Multipartitions d'un entier

Les nombres d'Hurwitz font simultanément apparaître plusieurs partitions. An d'en contrôler les symétries,

il est utile d'introduire les multipartitions.

13. c'est d'ailleurs le pourquoi de leur introduction

14. on devrait en toute rigueur se placer sur une clôture algébrique de Q pour s'assurer de la non-vacuité du spectre mais ce qui

suit montre que cette précaution est inutile

1.5.1 Partitions scindées

Une multipartition est un multi-ensemble ni de partitions (ses parts), lequel est identié à son unique

représentant formé d'une suite nie décroissante. On peut également suivre M. Kazarian et voir une

multi-partitionΛ comme une partition_tΛ(sa concaténée) dont l'on a colorié les cycles en autant de couleurs que

Λa de parts.

An d'harmoniser les dénitions et notations, une multipartitionΛde taillen(où l'on a xé un entiern≥0)

sera également appelée partition scindée(split partition) den. Leur ensemble sera notéY^s_n. On dit aussi que

Λmulti-partitionne net l'on note

Λ|=nlorsqueΛ∈Y^s_n. (1.75)

L'ensemble de toutes les multipartitions sera dénoté par

Y^s:= ^G

m≥0

Y^s_m. (1.76)

1.5.2 Entiers et partitions associés à une multipartition

Toute fonction f : Y −→N induit une fonction ^Y_λi^s ^−→ ^Y

7−→ Hf λⁱ6= 0_I . On prendra pour f surtout

les fonctions taille, longueur et ramication, ce qui amène plusieurs dénitions.

Fixons une multipartition Λ =_HΛiI.

Son contenu c(Λ)est la somme des contenus de ses parts, lequel ne vaut pas en général le contenu de sa

concaténée :

c(Λ) :=^Xc(Λi)6=c(tΛ). (1.77)

Son prol est la partition_|Λ|=_H|Λi|I. Sa taille est celle de sa concaténée

||Λ||=|tΛ|. (1.78)

Saλ-ième multiplicité est (ayant xé une partitionλ) le nombre de parts égales àλ:

mλ(Λ) := #{i; Λi=λ}. (1.79)

Une part deΛest l'une des partitionΛ_i, un cycle deΛest un cycle d'une de ses parts, un cycle s-xe 15

deΛest une part de taille1. On observera qu'un cycle xe (d'une part) deΛn'est pas nécessairement un cycle

s-xe deΛ.

Sa longueur (ou nombre de couleurs) est le nombre de parts

lg Λ :=`(`(Λ)) =`(|Λ|). (1.80)

Son nombre de cycles est

cy Λ :=|`(Λ)|=`(tΛ). (1.81)

Sa ramication est celle de sa concaténée

rf Λ :=℘(tΛ) =||Λ|| − |`(Λ)|=℘(|Λ|)−℘(`(Λ)) =|℘(Λ)|. (1.82)

Son défaut de coloriage vaut la diérence entre nombre de cycles et nombre de couleurs

dc Λ :=℘(`(Λ)) = cy Λ−lg Λ. (1.83)

Enn sa hauteur est dénie par l'entier

ht Λ :=℘(|Λ|) +℘(`(Λ))) = rf Λ + 2 dc Λ. (1.84)

La hauteur sera interprétée comme nombre minimal de transpositions décomposant une certaine permutation

scindée (cf. section 1.7.3).

Parmi les quantités que l'on peut former à l'aide des trois fonctions taille, longueur et ramication, au moins

deux nous restent sans sens combinatoire : ℘(|Λ|) = ||Λ|| −lg Λ et ℘(℘(Λ)). Nous n'en aurons toutefois pas

usage.

On dira que Λ est totalement scindée (totally split) lorsque toutes ses parts ont longueur 1, i. e. quand

son défaut de coloriage est nul. Par exemple, lorsqu'une partition λ= (λi)est donnée avec un entier n≥ |λ|,

on dénit la partition (totalement) scindée associée λscomme la partition totalement scindée

λ^s:=_H(λ₁)≥(λ₂)≥ · · · ≥ λ_`₍_λ₎

≥ ≥ ≥ · · · ≥

| {z }

n−|λ|partitions

I. (1.85)

L'applicationλ7→λsfournit un plongement des partitions sur les multipartitions ayant un défaut de coloriage

nul, qui est un inverse à droite de la concaténationΛ7→ tΛ et un morphisme pour la concaténation :

Y −→ {_g Λ∈Ys ; dc Λ = 0}

λ=tλs

7−→ λs et (λtµ)^s=λ^stµ^s. (1.86)

Ce morphisme préserve le prol, la taille, la longueur ou nombre de cycles ainsi que la ramication ou hauteur

(mais pas le contenu en général) :

|λ^s|=λ et _||λ^s||=|λ| et `(λ^s) =`(λ) = cyλ^s et ℘(λ^s) =℘(λ) = htλ^s. (1.87)

On observera que les cycles deλs sont ceux deλ.

On pourra considérer un autre plongementλ7→Hλ_Ides partitions sur les multipartitions à une seule part :

Y −→ {_g Λ∈Ys; lg Λ = 1}

λ=tHλ_I 7−→ Hλ_I . (1.88)

Ce dernier conserve le contenu mais pas la longueur et n'est pas un morphisme pour la concaténation

La partitionΛest dite réduite lorsqu'elle ne contient pas de cycless-xes. Sa réduite˚_Λest la multiparitition

obtenue en retirant tous les cycles s-xes. Lorsqu'un entier n ≥ |Λ| est donné par le contexte, on dénit sa

complétée Λpar la multipartition de taillenobtenue en ajoutant autant de cycless-xes que nécessaire. La

réduction et la complétion ne changent pas la ramication :

℘^˚Λ=℘(Λ) =℘ Λ. (1.89)

On remarquera que le nombre de parts qui ne sont pas des cycless-xes est donné par

lg ˚Λ =`(℘(Λ)) =`℘^˚Λ. (1.90)

La permutation standard σΛassociée àΛest le produit des permutations standards associées à ses parts

(dans le sous-groupe de Young associé à son prol) :

σΛ:=

lg Λ

Y

i=1

σΛ

∈S_|Λ|. (1.91)

Une symétrie scindée de Λ est la donnée pour tout entier k ≥ 1 d'une permutation des parts de Λ de

taille kmodulo les permutations de ces dernières (la motivation de cette dénition apparaîtra clairement dans

la section 1.6.5). Leur ensemble16 sera notéSym^sΛ. Par exemple, la multipartition possède

trois symétries scindées correspondant au réordonnement des trois parts de taille 2 (mais elle ne possède que

deux symétries). Plus généralement, la dénition mène à la formule

|Sym^sΛ|=^Y

`≥1

m`(|Λ|)

Hm_λ(Λ)_I_|_λ_|=_`

=

Q

`≥1m`(|Λ|)!

Q

λ`nm_λ(Λ)!. (1.92)

Nous calculerons à la section 1.7.2 le cardinal du centralisateur de type Λ, qui sera noté

zΛ:=zΛ

₁

zΛ

₂

· · ·zΛ

_{lg Λ}

. (1.93)

On dénit enn un nombre de blocs b(Λ) et l'image µ(Λ) par une fonction de Möbius (qui nous

serviront dans la théorie des représentations des sous-groupes de YoungS_|Λ|) par les relations

||Λ||! = |Λ|!b(Λ)^Y

λ`n

mλ(Λ)! et (1.94)

µ(Λ) := ε(|Λ|)^Y

k≥1

(k−1)!^m

(|Λ|). (1.95)

1.5.3 Récapitulatif des notations

Récapitulons sur un exemple :

Λ nombre de blocs

b(Λ) = _{5! 4! 4! 4!}^21! _{2! 4!}¹

nombre de symétries scindées

Sym^sΛ = ^3!_2!^4!_1! = 72

taille _||Λ||= 21 hauteurht Λ = 19

|Λ| 5 4 4 4 1 1 1 1 ℘(|Λ|) = 13 =||Λ|| −lg Λ =℘(|Λ|) +℘(`(Λ))

longueur lg Λ = 8 =`(|Λ|) =`(`(Λ))

`(Λ) 3 2 2 3 1 1 1 1 défaut de coloriagedc Λ =℘(`(Λ)) = 6

℘(Λ) 2 2 2 1 nombre de cycles

cy Λ =|`(Λ)|= 14 contenuc(Λ) = 0

contenu ₋2 2 2 −2 0 0 0 0 ramication rf Λ = 7 =|℘(Λ)|=℘(|Λ|)−℘(`(Λ))

.

(1.96)

En élaguant les quatre colonnes du tableau ci-dessus correspondant aux cycles s-xes de Λ, on obtient la

multipartition réduite˚_Λ(observer les quantités qui changent ou non après réduction) :

˚

Λ nombre de symétries

scindéesSym^s^˚Λ = ^3!_2! = 3

nombre de cycles

cy ˚Λ =

`^˚Λ

= 14

˚

Λ

5 4 4 4 ramicationrf ˚Λ = 7 = rf Λ

=|℘(Λ)|=

℘^˚Λ

défaut de coloriage

dc ˚Λ = 6 = dc Λ

l^˚Λ 3 2 2 3 ℘(℘(Λ)) = 3 taille

˚_Λ

= 17

℘(Λ) 2 2 2 1 parts₆=cycless-xes

`(℘(Λ)) = 4 =`^˚Λ

hauteurht ˚Λ

= 19 = ht Λ

. (1.97)

On retrouve les taille, nombre de cycle et ramication dans la concaténée_tΛ :

tΛ :

taille _|tΛ|= 21 =||Λ||

ramicationrf Λ

=℘(tΛ) = 7

nombre de cyclescy Λ

=`(tΛ) = 14 =|`(Λ)|

.

On donne également la permutation standard associée auΛ ci-dessus et, pour la complétude de ce résumé,

la partition ensembliste standard associée (qui sera dénie plus tard comme celle associée à la partition_|Λ|) :

σ_Λ = (1,2)◦(3,4)◦(6,7,8)◦(10,11,12)◦(14,15),

Ces deux dernières peuvent être représentées ensemble à l'aide des diagrammes suvants :

5 3 4

1 2

9 6 7 8

13 10 11 12

17

16 14 15 18 19 20 21 . (1.99)

1.5.4 Nombre de multipartitions, l'estimation CardY^s_n 'Bⁿ

La suite des _|Y^s_n|va comme suit lorsquencroît :

1,3,6,14,27,58,111,223,424,817... (1.100)

Pour un entiern≥1 donné, regrouper les multipartitions de taillenselon leur prol montre que

|Y^s_n|=^X

λ`n

#{Λ∈Y^s_n ; |Λ|=λ}.

En invoquant à λ ` n xé la surjection

Q

i≥1Yλ

{Λ∈Ys

n ; |Λ|=λ}

λi

7−→ Hλi

I

, ce qui revient à remettre

l'ordre sur les parts deΛ, on obtient la majoration

|Y^s_n|=^X

λ`n

#{Λ∈Y^s_n ; |Λ|=λ} ≤^X

λ`n

Y

i≥1

Yλ

=^X

λ`n

Y

i

|Yλ

.

En se rappelant la majoration|Yk| ≤A

√

k valide pour tout entierk≥1, on continue à majorer

≤^X

λ`n

Y

i

A

√

λ

≤^X

λ`n

Y

i

A^λ

=Aⁿ^X

λ`n

1≤Aⁿ⁺

√

n.

Par conséquent, le nombre de multipartitions de taille n est toujours plus petit que Bn pour une certaine

constanteB >0:

∃B >0, ∀n∈N, |Y^s_n| ≤Bⁿ. (1.101)

Asymptotiquement, on peut prendreB = sup_n_≥1^ln^|^Y

|

n +εpour tout ε >0. (La preuve ci-dessus montre que

nous avons besoin, même pour l'asymptotique des _|Ys

n|, d'une constante Aqui marche sur tous les entiers et

pas seulement asymptotiquement.)

1.5.5 Les multipartitions de taille ≤5, les contenus

Pour lister les multipartitions deY^s_n, on peut procéder récursivement par prol décroissant. Le premier prol

est (n), ce qui donne les multipartition Hλ_Ipour λdécrivantYn. Ensuite, les prols suivants ont toutes leurs

parts< n, ce qui permet d'obtenir une multipartition ayant un tel prolλen prenant le multi-ensemble associé

aux`-uplets deQ`(λ)

i=1 Y_λ

.

Pour n= 1:

prol Y1 [ ].

Pour n= 2:

prol Y2 [ ],

prol (Y1)² [ ].

Pour n= 3, les six multipartitions deY^s₃ sont données par les trois prols deY5 :

prol Y3 [ ],

, ^h ⁱ,

prol Y2×Y1 [ ], ,

Pourn= 4, les quatorze multipartitions deYs

4sont données par les cinq prols deY4 :

prol Y4 [ ], , , ^h ⁱ, ,

prol Y₃×Y₁ [ ],

, ^h ⁱ,

prol (Y2)² [ ],

,

, ne pas compter deux fois la_{multipartition}

,

prol Y2×(Y1)² [ ],

,

prol (Y₁)⁴ [ ].

Pourn= 5, les27multipartitions deYs

5sont données par les sept prols de Y₅ :

prol Y5 [ ], , , ^h ⁱ, ^h ⁱ, ,

" #

prol Y₄×Y₁ [ ], , , ^h ⁱ, ,

prol Y3×Y2 [ ],

,

, ^h ⁱ, ^h ⁱ,

prol Y3×(Y1)² [ ],

, ^h ⁱ ,

prol (Y2)²×Y1 [ ], , , ne pas compter deux fois la_{multipartition}

,

prol Y₂×(Y₁)³ [ ], ,

prol (Y₁)⁵ [ ].

Les contenus.

En cassant une multipartition ayant au moins deux parts en deux multipartitions de taille strictement

inférieures, on voit que l'ensemblesCn:={|c(Λ)|}Λ|=n des contenus ànxé se détermine par la récursion

Cn ={c(λ)}λ`nt ^G

p+q=n

1≤p,q<n

(Cp+Cq). (1.102)

On obtient successivement (les points de suspension indiquent un intervalle d'entiers)

C1 = 0,

C2 = 1,

C3 = 0,1,3,

C4 = 0, ...,3,6,

C5 = 0, ...,6,10,

C6 = 0, ...,7,10,15,

C7 = 0, ...,7,9,10,11,15,21,

C8 = 0, ...,11,13,15,16,21,28,

C9 = 0, ...,13,15,16,18,21,22,28,29,36.

Il serait intéressant d'en deviner une description close.

Dans le document Combinatoire algébrique et géométrique des nombres de Hurwitz (Page 40-46)

Les nombres d'Hurwitz font simultanément apparaître plusieurs partitions. An d'en contrôler les symétries,

il est utile d'introduire les multipartitions.

13. c'est d'ailleurs le pourquoi de leur introduction

14. on devrait en toute rigueur se placer sur une clôture algébrique de Q pour s'assurer de la non-vacuité du spectre mais ce qui

suit montre que cette précaution est inutile

1.5.1 Partitions scindées

Une multipartition est un multi-ensemble ni de partitions (ses parts), lequel est identié à son unique

représentant formé d'une suite nie décroissante. On peut également suivre M. Kazarian et voir une

multi-partitionΛ comme une partitiontΛ(sa concaténée) dont l'on a colorié les cycles en autant de couleurs que

Λa de parts.

An d'harmoniser les dénitions et notations, une multipartitionΛde taillen(où l'on a xé un entiern≥0)

sera également appelée partition scindée(split partition) den. Leur ensemble sera notéYsn. On dit aussi que

Λmulti-partitionne net l'on note

Λ|=nlorsqueΛ∈Ysn. (1.75)

L'ensemble de toutes les multipartitions sera dénoté par

Ys:= G

m≥0

Ysm. (1.76)

1.5.2 Entiers et partitions associés à une multipartition

Toute fonction f : Y −→N induit une fonction Yλis −→ Y

7−→ Hf λi6= 0I . On prendra pour f surtout

les fonctions taille, longueur et ramication, ce qui amène plusieurs dénitions.

Fixons une multipartition Λ =HΛiI.

Son contenu c(Λ)est la somme des contenus de ses parts, lequel ne vaut pas en général le contenu de sa

concaténée :

c(Λ) :=Xc(Λi)6=c(tΛ). (1.77)

Son prol est la partition|Λ|=H|Λi|I. Sa taille est celle de sa concaténée

||Λ||=|tΛ|. (1.78)

Saλ-ième multiplicité est (ayant xé une partitionλ) le nombre de parts égales àλ:

mλ(Λ) := #{i; Λi=λ}. (1.79)

Une part deΛest l'une des partitionΛi, un cycle deΛest un cycle d'une de ses parts, un cycle s-xe 15

deΛest une part de taille1. On observera qu'un cycle xe (d'une part) deΛn'est pas nécessairement un cycle

s-xe deΛ.

Sa longueur (ou nombre de couleurs) est le nombre de parts

lg Λ :=`(`(Λ)) =`(|Λ|). (1.80)

Son nombre de cycles est

cy Λ :=|`(Λ)|=`(tΛ). (1.81)

Sa ramication est celle de sa concaténée

rf Λ :=℘(tΛ) =||Λ|| − |`(Λ)|=℘(|Λ|)−℘(`(Λ)) =|℘(Λ)|. (1.82)

Son défaut de coloriage vaut la diérence entre nombre de cycles et nombre de couleurs

dc Λ :=℘(`(Λ)) = cy Λ−lg Λ. (1.83)

Enn sa hauteur est dénie par l'entier

ht Λ :=℘(|Λ|) +℘(`(Λ))) = rf Λ + 2 dc Λ. (1.84)

La hauteur sera interprétée comme nombre minimal de transpositions décomposant une certaine permutation

scindée (cf. section 1.7.3).

Parmi les quantités que l'on peut former à l'aide des trois fonctions taille, longueur et ramication, au moins

deux nous restent sans sens combinatoire : ℘(|Λ|) = ||Λ|| −lg Λ et ℘(℘(Λ)). Nous n'en aurons toutefois pas

usage.

On dira que Λ est totalement scindée (totally split) lorsque toutes ses parts ont longueur 1, i. e. quand

son défaut de coloriage est nul. Par exemple, lorsqu'une partition λ= (λi)est donnée avec un entier n≥ |λ|,

on dénit la partition (totalement) scindée associée λscomme la partition totalement scindée

λs:=H(λ1)≥(λ2)≥ · · · ≥ λ`(λ)

≥ ≥ ≥ · · · ≥

| {z }

n−|λ|partitions

I. (1.85)

L'applicationλ7→λsfournit un plongement des partitions sur les multipartitions ayant un défaut de coloriage

nul, qui est un inverse à droite de la concaténationΛ7→ tΛ et un morphisme pour la concaténation :

Y −→ {g Λ∈Ys ; dc Λ = 0}

λ=tλs

7−→ λs et (λtµ)s=λstµs. (1.86)

Ce morphisme préserve le prol, la taille, la longueur ou nombre de cycles ainsi que la ramication ou hauteur

(mais pas le contenu en général) :

|λs|=λ et ||λs||=|λ| et `(λs) =`(λ) = cyλs et ℘(λs) =℘(λ) = htλs. (1.87)

On observera que les cycles deλs sont ceux deλ.

On pourra considérer un autre plongementλ7→HλIdes partitions sur les multipartitions à une seule part :

Y −→ {g Λ∈Ys; lg Λ = 1}

λ=tHλI 7−→ HλI . (1.88)

Ce dernier conserve le contenu mais pas la longueur et n'est pas un morphisme pour la concaténation

La partitionΛest dite réduite lorsqu'elle ne contient pas de cycless-xes. Sa réduite˚Λest la multiparitition

obtenue en retirant tous les cycles s-xes. Lorsqu'un entier n ≥ |Λ| est donné par le contexte, on dénit sa

complétée Λpar la multipartition de taillenobtenue en ajoutant autant de cycless-xes que nécessaire. La

réduction et la complétion ne changent pas la ramication :

℘˚Λ=℘(Λ) =℘ Λ. (1.89)

On remarquera que le nombre de parts qui ne sont pas des cycless-xes est donné par

lg ˚Λ =`(℘(Λ)) =`℘˚Λ. (1.90)

La permutation standard σΛassociée àΛest le produit des permutations standards associées à ses parts

(dans le sous-groupe de Young associé à son prol) :

σΛ:=

multi-partitionΛ comme une partition_tΛ(sa concaténée) dont l'on a colorié les cycles en autant de couleurs que

sera également appelée partition scindée(split partition) den. Leur ensemble sera notéY^s_n. On dit aussi que

Λ|=nlorsqueΛ∈Y^s_n. (1.75)

Y^s:= ^G

Y^s_m. (1.76)

Toute fonction f : Y −→N induit une fonction ^Y_λi^s ^−→ ^Y

7−→ Hf λⁱ6= 0_I . On prendra pour f surtout

Fixons une multipartition Λ =_HΛiI.

c(Λ) :=^Xc(Λi)6=c(tΛ). (1.77)

Son prol est la partition_|Λ|=_H|Λi|I. Sa taille est celle de sa concaténée

Une part deΛest l'une des partitionΛ_i, un cycle deΛest un cycle d'une de ses parts, un cycle s-xe 15

λ^s:=_H(λ₁)≥(λ₂)≥ · · · ≥ λ_`₍_λ₎

Y −→ {_g Λ∈Ys ; dc Λ = 0}

7−→ λs et (λtµ)^s=λ^stµ^s. (1.86)

|λ^s|=λ et _||λ^s||=|λ| et `(λ^s) =`(λ) = cyλ^s et ℘(λ^s) =℘(λ) = htλ^s. (1.87)

On pourra considérer un autre plongementλ7→Hλ_Ides partitions sur les multipartitions à une seule part :

Y −→ {_g Λ∈Ys; lg Λ = 1}

λ=tHλ_I 7−→ Hλ_I . (1.88)

La partitionΛest dite réduite lorsqu'elle ne contient pas de cycless-xes. Sa réduite˚_Λest la multiparitition

℘^˚Λ=℘(Λ) =℘ Λ. (1.89)

lg ˚Λ =`(℘(Λ)) =`℘^˚Λ. (1.90)

∈S_|Λ|. (1.91)

la section 1.6.5). Leur ensemble16 sera notéSym^sΛ. Par exemple, la multipartition possède

|Sym^sΛ|=^Y

Hm_λ(Λ)_I_|_λ_|=_`

λ`nm_λ(Λ)!. (1.92)

serviront dans la théorie des représentations des sous-groupes de YoungS_|Λ|) par les relations

||Λ||! = |Λ|!b(Λ)^Y

µ(Λ) := ε(|Λ|)^Y

(k−1)!^m

b(Λ) = _{5! 4! 4! 4!}^21! _{2! 4!}¹

Sym^sΛ = ^3!_2!^4!_1! = 72

taille _||Λ||= 21 hauteurht Λ = 19

contenu ₋2 2 2 −2 0 0 0 0 ramication rf Λ = 7 =|℘(Λ)|=℘(|Λ|)−℘(`(Λ))

multipartition réduite˚_Λ(observer les quantités qui changent ou non après réduction) :

scindéesSym^s^˚Λ = ^3!_2! = 3

`^˚Λ

℘^˚Λ