Na transição do século XIX para o século XX houve profundas mudanças na visão científica no mundo moderno. A formalização da Mecânica Quântica e os resultados teóricos da Relatividade Restrita de Einstein causaram grande paradoxo na visão mecanicista da Física desde então. Pois, a partir destes acontecimentos, não mais poderíamos dizer que as leis da Física são universais, mas dependiam da escala extensiva e das condições de contorno do sistema físico. Isso implica que a Física agora é constituída de discursos que descrevem sistemas dentro de “universos” estanques: a Mecânica Quântica trata do mundo atômico e subatômico; a Mecânica Clássica (fundamentalmente newtoniana) tratava do mundo mesoscópico e parte do macroscópico; a Relatividade Geral e Restrita tratava do mundo em que os elementos físicos tendem a velocidades próximas a velocidade da luz.
Apesar desse aparente paradoxo, um conceito central surge dentro deste paradigma e pode ser explicitado com a seguinte asserção: não há uma única perspectiva correta da realidade. Isso significa que podemos mudar de contextos e perspectivas para explicar fenômenos reais, mas se quisermos ter uma Ciência unificada e interdisciplinar, um novo objetivo nos é oferecido: encontrar os meios para transladarmos entre os contextos e perspectivas dentro da Física como um todo, de modo a encontrar um fundamento geral que a unifique. E é neste contexto histórico-científico que a Teoria de Categorias é concebida.
A Teoria de Categorias foi descoberta na década de 40 por Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane com seus trabalhos sobre Foundations of Algebraic Topology (EILENBERG e STEENROD, 1952) e Homology (MACLANE, 1963), respectivamente. Como o nome de suas obras sugere, a Teoria de Categorias foi especialmente desenvolvida para tratar simultaneamente de dois diferentes campos da Matemática: a Álgebra e a
Topologia. Antes destes dois matemáticos, algumas generalizações entre estes campos eram possíveis por meio da Teoria de Cohomologias, mas insuficiente para os objetivos requeridos por Eilenberg e Mac Lane. Mais especificamente, alguns invariantes algébricos já eram conhecidos e razoavelmente bem compreendidos nessa época, mas a Teoria de Categorias veio – dentre outras coisas – dar a linguagem de “equivalências” entre alguns desses invariantes já desenvolvidos na Topologia Algébrica.
Na antiguidade o termo categoria era associado aos conceitos puros de predicamentos possíveis acerca do real. Segundo Aristóteles, podemos predicar de um ente real até dez categorias, que albergam as potências significativas do ser. Avançando no tempo, na Era Pós-Iluminista, temos Kant, com sua Crítica á Razão Pura defende que as “categorias clássicas” nada mais são que aspectos de uma forma pura a ser encontrada secundariamente no real. E é neste sentido que a matemática moderna capta o conceito de categoria: a expressão de um puro objeto matemático com estruturas supra-abstratas. Não obstante, criada a categoria matemática, sempre que falarmos desta, estaremos nos referindo ao seu conceito matemático formal.
Inicialmente, a Teoria de Categorias era mais uma linguagem muito abstrata utilizada para tratar problemas muito específicos. Isso gerava uma áurea de dificuldade e de pouco pragmatismo da teoria. Foi então, em 1958, que Alexander Grothendieck aplica a teoria de modo a construir uma nova maquinaria matemática na forma de uma nova Teoria de Cohomologias (GROTHENDIECK, 1958), que permitia um avanço sem precedentes na descrição do comportamento de equações algébricas. Em sequência, Bill Lawvere, em 1963, viu grande potencial na Teoria de Categorias e profere a audaciosa afirmação de que “esta teoria é o novo fundamento para toda a Matemática”.
Desde o início do século XIX, matemáticos têm procurado por um novo fundamento da matemática e tinham até então a Teoria de Conjuntos para isso (LAWVERE, 1963). No entanto, a afirmação audaciosa de Lawvere traz uma conclusão profunda acerca do fundamento da Matemática. Explicitamente, à luz da Teoria de Categorias, a Teoria de Conjuntos é apenas uma categoria com algumas propriedades interessantes. Lawvere também é responsável por elucidar como que teorias algébricas inteiras podem ser interpretadas como variações de estruturas categóricas, ajudando a unificar diversas estruturas algébricas sob uma categoria.
Em 1980, Joachim Lambek inicia seus estudos que visam demonstrar como procedimentos e programas utilizados nas ciências computacionais se referem a tipos específicos de categorias, assim como a estrutura gramatical das línguas naturais (PRELLER
e J, 2007) (LAMBEK e SCOTT, 2011). Analogamente, Eugenio Moggi introduz na teoria a noção categórica de monadas que são aplicadas nas ciências computacionais (MOGGI, 1991). Importantes contribuições neste campo também foram realizadas por Daniel Kan e com sua modelagem categórica (DWYER, P, et al., 2004).
Até então, a Teoria de Categorias e seu desenvolvimento tiveram fundamental interesse no campo da abstração da abstração, como diriam seus críticos. E sua aplicabilidade estava centrada na generalização da matemática pura. Foi só no início do século XXI que a mesma se torna reconhecida pela comunidade matemática como um método viável, isso implica em cursos de Álgebra e Topologia que incluem o tópico de categorias como tema avançado. De importante citação, o curso do Prof. Spivak no MIT centraliza toda uma metodologia de ensino dessa teoria para cientistas, prevendo prontamente importantes aplicações nas ciências naturais, principalmente na Física e na Biologia.
Em se tratando de Ciência e categorias, alguns trabalhos fundamentais realizados por Baez e Dolan tiveram grande repercussão ao dar novo sentido à Mecânica Quântica por meio dessa teoria (BAEZ e DOLAN, 2004). A categorificação também tem papel muito importante no sentido de transformar sistemas reais em sistemas categóricos (BAEZ, 1998). E finalmente a categorificação de álgebras de altas dimensões como aplicação no estudo de gravitação quântica (BAEZ, 1999). Esta é, aproximadamente, a evolução do estado da arte do assunto desenvolvido neste capítulo. A seguir daremos algumas justificativas do estudo da Teoria de Categorias, que juntamente com o histórico, permite uma aproximação científica do tema.
4.1.1. Motivação da teoria
O conceito de categoria é presente em toda parte na Matemática, unificando-a. O mesmo ocorre nas ciências, pois frequentemente podemos associar abstrações matemática a sistemas reais e estes, por sua vez, são abordados pelas ciências particulares. Algumas estruturas matemáticas frequentemente utilizadas na Física, como: conjuntos, espaços vetoriais, grupos, espaços topológicos, espaços de Banach, variedades, autômatos, etc; podem ser unidas por meio da categoria que implica em maior poder de generalização e interpretação destes sistemas.
A possibilidade de generalização de sistemas Físicos à luz da Teoria de Categorias funciona como uma nova linguagem suprateórica. Esta abordagem permite a abstração de
problemas matemáticos de difícil manuseio provenientes destes sistemas, facilitando a descrição, modelagem e solução.
Além dessas características generalizantes, a presente teoria possibilita o desenvolvimento de um simbolismo que gera uma abstração automática das estruturas matemáticas por meio dos diagramas comutativos. Esse dispositivo facilita a identificação das próprias categorias nos diversos contextos e suas propriedades.
Adicionalmente, a teoria permite a transposição de um problema de uma área para outra área, suprido o functor adequado, de modo a facilitar a solução. Por exemplo, um problema de topologia algébrica pode ser resolvido tanto por vias puramente algébricas ou topológicas, mediante o correto functor.
O conceito de categoria é dual, ou seja, quando definimos uma categoria qualquer, automaticamente definimos seu dual e suas propriedades. Isso é verdadeiro, pois a teoria é construída sobre a premissa da dualidade, e cada resultado pertinente a uma categoria específica também será pertinente a sua dual. Essa característica da teoria facilita a descrição em que a dualidade é naturalmente observada, como é o caso de espaços de Hilbert e da Álgebra Bra-ket da Mecânica Quântica (i. e., notação de Dirac).
Além dessas características da teoria, alguns trabalhos sobre a representação de sistemas biológicos sob a perspectiva da Teoria da Categoria têm servido de inspiração para a presente tese (ROSEN, 1958B) (ROSEN, 1958A) (ROSEN, 1959). Adicionalmente os estudos sobre categorificação de diversos ramos da mecânica quântica (BAEZ, 1998) (BAEZ, 1999) (BAEZ e DOLAN, 2004).