Nombre de Damköhler optimal

Notre observation concernant la valeur constante du débit optimal dans le wormhole dominant permet de commenter le nombre de Damköhler optimal défini par Fredd et Fogler (Fredd et al., 1997, Fredd & Fogler, 1999). Nous expliquions dans l’introduction qu’ils ont observé pour une large variété de système roche-acide une valeur unique de leur nombre de Damköhler généralisé (4.1) aux conditions optimales. Nous rappelons que ce nombre adimensionnel dépend du débit dans le wormhole, du diamètre dwh-opt et de la longueur Lwh du wormhole dominant, ainsi que du taux de dissolution globale.

La Figure 4.6 présente le diamètre dwh-opt du wormhole dominant aux conditions optimales pour différentes valeurs du facteur de forme F. L’écart relatif maximal de la moyenne est de 13.4 % et se produit pour F égale à 1. En tenant compte de l’erreur due à la taille des mailles, à la mesure du diamètre et aux effets des hétérogénéités, le diamètre du wormhole dominant aux conditions optimales peut être considéré comme indépendant du facteur de forme et insensible aux effets de confinement. Par conséquent, si nous considérons que le diamètre et le débit dans le wormhole dominant aux conditions optimales sont indépendants du facteur de forme F, le nombre de Damköhler généralisé de Fredd et Fogler devient alors insensible à l’effet de confinement pour une longueur Lwh donnée. En perspective, il serait intéressant d’étudier l’évolution de tous ces paramètres aux conditions optimales en fonction de la longueur du wormhole dominant.

-101- 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 F 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 F di am èt re ( m m )

diamètre mesuré du wormhole dominant au conditions optimales diamètre moyen du wormhole dominant aux conditions optimales 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 F 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 F di am èt re ( m m )

diamètre mesuré du wormhole dominant au conditions optimales diamètre moyen du wormhole dominant aux conditions optimales

Figure 4.6 : Diamètre du wormhole dominant aux conditions optimales en fonction du facteur de forme F.

Pour conclure sur l’effet du confinement dans les expériences antérieures nous tentons d’expliquer grâce à nos résultats les désaccords dans la littérature à propos de la description de l’optimum.

Daccord et al. (Daccord et al., 1989, Daccord, 1987) ont défini le nombre de Péclet comme étant le rapport entre le débit dans le domaine et le coefficient de diffusion multiplié par le rayon du domaine, et ils en ont déduit que l’optimum se produisait pour un nombre de Péclet juste au dessus de l’unité. Cette valeur correspond à la transition entre le régime de wormholes coniques et le régime de wormholes dominants. Au delà de cette valeur, ils observent une croissance du volume pour percer augmentant avec le débit en puissance 1/3. Tout d’abord, cette correspondance entre ces régimes de dissolution et le nombre de Péclet est cohérente avec le diagramme Pe- Da de Golfier (Figure 1.3) et nos résultats du chapitre 2. Ensuite nous avons vu que les expériences qui avaient conduit à ce résultat avaient été probablement réalisées en domaine peu ou pas confiné, en tout cas pour les expériences en géométrie radiale. Dans ce cas, ces essais ont vu les mécanismes de compétition entre wormholes intervenir pleinement dans la dissolution. Nous avons vu dans le chapitre 3 que la compétition entre wormhole était dépendante du nombre de Péclet. Il est donc logique

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que Daccord et al. (Daccord, 1987, Daccord et al., 1989) aient observé une vitesse optimale dépendante du nombre de Péclet.

A l’inverse, les expériences de Fredd et Fogler définissent l’optimum par une valeur unique du nombre généralisé de Damköhler (4.1), ce qui correspond dans leurs expériences au régime de wormholes dominants, proche de la transition vers le régime de wormholes ramifiés. Cette différence s’explique par le fait que leurs expériences ont été réalisées en domaine très confiné, ne laissant se développer qu’un seul wormhole. Celles-ci occultent donc les mécanismes de compétition entre wormholes. Pour cette raison, ils n’observent pas de dépendance de l’optimum en fonction du nombre de Péclet. On comprend que dans ces conditions la vitesse optimale soit celle qui produit un wormhole unique le plus fin possible tout en gardant un front de dissolution en équilibre local. Cette figure de dissolution implique que le nombre de Péclet soit maximal tout en gardant un nombre de Damköhler suffisamment élevé pour éviter le régime de wormholes ramifiés. Ainsi, les essais en domaine confinés de Fredd et Fogler (Fredd et al., 1997, Fredd & Fogler, 1999) ne peuvent caractériser la vitesse d’injection optimale qu’à travers le nombre de Damköhler.

Cette dernière analyse permet d’expliquer les différences sur la définition de l’optimum de Daccord et al. (Daccord et al., 1989, Daccord, 1987) et de Fredd et Fogler (Fredd et al., 1997, Fredd & Fogler, 1999) qui sont deux des plus importants travaux présentés dans la littérature sur notre sujet. De plus, notre analyse montre qu’en réalité l’optimum est probablement dépendant à la fois du nombre de Damköhler et du nombre Péclet. La vitesse d’injection optimale se trouve dans le régime de wormholes dominants et nous avons vu à travers notre étude de stabilité linéaire que dans la gamme de débit produisant ce régime, la stabilité du front était sensible à la fois au nombre de Péclet et au nombre de Damköhler. Pour cette raison, la description de l’optimum proposée par Panga et al. (Panga et al., 2005) qui se base sur le rapport entre ces deux nombres adimensionnels est intéressante. Néanmoins, leur description pose deux problèmes. Le premier est qu’elle propose deux définitions du nombre Λ0 selon

que l’on se trouve en dissolution limitée par le transfert de masse ou limitée par la cinétique de réactions. Par conséquent, ils caractérisent l’optimum qui est une mesure réalisée à l’échelle de la carotte par un nombre adimensionnel dont la définition dépend

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de l’échelle du pore. Cette description induit potentiellement une confusion entre deux des échelles physiques de la dissolution. Le second problème est que leur description de l’optimum est construite autour des caractéristiques d’un wormhole unique et ne tient pas compte de la compétition entre wormholes.