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( p r o j e t d ' a r t i c l e )
PLAN :
& 1. Les mutations d'une algèbre de Jordan.
& 2. Le cas des algèbres de Jordan de forme réelle.
& 3 . Applications géométriques.
RESUME ET ENONCE DES PRINCIPAUX THEOREMES :
& 1. Les mutations d'une algèbre de Jordan :
Soit °U une algèbre de Jordan. Pour f G îf, posons x 1 y » x(yf) + y(xf) - (xy)f
f
Alors 'îf est une algèbre de Jordan pour le produit x 1 y, appelée la mutation de °U par rapport à f et notée °U
On rappellera ici les propriétés connues des mutations pour établir le résultat nouveau suivant :
PROPOSITION 1. - Si % est de dimension finie sur R et dotée d'un élément neutre e3 et si x et y appartiennent à la même composante connexe de
Inv(<^)., alors °U et °U sont isomorphes.
x y
Soit ^ t = °U © i ^ la complexifiée de # et c un idetnpotent de
Les groupes de transvections des espaces symétriques • • •
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Le sous-espace vectoriel ^ (c) © i ^ j (c) © ^0( c ) de °ll^ est une sous-algèbre de Jordan réelle de W^ (^j(c), 0^\/2^ e t ^ o( c ) désignent la décomposition de Peirce de °lt par rapport à l'idempotent c) .
Soit w = 2c-e lfinvolutif associé à c.
On a alors le résultat fondamental suivant :
THEOREME 2. - Soit x E °ll, x = x^ + x ^2 + x0 dans la décomposition de Peirce par rapport à c. L'application h définie par
h(x) = X j + ix]/2 - x0
est un isomorphisme de sur ^ j ( c ) © i ^ j ^ C c ) + ^0( c ) ( h est une application de ^^ dons ^ ( c ) © i ^ j ^ C c ) © <%0(c)car °U et ^ coïn-cident en tant qu'ensembles). Toute mutation de °U> pour x E I n v ( ^ )J est isomorphe à une algèbre de la forme ^ ( c ) © i ^ ^ ( c ) © ^0( c ) .
Pour la démonstration, on vérifie à la main que h est un isomorphisme en s'appuyant sur les règles de multiplication de la décomposition de
Peirce, D'après Braun-Koecher, toute composante connexe de I n v ( ^ ) contient un involutif : compte tenu de la proposition 1 , il s'ensuit que toute
mu-tation pour x E I n v ( ^ ) est isomorphe à une algèbre de la forme 4f,(c) © i ^ i/ 2( c ) © ^o( c ) .
Seules les mutations de la forme °ll avec x E I n v ( ^ ) sont
intéres-x . -1
santés, car ce sont celles qui possèdent un élément neutre, à savoir x Compte tenu du théorème 2, nous étudierons exclusivement les algèbres °U avec w involutif : w est alors l'élément neutre de .
w S 2. Le cas des algèbres de Jordan de forme réelle :
Ce paragraphe sera dévolu essentiellement à la démonstration du théo-rème de classification suivant :
THEOREME 3. - Toute mutation d'une algèbre de Jordan de forme réelle simple est isomorphe à l'une des algèbres de Jordan de la liste suivante, où deux distinctes d'entre elles ne sont pas isomorphes :
a) R
°U = RCj © R c2 © E3 où E est un espace vectoriel de dimension p > 0 sur fR admettant une base (e.) avec les règles de
1 1 < i < p
Les groupes de transvections des espaces symétriques • . •
multiplication suivantes : et sont deux idempotents
orthogo-naux, c e . = i e; e ? = ci+ C9 - > e;e: = 0 Pou* i^J •
°li = R c] © R c2 © iE3 at?ec? des règles de multiplication déduites de ci-dessus.
b) Soient k, Bj C des matrices à coefficients sur un même corps
qui peut être le corps des réels, des complexes, ou des quatevnions.
A et B sont des matrices carrées hermitiennes pour l'involution du corps considéré, respectivement de type (p,p) et de type (q,q) avec p < q. On suppose que C est une matrice à q lignes et p colon-nés, et si C = (c£j)^o n P^se C = (c.^) où c_.^ désigne le conjugué de c . pour l'involution de K.
i4Ztfrs l'ensemble °li des matrices de la forme X » ^ ^ ^ est une algèbre de Jordan pour le produit XY = ~ (XÔY + YoXi où o désigne
le produit habituel des matrices.
c) On fait la même construction qu'en b) avec des matrices à coeffi-cients dans l'algèbre des octonions, dans les deux cas suivants seulement : p=0 et q=3J p=l et q=2 .
Pour la démonstration, on part de la classification existante des algèbres de Jordan de forme réelle. Compte tenu du théorème 2, on consi-dère les mutations °U où w = \ c - 2 où ( c ) est un
wq q i-1 1 j-q+1 1 1 < i < r
s.t.o.i.p. Compte tenu de l'identification des composantes connexes faite dans ma thèse, il s'ensuit que toute mutation est isomorphe à une #
v * r
La restriction q < se justifie par 11 isomorphisme entre I n v ^ ( ^ ) et I n vr_k( « ) .
& 3 . Applications géométriques :
L'intérêt des mutations pour lfétude des espaces symétriques provient de ce que si P^(x) désigne la représentation quadratique et (y"')j l'in-verse de x dans alors P(x)y 1 • Pf(x)(y
Aussi, pour étudier une composante connexe de I n v ( ^ ) , on dispose de deux techniques : soit une étude directe dans °U , soit l1étude dans une mutation °U^y où w est un involutif appartenant à la composante connexe
Les groupes de transvections des espaces symétriques . . .
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Désignons par Tr(x) la trace de x, x E °ll ( °ll est de forme réelle).
Il est immédiat que x+iy i—*Tr(x) + iTr(y) est une forme linéaire associative de °ll _ dans C Sa restriction à °U. (c) + i<#, , (c) + <2T(c) est réelle, car ^ 1 ^ ^ ° ^ — ^e r Tr# Comme cette forme est associative, on peut montrer comme dans lfAnnexe 1 qu'elle fournit au-dessus de I n v ( ^ ^ ) une métrique pseudo-riemannienne compatible avec les symétries : cette métrique est la même que celle induite par °lt.
On sait, (Braun-Koecher) , que si g : °U «—•R est une forme linéaire associative, alors définie par g^M = g(wx) est une forme linéaire associative de °ll^ dans R. On peut montrer que la trace de
^ © ^ ^ 1 / 2 ® est en f a^t ob te nu e Pa r ce Procédé modulo l'isomor-phisme h du théorème 2.
Si w E M^, nous avons vu dans l'annexe 1 que
= U G <%\E, = ç1 + ç + Ço avec Tr(Ç,) = Tr(Ç0)}. Si l'on consi-dère ML comme partie de l'algèbre %. + i Ql. + ^0, en désignant par T'r la forme induite par Tr sur cette algèbre, il vient :
W
= { Ç E*
w|T
fr(Ç) = 0}
(compte tenu du fait que 1'isomorphisme est donné par x, + x ,/ 2 + x0 . — * x, + i x] / 2 - xo) .
Les groupes de transvections des espaces symétriques . . •
BIBLIOGRAPHIE
[ 1 ] BRAUN H. und KOECHER M-, Jordan-Algebren, Springer-Verlag (1966).
[ 2 ] LOOS O., Symmetric Spaces I : General Theory, II : Compact Spaces and Classification, Benjamin (1969).
[ 3 ] TILLIER A., Quelques applications géométriques des algèbres de Jordan, Publications du Département de Mathématiques de LYON, tome 14, fasc. 3
(1977).
On pourra de plus consulter :
BOOTHBY W.M., Symmetric Spaces, Marcel Dekker, Inc. (1972).
HELGASON S., Differential geometry and symmetric spaces, Academic Press (1962).
HELWIG K.H., Jordan-Algebren und kompakte symmetrische Raüme I, Math. Z., 115, p. 315-349 (1970).
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KOECHER M., Jordan algebras and their applications, Lectures Notes, U. of Minnesota, Minneapolis (1962).
KOECHER M., Jordan algebras and differential geometry, Actes, Congrès intern. Math., 1970, Tome 1, p. 279-283.
MAC GRIMMON K., Quadratics methods in Non associative algebras, Proc.
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TILLIER A., Sur les idempotents primitifs d'une algèbre de Jordan formelle-réelle, C R . Acad. S c Paris, t. 280, p. A767 -A769 (1975).
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A. TILLIER
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES 43, bd du 11 novembre 1918
69521 VILLEURBANNE