A modelagem da variável produtividade não só foi feita por diferentes metodologias como também produziu distintos resultados a respeito do seu comportamento.
Goodwin e Ker (1998) relatam que a produtividade comumente apresenta assimetria negativa, que reflete o fato das plantas terem uma restrição biológica que limita o rendimento máximo. Por outro lado, fatores climáticos frequentemente afetam o ciclo produtivo, gerando baixas produtividades. Outro aspecto importante lembrado pelos autores diz respeito ao nível de agregação dos dados, pois a sua segregação em nível de município ou microrregião pode revelar idiossincrasias particulares à área, tendendo a reduzir a variância da produtividade.
Para modelar uma variável é necessário entender a natureza do processo gerador dos dados. A produtividade agrícola é dependente de um processo biológico condicionado por fenômenos meteorológicos. Por essa razão, a abordagem utilizada por Ker e Goodwin (2000) e Ozaki (2005) de que as produtividades seguem um processo gerador espaço-temporal tem ganhado relevância. Entretanto, segundo Goodwin e Ker (2002) a maioria dos trabalhos empíricos utiliza um processo gerador temporal como única dimensão para estimar a densidade da produtividade.
Ker e Goodwin (2000) sugeriram também que a modelagem de produtividade poderia ser realizada por uma distribuição mista de duas normais, proveniente de duas sub- populações, uma oriunda de anos não catastróficos e a outra de catastróficos. Nessa perspectiva, a distribuição dos anos catastróficos estaria inserida na cauda inferior da distribuição da primeira sub-população, sendo que ela teria menos massa porque as produtividades dos anos catastróficos ocorrem com menos frequência e tem valores esperados menores.
A distribuição da produtividade ao longo dos anos foi tratada preponderantemente como normal. Estudos mais antigos, até pelas limitações computacionais existentes, invariavelmente utilizavam essa abordagem. Um estudo clássico que inclusive apresentou metodologia para extrair as taxas de prêmio para o seguro agrícola pela curva normal foi o de Botts e Boles (1958). Modelos de decisão que demandam simulação de faturamento frequentemente apoiavam-se na premissa da normalidade, não só para a variável produtividade, mas também para os preços (LAPAN; MOSCHINI, 1994).
Muitos estudos recentes têm rejeitado a hipótese da normalidade, entretanto há outros que concluem que ela não pode ser refutada. Nessa direção, o estudo de Just e Weninger (1999) elege a distribuição normal como uma adequada opção para a modelagem da produtividade. Esses autores citam que os trabalhos que sugeriram assimetria da produtividade agrícola e rejeitaram a normalidade não oferecem consistência e tampouco apresentam alternativas e justificativas melhores que a da normalidade.
Eles identificaram três problemas metodológicos comuns nas análises da distribuição de produtividade: a) erro de especificação de componentes não aleatórios da distribuição de produtividade; b) má apresentação e análise das estatísticas de significância e c) uso de dados agregados para representar distribuições de produtividade em nível de propriedade rural.
Um aspecto extremamente relevante endereçado por esses autores diz respeito ao uso de dados agregados, pois os autores elucidam que as médias municipais, por exemplo, são médias ponderadas de uma amostra de produtores. Esse procedimento elimina as informações específicas das fazendas e enfatiza a aleatoriedade intertemporal comum dos produtores da região pesquisada, encobrindo a aleatoriedade específica das fazendas. Para Just e Weninger (1999), a distribuição da variável em nível de fazenda é essencial para a análise do seguro agrícola.
Atwood, Shaik e Watts (2002) investigaram as consequências da utilização da curva normal na determinação do prêmio de um tipo de seguro de proteção de renda (IP61). Os autores decompuseram a variabilidade da produtividade, assumindo que parte advém da região na qual a propriedade está inserida e outra das condições intrínsecas da própria fazenda.
Os autores rejeitaram a normalidade para a maioria dos produtos e regiões testadas. Concluíram ainda, pela comparação com as taxas empíricas, que em alguns casos, a exemplo do milho em Illinois, a assunção da normalidade leva a fixação de um prêmio equivalente a 66% do que deveria ser, ou seja, pode determinar uma subestimação do risco e do prêmio.
Visando promover uma reconciliação com os estudos anteriores, Harri et al. (2009) realizaram estudo com produtividades em nível de município, estimando modelos lineares de tendência, polinomiais e autorregressivos. O trabalho levou os autores a concluírem que a assunção a priori de normalidade é razoável em muitos municípios e regiões dos Estados Unidos, mas os resultados dependem do produto agrícola, das condições da respectiva região e do padrão tecnológico corrente, dentre outros fatores.
Henessy (2009) relaciona informações climáticas com a produtividade, com o intuito de explicar o seu comportamento e assimetria. O autor constata a presença de assimetria na distribuição da produtividade, inclusive quando dados agregados são utilizados.
Para o pesquisador, a agregação de fatores climáticos pode contribuir para reduzir a assimetria na modelagem. Quando essa recomendação for utilizada em procedimentos atuariais, o autor sugere ainda que os condicionantes climáticos sejam de baixo custo, enfatizando que podem ser utilizadas informações como: conteúdo de argila no solo, capacidade de retenção de umidade e outras variáveis agronômicas, assim como informações meteorológicas fornecidas antes da safra, como o teor de umidade do solo ou prognóstico de eventos como El Niño.
O artigo de Ozaki et al. (2008) concentra-se nos métodos estatísticos e atuariais com o objetivo de propor fórmula alternativa de cálculo da taxa de prêmio de seguro de produtividade de milho para os municípios paranaenses, por meio de modelagem espaço- temporal.
Modelos hierárquicos Bayesianos são aplicados com o intuito de modelar o processo estocástico gerador dos dados de produtividade e, ao mesmo tempo, considerar o
efeito temporal, a variação espacial e dinâmica da relação espaço-temporal subjacente à produtividade agrícola. Na metodologia proposta, a tendência temporal é simultaneamente modelada com a autocorrelação espacial para obter a taxa de prêmio. Esse enfoque contrasta com o usual de calcular as taxas em dois estágios: primeiro, pela normalização da série (retirada da tendência) e; segundo, pelo apreçamento da taxa a partir dessa variável normalizada. As taxas foram calculadas diretamente da distribuição predita obtida por simulação de Monte Carlo por meio da Cadeia de Markov.
No referido estudo, Ozaki et al. (2008) calcularam as taxas de prêmio por município, mas enfatizaram que a metodologia proposta pode ser utilizada também para cálculo de taxas de produtividades individuais, desde que haja dados suficientes para a aplicação da análise estatística. Os pesquisadores concluíram que a metodologia proposta aprimora os procedimentos estatísticos e atuariais frequentemente utilizados no cálculo de taxas de prêmio, especialmente nos casos em que há limitação nas séries de dados.
Outra distribuição paramétrica bastante utilizada para representar a produtividade agrícola é a beta. Exemplos de estudos que utilizaram essa distribuição são os de Badcock e Hennessy (1996), Hennessy, Badcock e Hayes (1997) e Nelson e Preckel (1989). Nos seus respectivos trabalhos, os autores argumentaram haver evidências consistentes de assimetria e curtose nos dados de produtividade, levando-os a optar pela distribuição beta, em detrimento da normal. A distribuição beta é utilizada pela sua capacidade de acomodar assimetrias positivas e negativas.
Nelson e Preckel (1989) conduziram a estimação por verossimilhança a um vetor de insumos (fertilizantes), concluindo que a aplicação de adubação nitrogenada influencia nos três primeiros momentos da distribuição (média, variância e assimetria).
A distribuição gamma foi utilizada por Gallagher (1987) para estimar a produtividade de soja nos Estados Unidos, diante de perturbações não simétricas. Após corrigir a série de 44 anos de observações, ponderando pelos desvios que se mostraram heterocedásticos, o autor estimou por verossimilhança os parâmetros da distribuição gamma. Avaliando os parâmetros dessa distribuição, o pesquisador concluiu haver fortes evidências de assimetria negativa na produtividade de soja.
Goodwin e Ker (1998) afirmam que embora existam fortes indícios de que a produtividade não segue uma distribuição normal, essa abordagem ainda é dominante, prova é que a metodologia adotada pelo seguro de cobertura de receita agrícola (CRC) utiliza-se da normal.
Os autores sugeriram que tendência, efeitos autorregressivos e heterocedasticidade afetam a distribuição de probabilidade e que, portanto, o uso de produtividades observadas nas análises sem remover esses efeitos é inapropriado. Os autores sugeriram uma metodologia para ser utilizada na correção das séries de produtividade, a fim de levar em conta a tendência de crescimento da produtividade e relaxar a pressuposição de homocedasticidade dos resíduos.
Adotaram técnicas não paramétricas para estimar a distribuição de produtividade, avaliando sua implicação no apreçamento do prêmio de um seguro grupal de risco (GRP). A análise utilizou o procedimento de Kernel para estimar as densidades de probabilidade, não assumindo nenhuma forma funcional a priori. As conclusões apontaram para possibilidade de incremento de acurácia nos procedimentos atuariais caso uma modelagem mais flexível como a não paramétrica fosse adotada no cálculo das taxas do GRP, pois as estimativas encontradas diferem das taxas praticadas, como consequência do relaxamento das restrições impostas pelos procedimentos paramétricos.
Em outra pesquisa, Ker e Goodwin (2000) utilizaram a estimação não paramétrica em diferente contexto, a fim de avaliar a sua estabilidade diante de séries curtas de observações. No estudo, os autores utilizaram o estimador não paramétrico de kernel a partir de técnicas bayesianas empíricas. Concluíram que para adotar tal procedimento na estimação de séries de produtividade são necessárias, no mínimo, 26 observações (anos). Com essa dimensão da série é possível obter ganhos nas estimações por Kernel adaptativo.
Outra vertente alternativa é de utilização de modelos semi-paramétricos, adotada por Ker e Coble (2003). Esses modelos usam um estimador (semi-paramétrico) que congrega os benefícios dos paramétricos e dos não paramétricos, bem como mitiga as suas desvantagens. O modelo se comporta como um modelo paramétrico se essa assunção for correta. Se incorreta, o modelo tem comportamento não paramétrico. Essa avaliação é feita comparando os resultados do modelo semi-paramétrico com a densidade verdadeira.
Os resultados descritos dão conta que o estimador semi-paramétrico com distribuição normal é mais eficiente que os modelos paramétricos, representados pela normal e beta, e os não paramétricos, gerados pelo estimador Kernel.
Com base nos estudos avaliados, nota-se que séries curtas de produtividade limitam a utilização de certas técnicas, favorecendo o uso de técnicas paramétricas que podem ser aplicadas a um número menor de observações.
As abordagens não paramétricas e semi-paramétricas são promissoras, podendo reduzir os erros associados às incorretas pressuposições feitas quanto às distribuições. Por
outro lado, a limitação das séries e os resultados de diversos trabalhos sugerem que não se pode rejeitar a eficiência da distribuição normal e demais distribuições paramétricas.
Ozaki e Silva (2009) preocuparam-se com as implicações da representação da distribuição de produtividade sobre o apreçamento das taxas de prêmio de seguros, considerando a estrutura dinâmica dos dados e a correlação espacial no arcabouço hierárquico bayesiano.
Os autores citam a proeminente discussão de considerar ou não a produtividade agrícola como normal, mencionando pesquisas que apoiam e rejeitam a normalidade. No estudo, modelos hierárquicos são utilizados, mas, desta vez, considerando uma distribuição normal assimétrica, proposta por Azzalini (1985). Essa distribuição assemelha-se à distribuição normal, mas contempla parâmetro adicional que permite certo grau de assimetria.
Comparando os resultados encontrados na pesquisa pela taxa de prêmio bayesiana com as taxas calculadas pelo método empírico, normalmente usado pelas companhias seguradoras, Ozaki e Silva (2009) concluíram que as taxas empíricas62 utilizadas pelo mercado segurador superestimam o risco das áreas de baixo risco e subestimam o das de alto risco.