Chapitre IV : LES COUCHES MINCES FERROELECTRIQUES : DISPOSITIFS
Annexe 3 La multiline TRL
La modélisation du système de mesure est identique à celui de la TRL, à savoir deux boîtes d’erreur A et B regroupant l’ensemble des erreurs des ports de mesure 1 et 2.
Figure 1 : Modélisation du système de mesure
Notons X et Y les matrices transmission des boîtes d’erreur X et Y. Par souci de symétrie du port 1 par rapport au port 2, la matrice chaîne inverse Y est utilisée permettant de transcrire ainsi les résultats de la matrice transmission du port 1 à celle du port 2 :
(1)
Soit la matrice transmission mesurée de l’étalon i :
(2)
Le développement statistique est établi autour de la théorie des perturbations. Soit Ti la matrice chaîne réelle de la ligne de transmission i. Cette matrice s’exprime en fonction de la matrice dite idéale Li de constante de propagation , de longueur li et des matrices de perturbations et associées respectivement au port 1 et au port 2, reflétant l’aspect non idéal des connecteurs.
(3)
(4)
Les mesures d’une ligne i et d’une ligne j forment une paire de lignes dont la matrice transmission Mijs’écrit d’après l’équation (2)
(6) (7)
Dans un cas idéal, les éléments 1iet 2idisparaissent et la matrice Tijse réduit à :
(8)
Dans ce cas, la relation (5) a la forme d’un problème aux valeurs propres dont les éléments de la diagonale de Tij (E1ijet E2ij) sont les valeurs propres de Mij et les colonnes de X les vecteurs
propres de Mij. Cependant dans le cas réel, Tij n’est pas diagonale et le problème est plus complexe. Les auteurs montrent néanmoins très simplement, en considérant les valeurs propres de Tij, que Mij et Tij ont les mêmes valeurs propres et qu’il existe une relation entre leurs vecteurs propres respectifs.
La détermination des valeurs propres de Mijpermet d’estimer l’effet des perturbations sur Tij. En considérant les imperfections des connecteurs représentées par 1i et 2i bien plus petites que 1, nous avons Tijqui se décompose comme la matrice Lijperturbée par ij:
(9)
Les éléments de la matrice ij sont fonction des valeurs propres Eij et des 1i et 2i. Les éléments hors diagonale représentent les erreurs de mesure du coefficient de réflexion de la ligne et les éléments de la diagonale celles du coefficient de transmission de la ligne.
La relation linéaire (9) est le premier point important de la méthode. L’application de la théorie des perturbations sur les valeurs propres de Mijva conduire à l’estimation de , et sur les vecteurs propres de Mijà celui des constantes de calibrage.
L’application de la théorie des perturbations permet d’établir une relation entre les valeurs propres de Mij( et ), les valeurs propres de L ( et ) et les erreurs ij :
(10)
La relation linéaire ci-dessus exprime donc la sensibilité des valeurs propres aux perturbations. Les erreurs sont induites par les erreurs dans les mesures des coefficients de transmission S12 et S21 des lignes. La connaissance des longueurs des lignes li et lj et des
valeurs propres de Mij(issue des mesures brutes des étalons i et j) vont fournir les éléments
essentiels à l’estimation de : (12) (13)
Dans l’expression de ij, on remarque la présence au dénominateur de (li-lj). Ceci implique que des grandes différences de longueur minimiseront d’avantage l’erreur commise sur que des petites différences. Dans l’estimation de , la Multiline donne des poids plus importants aux grandes différences de longueur. De la même manière, un développement d’un point de vue des perturbations des vecteurs propres de Mij va conduire à la détermination des erreurs de ij et ij sur les constantes de calibrage « classiques » b et c/a déterminées au cours de la TRL : (14) (15) Où
Contrairement à l’estimation de où les erreurs sont dues aux coefficients de transmission, les erreurs sur les constantes de calibration sont induites par celles commises sur les coefficients de réflexion S11 et S22. Il est important de souligner la présence des termes dans
l’expression de ij et ij, et de s’attarder quelques instants sur leur différence.
(16)
où et sont respectivement les pertes et le déphasage associés à cette différence de longueur.
Autrement dit dans le cas sans pertes, , on a :
On retrouve la condition de la méthode TRL sur la différence de déphasage entre deux lignes, excluant 0° et 180°, valeurs pour lesquelles l’erreur est infinie et le problème mal posé.
Un cas intéressant apparaît, celui avec de faibles pertes. En effet dans ce cas :
Ainsi, la précision peut être accrue avec une augmentation, dans une certaine mesure, des pertes dans les lignes utilisées lors du calibrage. A partir des expressions des constantes de propagation et de calibrage ij et ij, un traitement statistique robuste est appliqué. Ce
dernier est basé sur une distribution quelconque des erreurs et sur la redondance des mesures. Il permet de déterminer le meilleur estimateur de , ij et ij.
Soit x la quantité cherchée. Si on considère N mesures redondantes bn de la quantité anx, où an
est supposée connue, la valeur vraie de anx diffère d’une quantité en :
Il est alors possible d’estimer le paramètre x par la méthode des moindres carrés pondérés où la matrice de pondération optimale est l’inverse de la matrice de covariance du bruit de mesure V-1 comme défini par le théorème de Gauss Markov (Zelen 1961). Le « meilleur »
estimateur de x est :
Où indique l’hermitien adjoint, et V est la matrice de covariance définie par :
et x représente la déviation de l’estimateur de x, défini par :
Nous présentons succinctement les étapes concernant la détermination des coefficients de calibrage, car elle reprend à peu de choses près le même cheminement que celui permettant d’estimer La formulation « boîte d’erreur » conduit à la mise en cascade des matrices chaînes X, Ti, et Y où X et Y sont les boîtes d’erreur. Soit Mi la matrice chaîne mesurée de l’étalon i, on a
On considère uniquement la résolution des éléments de X, ceux de Y étant directement symétriques de ceux de X. On retrouve la formulation classique de la méthode TRL. En général, la formulation TRL est une résolution de problème aux valeurs propres où les colonnes de X sont les vecteurs propres de Mij et les diagonales de Lij les valeurs propres
(matrice de la ligne idéale). Comme il est montré dans le développement statistique précédent, les constantes de calibrage sont déterminées à partir de la théorie des perturbations en considérant celles-ci comme entachées des erreurs aléatoires. Il faut donc résoudre l’équation aux valeurs propres suivante :
L’équation ci-dessus est résolue pour chaque couple de lignes, constitué lors de l’estimation de A chaque fréquence, la résolution de Mij donne 2 possibilités pour C1/A1 et pour B1. Le
choix s’effectue en utilisant la constante de propagation est. A chaque fréquence, on a N-1
valeurs de C1/A1 et de B1. Le théorème de Gauss-Markov est donc appliqué pour trouver le
meilleur estimateur de C1/A1 et de B1 à chacune des fréquences. Ensuite A1 et R1sont
déterminés classiquement à l’aide de l’étalon à fort coefficient de réflexion. Le problème est entièrement symétrique et les résultats trouvés pour X sont transposables par changement des indices à .