon. On the action of the symmetric group on the coho-mology of the complement of its reflecting hyperplanes. J. Algebra 104, no. 2, 410–424 (1986).
[27] I.G. Macdonald. The Poincaré polynomial of a symmetric product. Proc. Cambridge Philos. Soc. 58, pp. 563–568, (1962).
[28] I.G. Macdonald. “Symmetric functions and Hall polynomials”. Second edition. Oxford University Press, New York, (1995).
[29] L. Nicolaescu. “An invitation to Morse theory”. Second edition. Universitext. Springer, New York, (2011).
[30] O. Randal-Williams. Homological stability for unordered configuration spaces. (The Quarterly Journal of Mathematics) Q. J. Math. 64, no. 1, 303–326, (2013).
[31] S. Sam, A. Snowden. Gl-equivariant modules over polynomial rings in infini-tely many variables. Trans. of the AMS. Volume 368, Number 2, February (2016), Pages 1097–1158. Article electronically published on June 17, (2015) http://dx.doi.org/10.1090/tran/6355.
[32] G. Segal. The topology of spaces of rational functions. Acta Mathematica 143, no. 1, 39–72, (1979).
[33] B. Totaro. Configuration spaces of algebraic varieties. Topology 35(4), 1057–1067 (1996).
[34] V.V. Vershinin. Homology of braid groups and their generalizations. Knot theory (Warsaw, 1995), 421–446, Banach Center Publ., 42, Polish Acad. Sci., Warsaw, (1998).
[35] C. Weibel. “An introduction to homological algebra”. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, (1997).
Notations
Généralités sur les espacesi-acycliques
(A•(X; k), d∗), complexe des faisceaux de germes de cochaînes
d’Alexander-Spanier deX . . . 15
K(X) famille des parties compactesK⊆ X . . . 15
X, Y , Z, . . . , pseudovariétés . . . 16
X: Hc(X)→ H(X), morphisme induit par l’inclusion Ωc(X)⊆ Ω(X) . . . 16
H!(X) := im(X), cohomologie « intérieure » de X . . . 17
δ∗ X : Hc(X×X) → Hc(X), restriction à la diagonale . . . 17
X ra “complémentaire” dansX d’une partie finie a de cardinala . . . 19
φγ: Hc(Xrγ(0))→ Hc(Xrγ(1)), action par monodromie le long du chemin γ . . 21
Espaces de configuration généralisés ∆?`Xm,∆m ?`, espace de configurations (ordonnées) généralisé . . . 21
Fm(X) espace de configurations (ordonnées) classique, noté aussi∆mXm . 22 Z[a] intersectionZ∩ (Xm−a×Fa(X)) . . . 22
πa = Xm → Xa, projection sur lesa dernières coordonnées . . . 22
pa = Xm → Xa, projection sur lesa premières coordonnées . . . 22
«X est de type fini », lorsqueHc(X) et H(X) sont de dimension finie . . . 24
P`(E) ensemble des partitions de l’ensembleE en ` parties non vides . . . 24
(i∼p j) Sip∈ P(E), on pose (i ∼p j)⇔def (∃ I ∈ p) t.q. {i, j} ⊆ I . . . 25
[[a,b]] (resp. [[a,b[[), entiers naturels m vérifiant a6 m 6 b (resp. a 6 m < b) . . . . 25
Fp(X) Sip∈ P(m), on a x ∈ Fp(X)⇔def ((xi= xj)⇔ (i ∼p j)) . . . 25
dimch(X) dimension cohomologique deX . . . 25
(Ω•X, d•) := τ6dX(A•(X; k), d∗), résolution c-molle d’un espace X de dimension dX . . . . 25
Théorèmes de scindage et complexes fondamentaux • point d’un espace . . . 28
X◦ l’espaceX privé d’un point• . . . 28
Fi=• m (X) ensemble desx∈ Fm(X) avec xi =• . . . 29
Fm•(X) ensemble desx∈ Fm(X) avec l’un des xiégal à• . . . 29
Sm:Xm, Sm:Hi
c(Z), Sm:Hi(Z), . . ., action de SmsurXmpar permutation des
coordonnées et actions induites, pourZ partie Smstable deXm . . . 29
Fq(X) Siq∈ P(m), x ∈ Fq(X)⇔def (∀i 6= j)((i ∼q j)⇒ (xi6= xj)) . . . 34
Cohomologie des espaces de configuration, casi-acyclique P(V ) ∈ Z[T ], polynôme de Poincaré d’un espace vectoriel gradué V . . . 36
P(X), Pc(X), polynômes de Poincaré de H(X) et Hc(X) respectivement . . . 36
Pc(Xra) Polynôme de Poincaré compact du complémentaire dansX d’une partie finie de cardinala . . . 36
Qm 6`∈ Z[P, T ], polynôme universel pour Pc(∆6`Xm) . . . 40
Représentations du groupe symétrique λ` m alias pour:λ est une décomposition de m . . . 41
|λ| nombre décomposé parλ, donc|λ| :=Piλi . . . 41
`(λ) nombre de termes (non nuls) d’une décomposition . . . 41
Y`(m) :={λ ` m | `(λ) = `}, . . . 41
τ (λ) tableau de Young standard associé à une décompositionλ . . . 41
Pλ = Sλ1× · · · ×Sλ`, sous-groupe des permutations de Sm qui conservent les lignes du tableauτ (λ1, . . . , λ`) . . . 41
Sλ:= NSm(Pλ), normalisateur de Pλdans Sm . . . 41
Gλ := Sλ/Pλ = SX1× · · · ×SXr, siλ = (λ1, . . . , λ`) = (dX1 1 , . . . , dXr r ) . . . 42
χc(Z; i) , χ(Z; i), caractères de Sm-module deHi c(Z, k) et de Hi(Z, k) . . . 42
IndS|λ| Gλ := indS|λ| Sλ ◦ ResS` Gλ, où Sλagit à travers de la surjectionνλ: Sλ→→ Gλ . . 43
Im` : kc[S`]→ kc[Sm], opérateur sur les fonctions centrales . . . 43
I(σ) := Im0 m1◦ · · · ◦ Imt−1 mt : kc[Smt]→ kc[Sm0], opérateur d’inductions itérées . . 44
Θm` := (−1)m−`P σ:m&`(−1)|σ|−1I(σ) : kc[S`]→ kc[Sm], opérateur d’induc-tions itérées . . . . 44
Cohomologie des espaces de configuration, cas général pm: Fm+1→→ Fm, projection sur lesm premières coordonnées . . . 46
Hi bm(M ) := HdM−i c (M ; k)∨, cohomologie de Borel-Moore d’une pseudovariété M dimensiondM . . . . 46
h−,−iM accouplement de la dualité de Poincaré sur la variété topologique orientéeM . . . 47
σM(fa) action defa! sur la classe fondamentale de Ma, i.e.f!([Ma]) = σMa(f )· [Mf (a)] . . . 48
pb!: Hc(Fb+a(M )→ Hc(Fb(M ))[−a dM], intégration sur les fibres . . . 49
sgn(g) signature deg∈ Sm . . . 49
σMm(g) := sgn(g)dimM, action deg∈ Smsur l’orientation deMm . . . 49
(−)∨ dualité vectorielle . . . 49
σm la représentation par « signature » de Sm . . . 50
( ˇCp(U,−), d), complexe de p-cochaînes simpliciales (non ordonnées) . . . 51
( ˇC<p(U,−), d), complexe de p-cochaînes (simpliciales) ordonnées . . . 52
( ˇCp ε(U,−), d), complexe de p-cochaînes (simpliciales) alternées . . . 52
εp : ( ˇC<p(U,−), d)→ ( ˇCp
ε(U,−), d), quasi-isomorphisme d’antisymétrisation . . . . 52
U(i0,...,1p) une copie deUi0,...,ipparamétrée par l’uplet(i0, . . . , ip) . . . 52
GUm faisceaux Sm-équivariant surUm . . . 53
(Ω∗c(U ), d) := Γ (U ; (A•(X; k), d∗)), le complexe des cochaînes à support com-pact deU . . . 55
(ΩM,c, d) complexe de cofaisceaux (flasques) des cochaînes à support compact surM . . . 55
(Ω∗bm(U ), d∗) := ((Ω∗c(U ), d∗)∨)[−dM], le complexe des cochaînes de Borel-Moore surU ⊆ M . . . 55
(ΩM,bm, d∗) complexe de faisceaux (flasques) de germes de cochaînes de Borel-Moore deM . . . 56
ˇ C(Um)∗ c,• := ˇC•(Um; Ω∗M,c(−)), ∂•, d∗ , bicomplexe de chaînes de Čech à support compact deUm . . . . 56
ˇ C(Um)•,∗bm := ˇC•(Um; Ω∗M,bm), δ•, d∗ , bicomplexe de cochaînes de Čech-Borel-Moore deUm . . . . 57
IF Hbm∗ (Um), IF tot∗( ˇC(Um)•,∗bm), filtrés par degrés de cochaînes de Čech des objets concernés . . . . 57
IEσ(Um) := IE(Um)⊗ σm, suite spectrale pour le complexe de faisceaux Sm -équivariantsΩ∗Um,bm⊗ σm . . . . 59
Ξm p+1 décomposition canonique deHbm(Um m−p,...,m) . . . 59
F(p+1, m) ensemble des applications f : [[1,m]] strictement croissantes sur [[1,m−p[[ qui fixent [[m−p,m]] . . . 59
γm(ω) = (−1)|ω|m+ m(m−1) 2 dM cm(ω), renormalisation du morphisme de liaison . 64 F•(p+2, m+1), ensemble des applications f : [[1,m+1]] strictement croissantes sur[[1,m−p[[ qui fixent [[m−p,m+1]] . . . 72
Stabilité des familles de représentations FI catégorie des ensembles Finis et des applications I njectives . . . 75
Mod(A[FI]), catégorie des FI-modules . . . 75
V = {φm: Vm→ Vm+1}m, famille dénombrable représentant unFI-module . . . . 76
φm+b,m : Vm→ Vm+b, morphisme de transition deV = {φm: Vm→ Vm+1} . . . . 76
V>q tronqué deV qui préserve les Vmpourm> q et annule les autres. . . 77
V6q tronqué deV qui préserve les Vmpourm6 q et annule les autres. . . 77
a:= [[1,a]] notation pour l’ensemble fini représenté par l’intervalle[[1,a]] . . . 77
M(a) le foncteur représentable(−) A[MorFI(a,−)] . . . 77
hΣi ⊆ V sous-FI-module deV engendré parΣ⊆`mVm . . . 78
W := {Sm:Wm}m, famille de représentations de dimensions finies des groupes symétriques . . . . 79
χ(W) := {χSm(Wm)}m, famille des caractères associée àW . . . 79
dimk(W) := {dimk(Wm)}m, famille des dimensions associée àW . . . 79
V (λ)m la représentation irréductible de Smcorrespondante àλ[m] . . . 80
dxe ∈ Z partie entière par excès dex∈ R, i.e. dxe − 1 < x 6 dxe. Le nombre dm/`e est le plus petit nombre de colonnes d’un diagramme de Young de taillem possédant ` lignes, on convient qued0/0e = 0 . . . . 80
rgs(V) rang de stabilité deV . . . 81
rgm(V) rang de monotonie deV . . . 81
rgms(V):= sup{rgm(V), rgs(V)}, rang (de monotonie et stabilité) de V . . . 81
Règles de Littlewood-Richardson, règles de Pieri, règles de branchement, . . . 83
P(V) poids deV . . . 84
W(>t),W(6t),W(t), scindés par le poids deW . . . 85
MH a : Mod(k[H])→ Mod(k[FI]), . . . 86
Ma :=MSa a , alias de notation . . . 86
FB catégorie des ensembles Finis et des applications Bijectives . . . 87
M(λ): = M|λ|(Vλ), . . . 88
V (λ)m+1:=M(λ)(>|λ|)/M(λ)(>|λ|), on aV(λ) = {φm: V (λ)m→ V (λ)m+1}m 88 Φt:= (−)Sm−t : Mod(Sm) Mod(St), foncteur de Sm−t-co-invariants . . . 90
Φt(W) k[St][T ]-module gradué associé au FI-moduleW . . . 91
cλ(m) := lλ(m)· aλ· bλ, symétriseur de Young associé àλ[m] . . . 91
deg-stabt(W), degré de stabilité en t ∈ N d’un FI-module W . . . 93
deg-injt(W), degré d’injectivité en t ∈ N d’un FI-module W . . . 93
deg-stab(W) := supt∈N{deg-stabt(W)}, degré de stabilité d’un FI-module W . . 93
rge m(W) , rge ms(W), rangs étendus du FI-module W . . . 94
λ\n siλ = (1X1, 2X2, . . .)` m, on pose λ\n = (1X1+n−m, 2X2, . . .) . . . 96
λ Siλ = (1X1, 2X2, 3X3, . . .), on pose λ = (10, 2X2, 3X3, . . .) . . . 97
SL on aL⊆ [[1,m]] et SL := FixSm([[1,m]]rL) . . . 101
L0 pourL⊆ [[1,m]], on pose L0 := L` {m + 1} . . . 101
T(p+1, m) ensemble de tableau paramétrant F(p+1, m) . . . 113
T•(p+1, m) ensemble de tableau paramétrant F•(p+1, m) . . . 113
(−)• : T(p+1, m)→ T•(p+2, m+1), application qui rajoute une boite isolée . . . . 113
Tb(I) ensemble des tableaux à(|I|+b) boites dont la première colonne est [[1,b]] et dont I remplit les autres boites . . . 113
p(τ ) partition de[[1,b]] déterminée par le tableau τ ∈ Tb(I) . . . 114
ΨI b :L τ∈Tb(I)Hc(Fτ)→Hc(∆|I|+b(ZI×Fb)), isomorphisme de SI×Sb-modules 114 Ψτ restriction deΨI bàHc(Fτ) . . . 117
T0(b, m) ensemble de tableaux « normaux » dans T(b, m) . . . 118
Hτ le stabilisateur deτ dans Sm−b×Sb . . . 119
Fτ :={x ∈ M>0m−(p+1)×Fp+1| xi= xfτ(i)}, . . . 119
Calcul du caractère deSm-module deHc(Fm(X)) χV : Sm→ k[[T ]], série de caractères d’un Sm-module graduéV . . . 123
χc(M )( −, T ) : Sm→ k[[T ]], série de caractères de Sm-module deHc(M ) . . . 124
σm∈ Sm la permutation cyclique(1, 2, . . . , m) . . . 124
Cm:=hσmi, sous-groupe de Smengendré parσm . . . 124
µ(−) fonction de Möbius . . . 125
Nombres de Betti des quotients des espaces de configuration CFm(X) := Fm(X)/Cm, espace de configurations cycliques deX . . . 134
φ(−) fonction indicatrice d’Euler . . . 135
deg graduation dek[X1,X2, . . .] telle que degXk= k . . . 138
a0∗b= 1 , et aX∗b := a(a− h)(a − 2h) · · · (a − (X−1)h), factorielle décrois-sante étendue . . . 141
Suites spectrales de Leray Hπ!(πY), Hπ!(Y ; B), Hπ!(Y ), cohomologie à support π-propre pour la fibration πa : Y → B . . . 149
D+ k(Y ) catégorie dérivée des complexes de faisceaux dek-espaces vectoriels surY bornés inférieurement . . . 150
∆m[a] ?` notation abrégée de∆[a] ?`Xm:= ∆?`Xm ∩ (Xm−a×Fa) . . . 152
Pπ!(Z; U )(T ), polynôme de Poincaré pour la cohomologie à support π-propre d’un espaceZ basé sur U⊆ Fa(X) . . . 155
Hi π!(Y ) := IRiπa!(kY), faisceau de cohomologie à support π-propre pour l’applicationπa : Y→ Fa . . . 156
UY πa : Y → FaetU ⊆ Fa, on poseUY := πa−1U . . . 157
C composante connexe deFa . . . 157
c : Y → {pt}, application constante . . . 160
SaC :=S g∈Sag· C, saturé d’une partie C ⊆ Fasous l’action de Sa . . . 166
Rappels sur les nombres de Stirling xn:=x(x + 1)· · · (x + (n − 1)), n-ième factorielle croissante de x. . . 181
xn:=x(x− 1) · · · (x − (n − 1)), n-ième factorielle décroissante de x. . . 181
s(i, j), s(i, j), nombres de Stirling de première espèce resp. signés et non signés . . 182
S (i, j), S(i, j), nombres de Stirling de seconde espèce resp. signés et non signés . . 183
[m `] = s(i, j) cardinal de l’ensemble des permutations d’un ensemble à i éléments qui sont produits d’exactementj cycles . . . 184
{i j} = S(i, j), cardinal de l’ensemble Pj(E) de partitions d’un ensemble E à i éléments enj parties non vides . . . 184