5.4 Exp´erimentation 3 : algorithmes sur les grilles boucl´ees
5.4.1 D´e fi nition des grilles boucl´ees et les distances line th´eoriques
Chaque sommet deGk,k� est identifi´e par le couple (i, j) avec 0≤i < k et 0≤j < k�. Le sommet (i, j) est adjacent au sommet :
• (i, j+ 1) si j < k�−2
• (i+ 1, j) si i < k−2
• (i, j−1) si j >0
• (i−1, j) si i >0
De plus, les sommets (0,0) et (0, k−1), (0,0) et (0, k�−1) , (k−1,0) et (k−1, k�−1), (0, k�−1) et (k−1, k� −1) sont adjacents. On remarque que tout graphe induit par un sommet et son voisinage forme un graphe ´etoileK1,4. La figure 5.17 est un exemple degrille boucl´eeG4,4. Ce graphe contient 16 sommets, 28 arˆetes. Les sommets (0,0),(0,1),(1,1),(1,0) forme une cellule et le graphe G4,4 contient 10 cellules.
D´efinition 11. Une cellule est un cycle de longueur4identifi´e par les sommets(i, j), (i, j+1),(i+1, j)
5.4. EXP ´ERIMENTATION 3 : ALGORITHMES SUR LES GRILLES BOUCL ´EES 121
Figure 5.17: La grille boucl´ee G4,4 : elle est compos´ee de 16 sommets, 28 arˆetes et 10 cellules.
Si k =k�
= 2, la grille boucl´ee G2,2 est la cellule C0,0.
Propri´et´e 2. Le graphe Gk,k� poss`ede k × k� sommets, k × (k� − 1) + k� ×(k −1) + 4 arˆetes et
(k−1)×(k�−1) + 1 cellules.
5.4.1.2 Correction des grilles boucl´ees
Nous allons consid´erer les modifications de l’ensemble des arˆetes deGk,k� afin d’obtenir un line-graphe. La premi`ere modification se base uniquement par ajout d’arˆetes et la seconde sur la suppression d’arˆetes uniquement. Nous supposons que les deux op´erations conduisent sur la mˆeme borne sup´erieure de
DL(Gk,k�).
5.4.1.2.1 Modification par ajout d’arˆetes uniquement
Soit le grapheGk,k� contenant (k−1)×(k�−1) + 1 cellules. Pour transformer chaque cellule en cliques comme cela est illustr´e dans la figure 5.18, nous ajoutons 2 arˆetes. Nous consid´erons le sommet (0,0) contenu dans les cellules C0,0 et Ck−1,k�−1. Nous ajoutons 2 arˆetes dans C0,0 et Ck−1,k�−1. Ces cellules deviennent des cliques K4.
L’arˆete {(i, j + 1),(i+ 1, j)} appartient aux cellules Ci,j et Ci,j+1. Or cette arˆete est d´ej`a couverte par une clique K4 de la cellule Ci,j. Alors nous ne pouvons pas ajouter d’arˆetes dans la cellule Ci,j+1. L’arˆete{(i, j+ 1),(i, j+ 2)}forme une cliqueK2. Le sommet (i, j+ 1) est couvert par une cliqueK4 et
une clique K2. Le sommet (i+ 1, j) est aussi couvert par une clique K4 et une clique K2 parce que les cellulesCi,j etCi+1,j partagent l’arˆete{(i+ 1, j),(i+ 1, j+ 1)} et cette arˆete forme une clique K4 avec la cellule Ci,j. Les cellulesCi,j etCi+1,j+1 ne partagent que le sommet (i+ 1, j+ 1). En plus les arˆetes
{(i+ 1, j + 1),(i+ 2, j + 1)} deCi+1,j et{(i+ 1, j+ 1),(i+ 1, j+ 2)} de Ci,j+1 ne sont pas couvertes par une clique K4. Nous pouvons alors transformer Ci+1,j+1 en une clique K4 en ajoutant 2 arˆetes. Ainsi, dans des cellules successives en lignes (avec k) ou en colonnes (avec k�), nous ajoutons des arˆetes dans�k×k�
2 �+ 1 cellules. L’arˆete d’une cellule qui n’est pas contenue par une cliqueK4 forme une clique
K2. Les cellules ayant un seul sommet en commun sont transform´ees en des cliques K4. `
A lafin de la correction, la grille boucl´eeGk,k� est partitionn´ee en des cliquesfiniesK4etK2. Dans cette construction, nous remarquons que chaque sommet est couvert par 2 cliques. De cette construction d´ecoule le lemme suivant :
Lemme 7. La distance line d’un graphe cellule Gk,k� avec l’op´eration ajout uniquement est
DL(Gk,k�)≤k×k�
+ 3 (5.4)
Figure 5.18: La grille boucl´ee corrig´e G4,4 : elle est compos´ee de 16 sommets, 33 arˆetes. Il contient 4 cliques K2 et 6 cliques K4. Les arˆetes ajout´ees sont les traits de couleur rouge.
Dans la figure 5.18, nous r´ealisons la correction de distance lineDL(G4,4)≤12 en transformant les cellules partageant un sommet en cliques K4. C’est le cas des cellules C1,2 et C0,2 qui ont le sommet
5.4. EXP ´ERIMENTATION 3 : ALGORITHMES SUR LES GRILLES BOUCL ´EES 123 (1,2) en commun. Les arˆetes partag´ees entre deux cellules ont un des sommets couvert par une clique
K2 et l’autre sommet couvert par une clique K4. Tel est le cas avec le sommet (3,2) qui forme l’arˆete
{(2,2),(3,2)} et cette arˆete est contenue par une cliqueK4.
5.4.1.2.2 Modification par suppression d’arˆetes uniquement
Soit le graphe Gk,k� contenant (k−1)×(k�−1) + 1 cellules. Nous supprimons les arˆetes
[{(0,0),(k−1,0)},{(0,0),(0, k�−1)},{(k−1,0),(k−1, k�+ 1)}] de la cellule Ck−1,k�−1. Cette cellule contient uniquement l’arˆete{(0, k�−1),(k−1, k�−1)}et cette arˆete forme la cliqueK2. Nous supprimons ´egalement les arˆetes{(0, k�−2),(0, k�−1)}et{(k−2, k�−1),(k−1, k�−1)}incidentes respectivement aux sommets (0, k�−1) et (k−1, k�−1) de sorte que ces sommets soient couverts par deux cliques K2. Ils sont couverts par deux cliques K2 c’est-`a-dire {(0,0),(1,0)}et {(k−2,0),(k−1,0)}.
Consid´erons les sommets de degr´e 4. Soit (i, j) un tel sommet. Pour former une bipartition autour de ce sommet, nous allons supprimer 2 arˆetes. Chaque arˆete appartient `a deux cellules voisines. Dans notre cas, nous supprimons l’arˆete {(i−1, j),(i, j)} entre les cellules Ci−1,j−1 et Ci−1,j et aussi l’arˆete
{(i, j),(i+ 1, j)} entre les cellulesCi,j−1 et Ci,j. Ces sommets sont couverts aussi par des cliques K2. Les arˆetes incidentes `a un sommet de degr´e 3 et n’´etant pas des cliques K2 sont aussi supprim´ees.
`
A la fin de l’algorithme de correction, la couverture de corr´elation ne contient que des cliques K2. Le graphe Gk,k� est un graphe hamiltonien. La distance de correction entre Gk,k� et L(Gk,k�) est
DCk,k� = (k−1)×(k�−1) + 3 et cette distance est minimale.
Lemme 8. La distance line d’une grille boucl´ee Gk,k� avec l’op´eration suppression uniquementd’arˆetes est
DL(Gk,k�) = (k−1)×(k�
−1) + 3 (5.5)
Une illustration de la correction avec l’op´erationsuppression uniquementest faite avec la grilleG4,4
dans la figure 5.19. La grille G4,4 poss`ede k×k� = 16 cliques K2 et 12 arˆetes sont supprim´ees.
Conclusion : nous avons d´etermin´e deux types de modifications d’arˆetes qui ont une borne sup´erieure de la distance line pour chaque op´eration. En revanche, les cliques formant la couverture de corr´elation sont diff´erentes selon la modification. Dans la modification ajout d’arˆetes uniquement, le grille boucl´e Gk,k� contient des cliques K4 etK2 alors que Gk,k� ne contient que des cliques K2 dans
Figure 5.19: La grille boucl´ee G4,4 : elle est compos´ee de 16 sommets, 16 arˆetes et 16 cliques K2. Les arˆetes supprim´ees sont les traits en pointill´ees rouges