Définition 2.2.1. Soit T ∈ Cn(X) un opérateur n-multicyclique. On dira que T est analytique
si span{ki(λ), λ ∈ Ban(T ), 1 ≤ i ≤ n} = X ∗.
Pour X un espace de Banach, on notera par X(n) = ⊕1≤j≤nXj avec Xj = X, pour tout
x ∈ X(n), x = ⊕ 1≤j≤nxj et kxk = ( P 1≤j≤nkxjk2) 1 2 . Pour A ∈ L(X) on pose A(n) = ⊕1≤j≤nAj ou Aj = A et A(n)(x) = (Ajxj)1≤j≤n pour tout x ∈ X(n)
Théorème 2.2.2. On suppose que T est analytique et on considére l’application : Φ : X 7→ H(n)(Bn
a(T ))
y 7→ y : λ 7→b by(λ) = (< y, k1(λ) >, ..., < y, kn(λ) >),
alors on a :
1- l’ application φ est injective et à image dense .
2- φT = M(n)λ φ. Où Mλ est l’opérateur de multiplication par λ sur l’ espace H(Bna(T )).
3- Pour tout S ∈ {T }0 il existe M ∈ Mn(H(Bna(T ))) ou (Mn ensemble des matrices d’ordre
n) tel que φS = M φ.
Preuve : 1-i) φ est injective : En effet φ(y) = 0 ⇒ by(λ) = 0 donc < y, ki(λ) >= 0 pour tout
1 ≤ i ≤ n comme span{ki(λ), λ ∈ Ban(T ), 1 ≤ i ≤ n} = X ∗
on a alors y = 0. ii) φ est à image dense :
[φ( n X i=1 Pi(T )xi))(λ)]j =< n X i=1 Pi(T xi), kj(λ) > = n X i=1 < Pi(T )xi), kj(λ) > = Pj(λ)
Pour tout 1 ≤ j ≤ n On a [φ(X)]j contient les polynômes , Ban(T ) étant simplement connexe ,
l’ ensemble des polynômes est dense dans H(Bn
a(T )) donc φ(X) est dense H(n)(Ban(T )).
2- Il suffit de montrer que : φ(TPn
i=1(Pi(T )xi)(λ) = λφ(
Pn
i=1Pi(T )xi)(λ) .
57 [φ(T Pn i=1Pi(T )xi))(λ)]j =< Pn i=1T Pi(T )xi)), kj(λ) > =Pn i=1 < Pi(T )xi, T ∗k j(λ > =Pn i=1 < xi, λPi(T ∗)k j(λ) > = λPj(λ) = MλPj(λ) = Mλ[φ( Pn i=1Pi(T )xi))(λ)]j (∀ 1 ≤ j ≤ n) φ(TPn i=1Pi(T )xi))(λ) = M (n) λ φ( Pn i=1Pi(T )xi))(λ) Comme {Pn
i=1Pi(T )(xi); P1, P2, ...., Pn∈ P} est dense dans X on a : φT = M (n) λ φ
3- Soit S ∈ {T }0 donc T∗S∗ = S∗T∗ pour tout λ ∈ Ba(T ) on a T∗S∗ki(λ) = S∗T∗ki(λ) =
λS∗ki(λ) donc S∗ki(λ) ∈ N (T − λ)∗ soit S∗ki(λ) =
Pn
j=1αji(λ)kj(λ) où λ → αij(λ) est une
fonction analytique pour tout 1 ≤ i, j ≤ n [φ( n X i=1 SPi(T )xi))(λ)]j = n X i=1 < Pi(T )Sxi), kj(λ) > = n X i=1 < Pi(T )xi), S∗kj(λ) > = n X i=1 < xi, Pi(T∗)S∗kj(λ) > = n X i,l=1 Pi(λ) < xi, αlj(λ)kl(λ) > = n X i,l=1 Pi(λ)αjl(λ) < xi, kl(λ) > = n X i,l=1 Pi(λ)αjl(λ) < xi, kl(λ) > = n X i,l=1 Pi(λ)α j l(λ)δil = n X i=1 Pi(λ)αji(λ) = (α1j(λ), ..., αjn(λ))φ( n X i=1 Pi(T )(xi))(λ) (∀ 1 ≤ j ≤ n) on a donc φ(S n X i=1 Pi(T )xi)) = M φ( n X i=1 Pi(T )(xi))
Proposition 2.2.3. Soit T ∈ Cn(X) opérateur analytique alors :
1 soit S ∈ {T }0T N (X) alors Sn= 0
2 On suppose que T est n - cyclique et S ∈ {T }0T P(X) alors S = D(α)⊕N. où D matrice diagonale et α = (α1, α2, ...., αn) ∈ Cn et N ∈ N (X) d’ordre inférieur ou egal à n .
Preuve : 1- On a S ∈ {T }0T N (X) d’ aprés le théoréme 2.2.2 φS = M φ où M ∈ Mn(H(Bna(T ))). Si S est nilpotente d’ordre p on a φSp = Mpφ = 0 implique Mp = 0 comme
dimMn(H(Ban(T ))) = n donc Mn= 0 soit Sn= 0.
2- Soit T ∈ Cn(X) et S ∈ {T }
0
T P(X) comme S ∈ P(X) alors il existe P polynôme de de- gré inférieur ou égale à n tel que P (S) = 0 et d’ aprés la représentation de Ritz, nous avons S = ⊕1≤i≤m(λi + Ni) avec λi ∈ σ(S) ⊂ Z(P ) et Ni ∈ N (X) d’ordre si ordre de multiplicité
de λi pour tout (1 ≤ i ≤ m) . Donc S = D(α) ⊕ N ∈ {T }
0
avec D(α) matrice diagonale, α = (α1, α2, ...., αn) ∈ Cn implique que N = ⊕1≤i≤mNi ∈ {T }
0
et on applique la proposition 2.2.3-1 sachant que N ∈ N (X) d’ ordre inférieur ou égal é n. 2
Remarque 2.2.4. Dans le cas d’un opérateur cyclique on a S ∈ {T }0T N (X) implique S = 0. Dans le cas d’un opérateur 2-cyclique par exemple S ∈ {T }0T N (X) peut s’identifier à S =
0 ϕ(λ)
0 0
avec ϕ(λ) fonction analytique sur Bn(T ) .
Le probléme suivant a été pendant longtemps soulevé dans la litérature par Newman -muller par exemple : Soit T ∈ L(X), on suppose que σp(T ) est d’intérieur non vide, T satisfait-il la
SVEP ?
L’ exemple suivant donne une réponse positive. Soit D = {z ∈ C; |z| < 1} le disque unité ouvert, soit X = M(D) l’espace de Banach de mesure complexe sur D et T ∈ L(X) l’opérateur de multiplication par la variable indépendante z , T : µ 7→ z.µ avec z.µ(f ) =R
Dzf (z)dµ . Pour
λ ∈ D, on considére δλ la mesure de Dirac en {λ}, alors (T − λ)δλ(f ) =
R
D(z − λ)f (λ)dδλ = 0
pour toute fonctions continue à support sur D, donc (T − λ)δλ = 0 implique (D ⊂ σp(T )) et
σp(T ) d’ intérieur non vide .
D’un autre coté si (T − λ)µ(λ) = 0 alors µ(λ) = c(λ)δλ on peut supposer que c(λ) = 1 et
λ 7→ δλ n’est pas continue du fait que kδλ − δνk ≥ 1 pour λ 6= ν, or λ 7→ µ(λ) est mesure
analytique donc µ(λ) = 0 d’où T admet la SVEP.
Dans le cas d’espace de Banach séparable , ce n’est que trés récemment que J.Bračič et V.Müller ont donné un contre- exemple à la conjoncture, plus précisemment on a le théoréme
59
suivant :
Théorème 2.2.5. [4] Il existe un espace de Banach séparable X et un opérateur linéaire T ∈ L(X) satisfaisant la SVEP et tel que l’ intérieur du spectre ponctuel est non vide .
L’exemple est pris en considérant m la restriction de la mesure de Lebesgue à D, et X = L1(m)/A1(m) où L1(m) l’espace des fonctions intégrables sur D et A1(m) est l’espace de Berg-
man des fonctions dans L1(m) analytiques sur D , et l’opérateur T = Π(Mz) où l’opérateur Mz
est la multiplication par z sur L1(m) et Π : L1(m) 7→ X est la projection canonique.
Le coté positif, il est établit dans [11] que si T est cyclique alors σp(T ) 6= ∅ si et seulement si
T n’ a pas la SVEP. dans ce qui suit on généralise ce résultat au cas d’opérateur multicyclique. Théorème 2.2.6. Soit T ∈ Cn(X) alors : int(Bn(T )) 6= ∅ ⇔ T∗ n’a pas la SVEP .
Preuve : Soit λ ∈ int(Bn(T )), il existe r > 0 tel que D = D(λ, r) ⊆ Bn(T ).
Nous définissons par :
Dp = {µ ∈ D sup 1≤i≤n
kKi(µ)k ≤ p}.
Nous avons alors :
D = p=∞ [ p=1 Dp Avec kKj(µ)k = sup ||Pn i=1Pi(T )xi||6=0 |Pj(µ)| ||Pn i=1Pi(T )xi|| .
La fonction µ 7→ kKj(µ)k est semi-continue inférieurement sur Bn(T ) , il est de même pour
la fonction µ 7→ sup1≤j≤nkKj(µ)k, utilisant les propriétés des fonctions semi-continues , on a
Dp est fermé. En utilisant le lemme de Baire , il existe p0 tel que int(Dp0) est non vide. Et, on
a d’aprés la proposition 1.1.11 , int(Dp0) ⊂ Ba(T ) . Donc T
∗ n’admet pas la SVEP.
L’autre sens est évident. 2
Remarque 2.2.7. Si T ∈ Cn(X) on a pas le corollaire 2.1.4 : Si T est analytique , Ban(T ) est
connexe alors T n’admet pas d’espace réduisant.
Exemple 3. Soit S l’ opérateur shift définit dans l’espace de Hardy H2 et X = H2L H2
on considére l’opérateur T = S ⊕ 2S , alors l’opérateur T est 2- cyclique : en effet pour tout λ ∈ D(0, 1) on a dimN (T − λ)∗ = 2 et X = Span{Tm(e
0, 0), Tn(0, e0); m, n ≥ 0} où (en)(n≥0)
est une base orthonomée de H2. On a Ba(T ) = D(0, 1) connexe . H2L 0 et 0 L H2 sont deux
Opérateurs de Composition.
Chapitre 1
Préliminaires
Dans ce paragraphe, seront présentées plusieurs notions ainsi que des résultats et techniques utiles pour la partie I.
1.1
Mesures et dimensions de Hausdorff.
Soit E un compact sur la droite. Pour tout ρ > 0, considérons un recouvrement de E par les intervalles ouverts (∆i)1≤i de longueur |∆i| inférieure ou égale à ρ, et considérons la somme
X
i
|∆i|α
avec 0 < α ≤ 1, quand les ∆i varient arbitrairement , ρ étant fixe. Cette somme admet alors
une borne inférieure :
Hρα(E) = inf
(∆i)
X
i
|∆i|α.
Cette dernière croît quand ρ décroît ; elle admet donc une limite (éventuellement infinie) quand ρ tend vers 0. La mesure de Hausdorff de E d’ordre α, est alors notée Hα(E), soit
Hα(E) = lim
ρ→0H α ρ(E).
La dimension de Hausdorff de E est définie en fonction de Hα(E), nous la noterons par dim H(E)
.
dimH(E) = sup{α > 0 : Hα(E) = ∞} = inf{α > 0 : Hα(E) = 0}.
Nous déduisons que :
— Hα(E) = ∞ si 0 < α < dimH(E).
— Hα(E) = 0 si dimH(E) < α.
— 0 ≤ HdimH(E)(E) ≤ ∞.
Ainsi, si pour une valeur de α, on a 0 < Hα(E) < ∞ alors dimH(E) = α.
Proposition 1.1.1. — Si E ⊂ F alors dimH(E) ≤ dimH(F ).
— Si E = ∪i∈NEi alors dimH(E) = sup(dimH(Ei)).
Preuve
— Supposons que F ⊂ ∪∆i, avec |∆i| ≤ ρ alors Hα(E) ≤ Hα(F ).
Si dimH(F ) < s alors Hs(F ) = 0 implique Hs(E) = 0 donc dimH(E) ≤ s.
— Pour tout i, Ei ⊂ ∪i∈NEi , dimH(Ei) ≤ dimH(∪iEi) donc sup(dimH(Ei)) ≤ dimH(∪iEi).
Inversement :
si dimH(Ei) < s alors Hs(∪iEi) ≤PiHs(Ei) = 0 donc dimH(∪iEi) ≤ s.
2
Exemples. — Si E est fini alors dimH(E) = 0.
En effet , soit E = ∪1≤i≤n{xi} et soit un recouvrement de E
[ i xi− 1/α 2n1/α, xi+ 1/α 2n1/α , > 0.
Hα(E) ≤ donc Hα(E) = 0 pour tout α > 0 d’où le résultat. — Si E est dénombrable alors dimH(E) = 0.
E = S
i∈NEi où Ei est fini pour tout i ∈ N, comme dimH(E) = sup(dimH(Ei)), ceci
implique dimH(E) = 0.
— Si |E| > 0 alors dimH(E) = 1.
Soit s < 1 et (∆i) un recouvrement de E avec |∆i| ≤ ρ pour tout i alors
X i |∆i|s|∆i|1−s ≤ ρ1−s X i |∆i|s X i |∆i|s ≥ ρs−1|E|.
Donc pour tout s < 1, Hs(E) = ∞. Si s > 1, Hs(E) = 0 alors dim
H(E) = 1.
— La dimension de Hausdorff de l’ensemble de Cantor C à rapport constant λ est s = ln p/ln(λ1) avec (p ∈ N; p ≥ 2); 0 < λ < 1p et Hs(C) = 1.
63
la kième étape de la construction de C = ∩kEk. Soit (∆k) le recouvrement de C composé
de pk intervalles E
k de longueurs λk nous avons alors :
Hλαk ≤
pk
X
i=1
|∆i|α = pkλkα
Ceci montre que Hα(C) = 0, si α > s ;
Hα(C) ≤ 1, si α = s. Soient α < s et ρ = λN, alors Hα ρ(C) = Hρα(EN) = pNλαN. On obtient : Hα(C) = ∞, si α < s, 1, si α = s. Donc dimH(C) = ln(p) ln(1 λ) .
Nous utiliserons les notations a b pour dire qu’ il existe c positive tel que a ≤ cb et a b signifie que a b et b a.